La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.

Esto puede ser ilustrado por el siguiente experimento: dos esferas de idéntica masa y radio se colocan sobre un plano inclinado. Una de las esferas esta hecha de un material ligero, como el plástico. Esta esfera es maciza y sólida. La otra esfera, en cambio, es hueca y esta hecha de un material más denso que el plástico. La esfera hueca rodará más lentamente, ya que toda su masa se acumula en una delgada capa, que está a una cierta distancia del eje de rotación. La esfera maciza se moverá más rápidamente, ya que porcentualmente sus partículas se encuentran más cerca del eje de rotación y por lo tanto se moverán más lentamente, puesto que éstas describen una trayectoria más corta que las partículas de la superficie de la esfera.

La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, motores, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices.

Momento de inercia

Un cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular

\omega

posee la energía rotacional:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I_{x}\omega ^{2}

Donde:

$I_{x}$ $I_{x}$ : Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x.
$\omega$ $\omega$ : Velocidad angular

En general, esto se puede expresar como:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }\omega _{\alpha }\omega _{\beta }

Donde:

$I$ $I$ : Tensor de inercia
${\vec {\omega }}$ ${\vec {\omega }}$ : Velocidad angular

Para calcular la energía de un cuerpo que rota en torno a un eje arbitrario (vector unitario

{\hat {n}}

), la velocidad angular se expresará por sus componentes vectoriales:

{\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}=\omega \cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}

donde

\left|{\hat {n}}\right|=1

en el cual los componentes de n que representa los componentes de la dirección del eje de x,y y z. La energía de rotación es ahora:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}

Aquí es

\theta _{n}

el momento de inercia respecto a un eje arbitrario

{\hat {n}}

\theta _{n}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }

Ejemplo

Un cuerpo que gira alrededor de la diagonal formada por su superficie xy tiene la siguiente velocidad angular:

{\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}

donde

{\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}

En consecuencia, el momento de inercia respecto a este eje:

\theta _{n}={\hat {n}}^{T}I{\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1,1,0\right)\left({\begin{matrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{12}&I_{22}&I_{23}\\I_{13}&I_{23}&I_{33}\\\end{matrix}}\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}I_{11}+I_{12}+{\frac {1}{2}}I_{22}

Ahora uno obtiene la energía rotacional:

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}=\left({\frac {1}{4}}I_{11}+{\frac {1}{2}}I_{12}+{\frac {1}{4}}I_{22}\right)\omega ^{2}

Momento angular

E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {{\vec {L}}^{2}}{2I}}

donde

{\vec {L}}=I\cdot {\vec {\omega }}

Cabe señalar que, en general, el momento angular y la velocidad angular no son paralelas entre sí (excepto en la rotación alrededor de un eje principal de inercia).

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Los movimientos de rotación están presentes en numerosos fenómenos de la naturaleza. Algunos ejemplos comunes son los péndulos, las balanzas, las peonzas o, a escala cósmica, el giro de todos los cuerpos celestes conocidos (la Tierra, los planetas y los satélites, el Sol y las estrellas y, también, las galaxias) en torno a un eje, que termina por definir simetrías en los sistemas.

Energía de un sólido con un eje fijo

Dado un sólido sometido a un movimiento de rotación con respecto a un eje fijo, su energía cinética de rotación se expresa de la siguiente manera:

A su vez, el sólido en rotación posee una energía potencial determinada por la expresión:

De esta forma, la variación de la energía mecánica total del sólido con respecto al tiempo se puede escribir como el producto escalar de los momentos totales aplicados por la velocidad angular de rotación:

El péndulo físico

En los sistemas físicos aislados se considera que la energía mecánica total del sistema se conserva, por lo que:

De ello se deduce que:

Un caso particular de esta situación es el péndulo físico, la masa oscilante encargada de regular el mecanismo de los relojes de péndulo. El péndulo físico puede considerarse como un sólido que gira alrededor de un eje horizontal fijo con respecto al cual no posee ninguna clase de simetría.

