Energía potencial

1 Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

$W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

$W_{A\to B}= \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Eso sí, alguno hay que elegir, sea el que sea.

2 Energía potencial

La independencia del camino permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo $\mathbf{r}_0$ (el origen de potencial) hasta el punto que deseemos:

$U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto $\mathbf{r}$ . Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él.

El origen de potencial $\mathbf{r}_0$ es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos.

Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición $\mathbf{r}$ )

$U_1(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_1}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ $U_2(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_2}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ $\Rightarrow$ $U_2(\mathbf{r})-U_1(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{cte}$

De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.

3 Ejemplos

3.1 Peso

Tomando como origen la superficie terrestre (o, en general, una altura de referencia) la energía potencial debida a una fuerza constante, como el peso la calculamos a partir del trabajo elemental

$\mathbf{F}=-mg\mathbf{k}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}$ $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-mg\,\mathrm{d}z$

Integrando esta cantidad

$U(\mathbf{r}) =-\int_0^z(-mg\,\mathrm{d}z)= mg z\,$

La energía potencial es proporcional a la altura. Si el punto donde hallamos esta energía está sobre el nivel de referencia, su energía potencial será positiva. Si esta por debajo, su energía potencial será negativa.

3.2 Ley de Hooke

3.2.1 En una dimensión

Supongamos un oscilador armónico en el cual una partícula sujeta a un muelle está obligada a moverse a lo largo de una recta. Si medimos la elongación desde la posición de equilibrio, la ley de Hooke queda

$\mathbf{F}=-kx\mathbf{i}$

y el trabajo elemental

$\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}$ $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-kx\,\mathrm{d}x$

Integrando desde la posición de equilibrio, que tomamos como origen de potencial

$U(x) = -\int_0^x (-kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}kx^2$

Si esta misma energía la expresamos en función de la longitud total del resorte

$x = l - l_0\qquad\Rightarrow\qquad U(l) = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2$

Esta segunda expresión sigue teniendo como origen de potencial la posición de equilibrio.

Una expresión alternativa la podríamos obtener a partir de la expresión de la ley de Hooke incluyendo la longitud natural

$\mathbf{F}=-k(l-l_0)\mathbf{i}$

e integrando desde el punto de anclaje (

l = 0

), resultando la energía potencial

$U'(l) = -\int_0^l (-k(l-l_0))\mathrm{d}l = \frac{1}{2}kl^2 - kll_0$

Esta expresión tiene como origen de potencial el punto de anclaje. Se diferencia de la anterior en una constante

$U(l) - U'(l) = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2 - \left(\frac{1}{2}kl^2-kll_0\right) = \frac{1}{2}kl_0^2$

Por este tipo de detalles es muy importante indicar explícitamente el origen de potencial.

3.2.2 En tres dimensiones

La expresión anterior se generaliza fácilmente al caso de un oscilador armónico tridimensional. El trabajo elemental es ahora

$\mathbf{F}=-k\mathbf{r}=-kx\mathbf{i}-ky\mathbf{j}-kz \mathbf{k}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}$ $\Rightarrow$ $\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-kx\,\mathrm{d}x-ky\,\mathrm{d}y-kz\,\mathrm{d}z$

Integrando desde la posición de equilibrio $\mathbf{r}=\mathbf{0}$

$U(\mathbf{r}) = \int_\mathbf{0}^\mathbf{r}(kx\,\mathrm{d}x+ky\,\mathrm{d}y+kz\,\mathrm{d}z)=\frac{1}{2}k\left(x^2+y^2+z^2\right)$

o, en términos del módulo del vector de posición

$U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}k|\mathbf{r}|^2\,$

3.3 Fuerza gravitatoria

La fuerza gravitatoria debida a un cuerpo masivo que actúa sobre uno ligero (como el Sol sobre la Tierra, o ésta sobre un satélite) se puede aproximar por

$\mathbf{F}=-\frac{GMm\mathbf{u}_r}{r^2}$

Esta fuerza es conservativa, por lo que puede calcularse su energía potencial. Tomando como origen de potencial el infinito e integrando a lo largo de una recta radial

$U(\mathbf{r})=GMm\int_\infty^r\frac{\mathrm{d}r}{r^2} = -\frac{GMm}{|\mathbf{r}|}$

Esta energía potencial no se reduce a la expresión anterior para el peso cuando

r

es muy próximo al radio terrestre, ya que el origen de potencial es diferente (en un caso la superficie terrestre, en el otro el infinito).

