ecuaciones epónimas de la física

ecuación de van Vleck es una expresión matemática debida a John Hasbrouck van Vleck, que relaciona la susceptibilidad magnética de un sistema con la población térmica de sus niveles de energía y sus respectivos momentos magnéticos. La variación del momento magnético promedio con un cambio diferencial de la temperatura se relaciona directamente con la susceptibilidad magnética. Esta ecuación es aplicable a sistemas estricta o aproximadamente paramagnéticos, por lo que da nombre al paramagnetismo de van Vleck.

Ecuación general

Se parte del siguiente par de aproximaciones:

es posible expresar la energía W_i de cada nivel i del total de n niveles como serie de potencias en función de la intensidad de campo magnético H:

$W_{i}=W_{i}^{(0)}+W_{i}^{(1)}\cdot H+W_{i}^{(2)}\cdot H^{2}\ldots$ $W_{i}=W_{i}^{(0)}+W_{i}^{(1)}\cdot H+W_{i}^{(2)}\cdot H^{2}\ldots$

la susceptibilidad magnética es independiente del campo. En la práctica esto suele traducirse en que la ecuación sólo es aplicable a sistemas lejos de la saturación y en los que la interacción entre centros magnéticos es despreciable.

La segunda aproximación es equivalente a descartar los términos de orden igual o superior a tres en la primera expresión: la primera derivada de la energía frente al campo se relaciona con el momento magnético y la segunda con la susceptibilidad.

A partir de estas aproximaciones es posible llegar a la ecuación de van Vleck:

$\chi _{vV}=N\cdot {\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\left(W_{i}^{(1)}\right)^{2}}{k\cdot T}}-2W_{i}^{(2)}\right)\cdot exp\left(-{\frac {\left(W_{i}^{(0)}\right)}{k\cdot T}}\right)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}exp\left(-{\frac {\left(W_{i}^{(0)}\right)}{k\cdot T}}\right)}}$ $\chi _{vV}=N\cdot {\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\left(W_{i}^{(1)}\right)^{2}}{k\cdot T}}-2W_{i}^{(2)}\right)\cdot exp\left(-{\frac {\left(W_{i}^{(0)}\right)}{k\cdot T}}\right)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}exp\left(-{\frac {\left(W_{i}^{(0)}\right)}{k\cdot T}}\right)}}$

donde:

k es la constante de Boltzmann y
N es el número de Avogadro.

Casos particulares

Resulta útil considerar una serie de situaciones simplificadas, que dan resultados sencillos que son aproximadamenta aplicables a situaciones comunes.

Paramagnetismo independiente de la temperatura

Si el estado fundamental no tiene momento magnético y el estado más próximo con momento magnético se encuentra a una energía muy superior a k·T, la única contribución significativa a la susceptibilidad proviene de los términos W⁽²⁾_i de i>1. Puesto que todos los términos que dependen de la temperatura se anulan, resulta un paramagnetismo independiente de la temperatura. Este efecto es de especial relevancia cuando es la única contribución al magnetismo, pero en general puede ser una corrección significativa a la susceptibilidad de muchos sistemas, comparable en orden de magnitud a la corrección diamagnética que se calcula con las tablas de Pascal, sólo que de signo opuesto.

las ecuaciones del campo de Einstein, ecuaciones de Einstein o ecuaciones de Einstein-Hilbert (conocidas como EFE, por Einstein field equations) son un conjunto de 10 ecuaciones de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein que describen la interacción fundamental de la gravitación como resultado de que el espacio-tiempo está siendo curvado por la materia y la energía.¹

Publicadas por vez primera por Einstein en 1915² como una ecuación tensorial, las ecuaciones EFE equiparan la curvatura del espacio-tiempo local (expresada por el tensor de Einstein) con la energía local y el momento dentro de ese espacio-tiempo (expresado por el tensor de tensión-energía).³

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-tiempo. Más exactamente cuanto mayor sea la concentración de materia, representada por el tensor de energía-impulso, tanto mayores serán las componentes del tensor de curvatura de Ricci.

En el límite clásico no-relativista, esto es, a velocidades pequeñas comparadas con la luz y campos gravitacionales relativamente débiles, las ecuaciones del campo de Einstein se reducen a la ecuación de Poisson para el campo gravitatorioque es equivalente a la ley de gravitación de Newton.

Forma matemática de las ecuaciones del campo de Einstein

En las ecuaciones de campo de Einstein, la gravedad se da en términos de un tensor métrico, una cantidad que describe las propiedades geométricas del espacio-tiempotetradimensional y a partir de la cual se puede calcular la curvatura. En la misma ecuación, la materia es descrita por su tensor de tensión-energía, una cantidad que contiene la densidad y la presión de la materia. Estos tensores son tensores simétricos de 4 X 4, de modo que tienen 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen a 6. La fuerza de acoplamiento entre la materia y la gravedad es determinada por la constante gravitatoria universal.