La energía mecánica total del péndulo, siendo el ángulo que lo separa de la vertical en un instante dado, se determinaría como:

Para ángulos de separación pequeños, se puede desarrollar que cos

» 1 - img src="/image/image_gallery?uuid=de8adf8d-9514-40d9-b86a-2a661bdad055&groupId=10137&t=1263991300812" class="imgmiddle" alt="" title="" />2/2, con lo que la ecuación resultante se corresponde con la de un oscilador armónico cuya masa fuera I y cuya constante de recuperación tuviera el valor m g rCM. En consecuencia, el período de oscilación del péndulo vendría dado por la expresión siguiente:

La peonza

Otro ejemplo clásico de sólidos en rotación es el de la peonza, en esencia un sólido de revolución con un punto fijo que permanece en contacto con el suelo. En una primera interpretación, la variación del momento angular de la peonza con respecto a este punto fijo sería:

Ahora bien, el giro real de la peonza no es tan sencillo, sino que está compuesto por la combinación de tres movimientos diferentes:

La rotación de la peonza en torno a un eje que pasa por el punto fijo de contacto.
Un movimiento de precesión en torno a un eje vertical, que hace que el eje de rotación varíe con el paso del tiempo.
Un bamboleo de este eje, llamado nutación, que hace variar su inclinación.

La combinación de estos tres movimientos resulta de particular interés para la física, ya que está presente en la mayoría de los movimientos naturales de rotación (por ejemplo, en el de la Tierra y los restantes planetas).

Movimiento general de una peonza, que resulta de la combinación de la rotación, la precesión y la nutación.

Conservación del momento angular

En el estudio mecánico de los sistemas aislados se aplican diversos principios de conservación que ayudan a determinar las leyes físicas que rigen su comportamiento. En los movimientos de rotación, adquiere particular importancia el llamado principio de conservación del momento angular, que establece que si el momento total de las fuerzas externas que se aplican sobre un sistema es nulo, el momento angular total del sistema se conserva. De esta manera, se tiene que:

Así pues, cuando el momento de inercia aumenta, la velocidad angular de giro disminuye, y a la inversa.

http://www.hiru.eus/fisica/energia-cinetica-de-rotacion

Energía cinética de rotación

Para estudiar el movimiento de un cuerpo, hemos de fijar un sistema de referencia. Puesto que un cuerpo sólido, a diferencia de una partícula, tiene dimensiones, vamos a estudiar el movimiento con la ayuda de dos sistemas de referencia. Un primer sistema de referencia (inercial), en el que representemos el movimiento del centro de masas (CM) del sólido, y un segundo sistema de referencia, cuyo origen sea el centro de masas del cuerpo, que nos va a informar del movimiento de rotación del sólido. Lo que estamos haciendo al describir el movimiento con estos dos sistemas es separar el número de grados de libertad en 3+3 y darnos cuenta de que hay 3 grados de libertad de traslación y tres grados de libertad de rotación. Estos tres últimos grados de libertad no están presentes, evidentemente, en una partícula puntual. Llamemos $\vec{r}_I$ al radiovector de un cierto punto del sólido, visto desde el sistema inercial, $\vec{r}_{CM}$ a la posición del CM del sólido y $\vec{r}$ al mismo punto visto desde el sistema de referencia situado en el CM:

$\begin{displaymath}\vec{r}_I=\vec{r}_{CM}+\vec{r}\quad. \end{displaymath}$

(7.2)

Derivando respecto al tiempo,

$\begin{displaymath}\vec{v}_I=\vec{v}_{CM}+\vec{v}\quad . \end{displaymath}$

(7.3)

Si el sólido tiene un movimiento exclusivamente de traslación (los ángulos entre los ejes de ambos sistemas no cambian), entonces

$\begin{displaymath}\vec v=0\quad. \end{displaymath}$

(7.4)

Si el sólido gira, $\vec v\ne 0$ , pero ya que se trata de un movimiento de rotación, es más conveniente escribir $\vec v=\vec\omega\times \vec r$ , donde $\vec\omega$ es un vector cuya magnitud indica la velocidad de giro y cuya dirección es la del eje respecto al cual se produce el giro. La energía cinética del sólido será

$\begin{displaymath}T=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^N m_\alpha v_{I\alpha}^2\quad , \end{displaymath}$

(7.5)

donde N es el número de partículas que lo componen. Pero es más conveniente tratar el sólido como un medio continuo. En lugar de sumar sobre las partículas, hemos de integrar sobre elementos de masa $dm=\rho\ d^3r$ , siendo $\rho$ la densidad del medio. Así,