Para poder comparar ambas energías potenciales, debemos tomar el mismo origen. Si en la energía potencial gravitatoria que acabamos de calcular tomamos como origen de potencial la superficie terrestre, la energía potencial cambia en una constante, tal que debe hacerse 0 para

r = R T

. Esto da

$U(\mathbf{r}) = -\frac{GMm}{|\mathbf{r}|}+\frac{GMm}{R_T}$

Para ver que sí se reduce a la expresión correspondiente para el peso, suponemos que

$r = R_T + z\qquad\qquad z \ll R_T$

de forma que

$U(\mathbf{r}) = -\frac{GMm}{R_T+z}+\frac{GMm}{R_T}=\frac{GMmz}{R_T(R_T+z)}$

Puesto que la altura es muy pequeña comparada con el radio terrestre, podemos despreciarla en el numerador y aproximar esto por

$U(\mathrm{r})\simeq \frac{GMmz}{R_T^2}=mgz$

donde

$g = \frac{GM}{R_T^2}$

es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre.

4 Cálculo de la fuerza a partir del potencial

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su gradiente:

$\mathbf{F}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}-\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k}$

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

Como comprobación podemos aplicar esta fórmula a dos casos sencillos:

En el caso del peso tenemos

$U=mgz\qquad\Rightarrow\qquad\mathbf{F}=-mg\left(\overbrace{\frac{\partial z}{\partial x}}^{=0}\mathbf{i}+\overbrace{\frac{\partial z}{\partial y}}^{=0}\mathbf{i}+\overbrace{\frac{\partial z}{\partial z}}^{=1}\mathbf{i}\right)=-mg\mathbf{k}$

En el caso del oscilador armónico tridimensional

$U = \frac{k}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)$ $\Rightarrow$ $\mathbf{F}=-\frac{k}{2}\left(\overbrace{\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2+z^2)}^{=2x}\mathbf{i}+\overbrace{\frac{\partial }{\partial y}(x^2+y^2+z^2)}^{=2y}\mathbf{j}+\overbrace{\frac{\partial }{\partial z}(x^2+y^2+z^2)}^{=2z}\mathbf{k}\right)=-k(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})=-k\mathbf{r}$

Comprobamos que efectivamente resultan las fuerzas que conocemos.

5 Trabajo y energía potencial

Para el caso de fuerzas conservativas puede enunciarse un teorema complementario al teorema de las fuerzas vivas.

Tenemos que el trabajo realizado por una fuerza conservativa en un desplazamiento de una partícula entre un punto $\mathbf{r}_1$ y uno $\mathbf{r}_2$ es

$W_{1\to 2} = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

Puesto que el camino para ir de un punto a otro es arbitrario, podemos tomar uno que pase por $\mathbf{r}_0$ , el origen de potencial. De esta forma, podemos expresar el trabajo como diferencia entre dos energías potenciales

$W_{1\to 2} = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_0}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}+\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\left(-\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_1}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\right)-\left(-\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}\right) = U(\mathbf{r}_1)-U(\mathbf{r}_2)$

esto es:

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al decremento de su energía potencial.”

$W_{1\to 2} = U(\mathbf{r}_1)-U(\mathbf{r}_2) = -\Delta U$

En forma diferencial tenemos, para la variación en el tiempo de la energía potencial

$\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$

esto es, la derivada de la energía potencial es igual a la potencia desarrollada por las fuerzas conservativas, cambiada de signo

$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = -\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$

Combinando la relación entre trabajo y energía potencial con el teorema de las fuerzas vivas se llega al teorema de conservación de la energía mecánica.

Frenado de un fórmula 1

1 Enunciado

Cuando el Ferrari de Sebastian Vettel se acerca a la chicane de Monza, su velocidad a 150 m de ésta es de 288 km/h. Cuando entra en la chicane va a 72 km/h.

Suponiendo que la aceleración es constante, determine su valor. Exprese el resultado en el SI y como un múltiplo de $g$ (siendo $g=9.80665\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ ).
Determine la velocidad como función de la posición y represéntela gráficamente.
Si el McLaren de Fernando Alonso va a 180 km/h a 150m de la chicane y se detiene a 50m de ésta, ¿es su aceleración mayor o menor que la de Vettel, en valor absoluto?