Para cada punto del espacio-tiempo, la ecuación del campo de Einstein describe cómo el espacio-tiempo se curva por la materia y tiene la forma de una igualdad local entre un tensor de curvatura para el punto y un tensor que describe la distribución de materia alrededor del punto:

$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ $G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

donde:

$G_{\mu \nu }\,$ $G_{\mu \nu }\,$ es el tensor de curvatura de Einstein, que se forma a partir de derivadas segundas del tensor métrico $g_{\mu \nu }\,$ $g_{\mu \nu }\,$
$T_{\mu \nu }\,$ $T_{\mu \nu }\,$ es el tensor momento-energía.
$\pi \,$ $\pi \,$ , es el número π
$c\,$ $c\,$ , es la velocidad de la luz
$G\,$ $G\,$ , es la constante de la gravitación universal.

Esa ecuación se cumple para cada punto del espacio-tiempo.

El tensor de la curvatura de Einstein se puede escribir como:

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }

donde:

$R_{\mu \nu }\,$ $R_{\mu \nu }\,$ , es el tensor de curvatura de Ricci
$R\,$ $R\,$ es el escalar de curvatura de Ricci
$\Lambda \,$ $\Lambda \,$ es la constante cosmológica.

La ecuación del campo por lo tanto también puede darse como sigue:

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }

g_{\mu \nu }\,

es un tensor simétrico 4 x 4, así que tiene 10 componentes independientes. Dado la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen en número a 6. Estas ecuaciones son la base de la formulación matemática de la relatividad general. Nótese que considerando la contracción sobre los dos índices de la última relación se encuentra que el escalar de curvatura se relaciona con la traza del tensor energía impulso y la constante cosmológica mendiante:

$R-2R+4\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,$ $R-2R+4\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,$

Esa relación permite escribir equivalentemente las ecuaciones de campo como:

$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu }\right)$ $R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu }\right)$

Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein

La ecuación de Einstein implica que para cada observador, la curvatura escalar

\kappa \,

del espacio es proporcional a la densidad aparente

\rho \

$\kappa \ ={16\pi G \over c^{2}}\rho \$ $\kappa \ ={16\pi G \over c^{2}}\rho \$

donde:

c = 3 × 10¹⁰ [cm s^-1] es la velocidad de la luz
G = 6,67 × 10^-8 [cm³ s^-2 g^-1] es la constante de la gravitación universal.

De acuerdo con el significado geométrico de la curvatura escalar, esta igualdad afirma que en una esfera de masa M y densidad constante, el exceso radial (la diferencia entre el radio real y el radio que le correspondería en la geometría euclídea a una esfera de igual área) es igual a

$\Delta R={GM \over {3c^{2}}}$ $\Delta R={GM \over {3c^{2}}}$

Por ejemplo, en el caso de la Tierra el exceso radial es de 0,15cm y en el caso del Sol es de unos 4400 metros.

Es asombroso que esta ecuación, que introduce mínimas correcciones en las fórmulas de la geometría euclídea, recoja casi todas las ecuaciones conocidas de la físicamacroscópica. En efecto, cuando la velocidad de la luz c tiende a infinito, de ella se derivan ley de gravitación universal de Newton, la Ecuación de Poisson y, por tanto, el carácter atractivo de las fuerzas gravitatorias, las ecuaciones de la mecánica de fluidos (ecuación de continuidad y ecuaciones de Euler), las leyes de conservación de la masa y el momento, el carácter euclídeo del espacio, etc.

Igualmente se derivan todas las leyes de conservación relativistas, y que la existencia de campos gravitatorios y de masa sólo es posible cuando el espacio tiene dimensión mayor que 2. Más aún, si se supone que el espacio tiene dimensión 4 (las tres que vemos diariamente más una pequeñísima dimensión circular extra, aproximadamente del tamaño de la llamada longitud de Planck

10^{-33}

cm) de la ecuación de Einstein se deducen la teoría clásica del electromagnetismo: las Ecuaciones de Maxwell y, por tanto, la Ley de Coulomb, la Conservación de la carga eléctrica y la ley de Lorentz.

Límite clásico

En el límite clásico la única componente no nula del tensor de Ricci es la componente temporal

\scriptstyle R_{00}

. Para obtener el límite clásico debe suponerse que el potencial gravitatorio es muy pequeño en relación al cuadrado de la velocidad de la luz y a continuación debe tomarse el límite de las ecuaciones cuando la velocidad de la luz tiende a infinito, haciendo esas manipulaciones se obtiene que las ecuaciones de campo de Einstein para el campo gravitatorio se reducen a la ecuación diferencial de Poisson para el potencial gravitorio. Suponiendo que para campos gravitatorios débiles la métrica del espacio tiempo puede escribirse como una perturbación de la métrica de Minkowski:

$g_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )=\eta _{\alpha \beta }+{\frac {h_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )}{c^{2}}},\qquad h_{00}\approx -2\phi _{g}$ $g_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )=\eta _{\alpha \beta }+{\frac {h_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )}{c^{2}}},\qquad h_{00}\approx -2\phi _{g}$

La componente temporal del tensor de Ricci resulta ser:

$R_{00}\approx -{\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}h_{00}}{\partial (x^{i})^{2}}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}(\rho c^{2})\Rightarrow \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho$ $R_{00}\approx -{\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}h_{00}}{\partial (x^{i})^{2}}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}(\rho c^{2})\Rightarrow \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho$

La última expresión es precisamente la ecuación de Poisson que es la expresión clásica que relaciona el potencial gravitatorio con la densidad de materia.

Soluciones de la ecuación del campo de Einstein

Una solución de la ecuación del campo de Einstein es cierta métrica apropiada para la distribución dada de la masa y de la presión de la materia. Algunas soluciones para una situación física dada son como sigue.

Distribución de masa esférica simétrica y estática

La solución para el vacío alrededor de una distribución de masa esférica simétrica, estática, es la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a una estrella y conduce a la predicción de un horizonte de sucesos más allá del cual no se puede observar. Predice la posible existencia de un agujero negro de masa dada

M

del que no puede ser extraída ninguna energía, en el sentido clásico del término (i.e. no mecánico-cuántico).

Véanse también: Radio de Schwarzschild y Agujero negro de Schwarzschild.

Masa de simetría axial en rotación

La solución para el espacio vacío alrededor de una distribución de masa de simetría axial en rotación es la métrica de Kerr. Se aplica a una estrella que rota y conduce a la predicción de la existencia posible de un agujero negro en rotación de masa dada

M

y momento angular

J

, del cual la energía rotatoria puede ser extraída.

Véase también: Agujero negro de Kerr

Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)

La solución para un Universo isótropo y homogéneo, lleno con una densidad constante y de una presión insignificante, es la métrica de Robertson-Walker. Se aplica al Universo en su totalidad y conduce a diversos modelos de su evolución que predicen un Universo en expansión.

Las ecuaciones de Einstein constituyen la base del aparato predictivo de la Relatividad General. De ellas se puede obtener cual es el efecto de la materia sobre la geometría del espacio, y viceversa. La relatividad general se basa en la maquinária matemática de las geometría diferencial de las variedades métricas. Así, pues, para formular las ecuaciones de Einstein, necesitamos recordar algunos de los conceptos de la geometria diferencial en variedades métricas. Todos los índices en las ecuaciones de este documento toman valores de 0 a 3 (considerando un espacio-tiempo de 4 dimensiones, siendo el tiempo la dimensión 0-ésima).

Métrica, $g_{\mu\nu}$ :

Describe cual es la distancia espacio-temporal entro dos sucesos infinitesimalmente juntos.

Símbolos de Chistoffeld, $\Gamma^\alpha_{ \mu\nu}$ :

Describen la variación de los vectores de una base $e_\mu$ . Es decir, la derivada covariante del vector de la base $e_\mu$ a lo largo del vector de la base $e_\nu$ es un nuevo vector de componentes $\nabla_{e_\nu} e_\mu = \Gamma^\alpha_{\ \mu\nu} e_{\alpha}$ . En una variedad con una métrica definida, los símbolos de Chistoffeld se determinan completamente a partir de la métrica,

$\displaystyle \Gamma^\alpha_{ \mu\nu} = \frac12 g^{\alpha\beta} \Big( \partial... ... g_{\nu\beta} + \partial_\nu g_{\mu\beta} - \partial_\beta g_{\mu\nu} \Big) .$

(1)

Curva geodésica:

Una curva geodésica, $x^\mu(\lambda)$ , es aquella curva que une cualquiera de sus dos puntos con una distancia espacio-temporal estacionaria. Se puede determinar, para cierto parámetro $\lambda$ , mediante la siguiente ecuación diferencial (donde los puntos indican derivación parcial respecto $\lambda$ )

$\displaystyle \ddot x^\alpha+ \Gamma^\alpha_{\ \mu\nu} \, \dot x^\mu \dot x^\nu = 0 \ .$

(2)

Tensor de Riemman, ${R }^\alpha_{ \beta\mu\nu}$ :

Describe la curvatura de la variedad métrica, es decir, da el grado de desviación relativo de dos curvas geodésicas proximas. Se determina enteramente a partir de los símbolos de Christoffeld,

$\displaystyle {R }^\alpha_{ \beta\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\alpha_{ \bet... ...mma^\alpha_{ \rho\mu} - \Gamma^\rho_{ \beta\mu} \Gamma^\alpha_{ \rho\nu} .$

(3)

Tensor y escalar de Ricci:

Se definen como las diferentes contracciones del tensor de Riemman,

$\begin{equation*}\begin{aligned}R_{\mu\nu} & = \sum_\alpha R^{\alpha}_{ \mu\alp... ... , & R & = \sum_{\mu\nu} g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} . \end{aligned}\end{equation*}$

2 Formulación de las ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones de Einstein determinan las características de la variedad métrica, nuestro espacio-tiempo, a partir de la distribución de masa y energía que puebla el espacio. Dicha distribución de masa y energía viene descrito por el tensor de energía-impulso, $T_{\mu\nu}$ , que se define como la densidad de la componente $\mu$ -ésima del cuadrimomento que atraviessa una hipersuperfície $x^\nu$ constante.

Las ecuaciones de Einstein tienen la siguiente forma:

$\displaystyle \boxed{ R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R = \kappa T_{\mu\nu} , }$

(5)

donde $\kappa = 8 \pi G$ , siendo G la constante de la gravitacion universal de Cavendish. A veces, el término izquierdo de las ecuaciones de Einstein se resume definiendo el tensor de Einstein, $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R$ .

3 Comentarios adicionales

Dado que todos los tensores que aparecen en las Ecuaciones de Einstein son simétricos, tenemos tan sólo diez ecuaciones de Einstein. Cuatro de ellas, las que tienen $\mu=0$ , no son ecuaciones dinámicas, por lo que tan sólo nos quedan seis ecuaciones dinámicas a resolver.

Dichas ecuaciones determinan como la distribución de masa y energía (descrita por $T_{\mu\nu}$ ) afectan a la geometría del espacio-tiempo (descrita por $G_{\mu\nu}$ que, en último término, depende únicamente de la métrica). Y viceversa, determinan como la geometría del espacio-tiempo afecta al movimiento de la masa y energía distribuida por el mismo. Las partículas puntuales se mueven siguiendo las curvas geodésicas que, como hemos vistos, se determinan directamente a partir de la geometría del espacio-tiempo.

4 Constante cosmológica

Para algunas aplicaciones cosmológicas, es común añadir un término más a las ecuaciones de Einstein,

$\displaystyle \boxed{ R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} , }$

(6)

donde $\Lambda$ es la llamada constante cosmológica. En la actualidad, dicho término se interpreta como la desnidad de energía del vacío por lo que, de hecho, actualmente se considera como un término más dentro del tensor de energía-impulso.

5 Rango de validez

Para la mayor parte de las aplicaciones de la física en situaciones cotidianas no es necesario recurrir a la relatividad general, y por tanto a las ecuaciones de Einstein, ya que la aproximación de la física Newtoniana es suficiente. La aproximación Newtoniana es válida si, en cierta forma, el campo gravitatorio es suficientemente débil para que la velocidad de escape sea mucho menor que la velocidad de la luz, es decir, si

$\displaystyle \dfrac{2G M}{R c^2} \ll 1 ,$

(7)

donde

es la masa del objeto que crea el campo gravitatorio, y

la distáncia a su centro de masas.

Por otra parte, la relatividad general tiene soluciones con puntos singulares, como la métrica de Schwarchild que describe los agujeros negros esféricos, o como la singularidad inicial del big bang. En la cercania de dichas singularidades, la relatividad general no es válida: necesita ser reemplazada por una teoría más avanzada, que aún no conocemos (la Teoría de Cuerdas es el candidato mejor situado).

Además, tampoco es posible aplicar la relatividad general en aquellas situaciones donde son importante los efectos cuánticos, como por ejemplo situaciones donde intervengan distáncias muy pequeñas o energías muy altas. Este límite de la teoría, de hecho, está muy relacionado con el anterior, y de nuevo la Teoría de Cuerdas es nuestro más firme candidato para solucionar estos problemas.

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martes, 1 de noviembre de 2016

Epónimos relacionados con la física

Ecuación general

Casos particulares

Paramagnetismo independiente de la temperatura

Forma matemática de las ecuaciones del campo de Einstein

Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein

Límite clásico

Soluciones de la ecuación del campo de Einstein

Distribución de masa esférica simétrica y estática

Masa de simetría axial en rotación

Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)

2 Formulación de las ecuaciones de Einstein

3 Comentarios adicionales

4 Constante cosmológica

5 Rango de validez

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