$\begin{displaymath}T=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho v_{I}^2d^3r\quad , \end{displaymath}$

(7.6)

donde $\vec v_I$ es la velocidad que tiene, en un instante dado, el elemento de volumen d³r con masa $\rho\ d^3r$ . Escribiendo $\vec v_I$ en términos de $\vec v_{CM}$ y $\vec v$ ,

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} T&=&\displaystyle\frac{1}{2}\int\!\int\!\... ... r\ ) +(\vec\omega\times\vec r\ )^2]d^3r\quad . \end{array} \end{displaymath}$

(7.7)

Calculemos cada una de las contribuciones por separado. La primera,

$\begin{displaymath}T_1=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho\ v_{I}^2 d^3r\quad. \end{displaymath}$

(7.8)

Pero $\vec v_{CM}$ no depende de $\vec{r}$ , y la integral

$\begin{displaymath}\int\!\int\!\int \rho(\vec r\ )d^3r=M\quad , \end{displaymath}$

(7.9)

la masa del sólido, luego

$\begin{displaymath}T_1=\frac{1}{2}Mv_{CM}^2\quad, \end{displaymath}$

(7.10)

es la energía cinética correspondiente al CM del sólido, la única contribución si se tratara de una partícula libre. El segundo término,

$\begin{displaymath}T_2=\frac{1}{2}\int\!\int\!\int \rho(\vec r\ ) 2\vec{v}_{CM}\cdot(\vec\omega\times\vec r\ )d^3r\quad . \end{displaymath}$

(7.11)

Intercambiando el producto mixto,

$\begin{displaymath}T_2=\vec{v}_{CM}\times\vec\omega \int\!\int\!\int \rho(\vec r\ )\vec r d^3r\quad . \end{displaymath}$

(7.12)

Para ver mejor su valor, escribamos la integral en forma de suma:

$\begin{displaymath}\sum_\alpha m_\alpha\vec r_\alpha\equiv M\vec R_{CM}\quad, \end{displaymath}$

(7.13)

siendo $\vec R_{CM}$ la coordenada del centro de masas. Pero esta integral la estamos haciendo justamente en el sistema de referencia del centro de masas, es decir, $\vec R_{CM}=0$ , luego

$\begin{displaymath}T_2=0\quad. \end{displaymath}$

(7.14)

Desarrollando el producto vectorial, podemos reescribir el último término como:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} (\vec\omega\times\vec r\ )^2&=&\omega^2r^... ...\omega_i\omega_j[\delta_{ij}r^2-x_ix_j] \quad , \end{array} \end{displaymath}$

(7.15)

donde x_i son las componentes cartesianas de $\vec{r}$ . Por tanto,

$\begin{displaymath}T_3=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\omega_i\omega_j \int\!\int\!\int\rho(\vec r\ ) [\delta_{ij}r^2-x_ix_j]d^3r \end{displaymath}$

(7.16)

Es conveniente introducir la delta de Kronecker para extraer de forma unívoca $\omega_i\omega_j$ . Introduciendo la cantidad I_ij denominada tensor de inercia,

$\begin{displaymath}I_{ij}=\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ ) [\delta_{ij}r^2-x_ix_j]d^3r\quad , \end{displaymath}$

(7.17)

la expresión de T₃ adquiere la forma sencilla

$\begin{displaymath}T_3=\frac{1}{2}\sum_{i,j}I_{ij}\omega_i\omega_j \end{displaymath}$

(7.18)

La energía cinética finalmente es:

$\begin{displaymath}T= \frac{1}{2}Mv_{CM}^2+\frac{1}{2}\sum_{i,j}I_{ij}\omega_i\omega_j \quad. \end{displaymath}$

(7.19)

El primer término recibe el nombre de energía cinética de traslación y el segundo energía cinética de rotación. El tensor de inercia puede escribirse en forma matricial:

$\begin{displaymath}{\cal I}=\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )\left( \begin{array}{... ...& -yz \cr -zx & -zy & y^2+x^2 \end{array}\right)d^3r\quad . \end{displaymath}$

(7.20)

${\cal I}$ es un tensor simétrico por definición, es decir, tiene como máximo 6 componentes distintas. Antes de estudiar con detalle el tensor de inercia y entender un poco más su significado, vamos a hallar el momento angular, cantidad con la que ${\cal I}$ está íntimamente relacionado. Nuevamente nos referimos a los dos sistemas de referencia anteriores. Tendremos por tanto:

$\begin{displaymath}\vec L=\int\!\int\!\int \vec r_I\times d\vec p_I =\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )\vec r_I\times\vec v_I d^3r\quad . \end{displaymath}$

(7.21)

Pero $\vec r_I=\vec r_{CM}+\vec r$ y $\vec v_I=\vec v_{CM}+\vec v$ . Sustituyendo en la ecuación anterior, salen ahora cuatro términos del producto vectorial:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \vec L&=& \displaystyle\int\!\int\!\int\... ...es\vec r+\vec r\times(\omega\times\vec r\ )]d^3r \end{array} \end{displaymath}$

(7.22)

Los dos términos intermedios se anulan porque contienen $\vec{r}$ solamente si el segundo sistema toma como origen el centro de masas del cuerpo. El primer término da lugar al momento angular del centro de masas,

$\begin{displaymath}\vec L_1=\vec r_{CM}\times\vec p_{CM} \end{displaymath}$

(7.23)

y el cuarto término tiene que dar lugar a la contribución de la rotación del sólido al momento angular total, lo que llamaremos momento angular interno. Veamos cómo.

$\begin{displaymath}\vec r\times(\vec\omega\times\vec r)=r^2\vec\omega- (\vec\omega\cdot\vec r\ )\vec r\quad . \end{displaymath}$

(7.24)

La componente i valdrá

$\begin{displaymath}[\vec r\times(\vec\omega\times\vec r\ )]_i= r^2\omega_i-\sum_j\omega_j x_jx_i\quad . \end{displaymath}$

(7.25)

Si multiplicamos el primer término por $\delta_{ij}$ , podemos sumar en i y en j, con lo que la ecuación anterior adquiere la forma

$\begin{displaymath}\sum_{i,j}\omega_j[r^2\delta_{ij}-x_ix_j]\quad ,\end{displaymath}$

de donde se obtiene

$\begin{displaymath}L_i=\sum_j\omega_j\int\!\int\!\int\rho(\vec r\ )[r^2\delta_{ij}-x_ix_j] d^3r=\sum_jI_{ij}\omega_j\quad . \end{displaymath}$

(7.26)

En forma matricial,

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{l} L_1\cr L_2\cr L_3 \end{array}\righ... ...ray}{l} \omega_1\cr \omega_2\cr \omega_3 \end{array}\right) \end{displaymath}$

(7.27)

o, en forma abreviada,

$\begin{displaymath}\vec L={\cal I}\vec\omega \end{displaymath}$

(7.28)

donde ${\cal I}$ es un tensor de rango dos. $\vec L$ y $\vec\omega$ no están unidos por una relación escalar, lo que significa que $\vec L$ no va a ser paralelo a $\vec\omega$ en general. Si, por ejemplo,

$\begin{displaymath}\vec\omega=\left(\begin{array}{l} 0\cr 0\cr \omega\end{array}\right)\quad ,\end{displaymath}$

tendremos que

$\begin{displaymath}\vec L=\left(\begin{array}{l} I_{13}\omega\cr I_{23}\omega\cr I_{33}\omega \end{array}\right)\quad .\end{displaymath}$

Como consecuencia de esto, si $\vec L$ se conserva en un sistema aislado, y nos imaginamos que un sólido está describiendo un movimiento de rotación, el eje de giro no tiene porqué permanecer constante, ya que no coincide con el eje de $\vec L$ . Para finalizar, el momento angular total del sólido será

$\begin{displaymath}\vec L_I=\vec L_{CM}+\vec L\quad , \end{displaymath}$

(7.29)

el momento angular del centro de masas más el momento angular interno.

http://www.uv.es/~cantarer/srigid/node3.html

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sábado, 5 de noviembre de 2016

Mecánica - La mecánica clásica

Momento de inercia

Ejemplo

Momento angular

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.

Energía de un sólido con un eje fijo

El péndulo físico

La peonza

Conservación del momento angular

Energía cinética de rotación

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