2 Aceleración en el SI

Pasamos en primer lugar los valores de la velocidad al SI. A 150m de la chicane tiene una velocidad de

$x_1 = -150\,\mathrm{m}\qquad\qquad v_1 = 288\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times \frac{10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}} = 80\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y al entrar en la chicane

$x_2 = 0\,\mathrm{m}\qquad\qquad v_2 = 36\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times \frac{10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}} = 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Para hallar la aceleración aplicamos que en un movimiento uniformemente acelerado

$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}a t^2\qquad\qquad v(t)=v_0+a t$

En este caso no conocemos lo que tarda en llegar a la chicane, pero no es necesario. tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (la aceleración y el intervalo de frenado).

Si contamos como instante inicial el del comienzo de la frenada, ya tenemos

x 0

v 0

. Para el final de la frenada nos queda

$x_2 = x_1 + v_1 t + \frac{1}{2}at^2 \qquad v_2 = v_1 + a t$

Elevando la segunda ecuación al cuadrado podemos eliminar el tiempo

$v_2^2 = v_1^2 + 2av_1 t + a^2 t^2 = v_1^2 + 2a\left(v_1t + \frac{1}{2}at^2\right) = v_1^2 + 2a(x_2-x_1)$

Despejando

$a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2(x_2-x_1)}$

Este resultado es un caso particular de la fórmula general

$a = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}v^2\right)$

que cuando la aceleración es constante se reduce a un cociente entre incrementos.

Sustituyendo los valores numéricos nos queda

$a = \frac{(10\mathrm{m}/\mathrm{s})^2-(80\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2(0\,\mathrm{m}-(-150\,\mathrm{m}))} = -21\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3 “Fuerzas G”

En el mundo de la Fórmula 1 y otras actividades que implican grandes aceleraciones (por ejemplo, el pilotaje de un caza) se habla de que el piloto está sometido a “Fuerzas G”.

En realidad, no se está hablando de fuerzas sino de aceleraciones. Consiste en expresar la aceleración empleando como unidad la aceleración de la gravedad, cuyo valor estándar es de 9.80665 m/s². De esta forma, si un piloto experimenta “3 fuerzas G”, quiere decir que a = 3g.

El nombre de fuerzas G viene de la analogía con el peso. Por el principio de equivalencia, un cuerpo que experimenta una aceleración igual a la de la gravedad está sometido a una fuerza igual a su propio peso. Si es de 3g equivale a que el cuerpo soporta una fuerza comparable a la opresión que tendría si tuviera que aguantar a tres personas de su mismo peso, colocadas encima suya. Es fácil ver que fuerzas G superiores a 5 no se pueden soportar por periodos prolongados de tiempo.

En el caso del piloto de Fórmula 1, el valor sería

$\frac{|a|}{g} = \frac{21}{9.80665} = 2.14$

El piloto experimenta entonces 2.14 fuerzas G. El efecto físico al frenar sería equivalente a un empujón hacia adelante de más del doble del peso del piloto.

4 Velocidad como función de la posición

En el frenado de un vehículo, su velocidad va disminuyendo con la posición. Al ser la aceleración constante, podríamos pensar que la velocidad varía linealmente con la posición, pero no es así.

Si en la formula anterior

$v_2^2 = v_1^2 + 2a(x_2-x_1)$

consideramos que el instante 1 es el inicial y el 2 no es el final, sino cualquier punto intermedio, nos queda

$v(x)^2 = v_1^2 + 2a(x-x_1)$

y hallando la raíz cuadrada

$v(x) = \sqrt{v_1^2 + 2a(x-x_1)}$

Sustituyendo los valores numéricos

$v(x) = \sqrt{100-42x}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Gráficamente, la velocidad como función de la posición experimenta una cierta curvatura (pese a que la aceleración, que es la derivada respecto al tiempo, es constante)

5 Caso de parada

En el segundo caso tenemos los valores

$x_1=-150\,\mathrm{m}\qquad\qquad v_1=180\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=50\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $x_2=-50\,\mathrm{m}\qquad\qquad v_2=0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

lo que nos da la aceleración

$a=\frac{0-50^2}{2((-50)-(-150))}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-12.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Vemos que en este caso la aceleración es muy inferior.

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viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada