viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Análisis de termómetro de mercurio

1 Enunciado

Se construye un termómetro empleando un capilar de 0.4 mm de diámetro en el que hay una columna de mercurio que a 0°C mide 2.0 cm. Suponiendo que el coeficiente de dilatación lineal vale \alpha=61\times 10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1} en el intervalo (0°C,100°C) y despreciando la dilatación del vidrio, ¿cuánto mediría la columna a 100°C si el mercurio fuera sólido? ¿Cuánto mide, teniendo en cuenta que es líquido? ¿Es esto suficiente para hacerlo legible?
Suponga ahora que en el extremo inferior del capilar hay una pequeña esfera que contiene 0.5 cm³ de mercurio, ¿cuánto medirá en ese caso la columna de mercurio a 100°C?

2 Dilatación como sólido

Si el mercurio fuera un sólido, tendríamos una dilatación lineal de la barra, de forma que su longitud para cada temperatura vale
\alpha = \frac{1}{L_0}\,\frac{\Delta L}{\Delta t_C}\qquad\Rightarrow\qquad L(t_C)=L_0\left(1+\alpha(t_C-t_0)\right)\,
En este caso, esto nos daría un incremento relativo
\frac{\Delta L}{L_0}=\alpha\,\Delta t_C = 61\times 10^{-6}\times 100 = 0.61\%
es decir, de menos del 1%. Esto supondría una dilatación
\Delta L = L_0\alpha\Delta t_C = 0.122\,\mathrm{mm}\qquad\qquad L = 2.0122\,\mathrm{cm}
Se dilata un poco más de una décima de milímetro, lo que es claramente inobservable en un termómetro.

3 Dilatación como líquido

El cálculo anterior no es válido porque no tiene en cuenta que el mercurio es un líquido. Debemos tener en cuenta el aumento de volumen, no de longitud, ya que al aumentar en volumen y poder fluir el resultado es que el líquido “trepa” por el tubo, aumentando el nivel más lo que subiría un sólido.
El coeficiente de dilatación volumétrica para el mercurio vale
\beta = 3\alpha = 1.83\times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}
Lo que nos da un aumento relativo del volumen
\frac{\Delta V}{V_0}=\beta\,\Delta t_C = 1.83\%
Este incremento del volumen se va todo en subir el nivel, ya que si despreciamos la dilatación del vidrio, la sección no cambia
V = SL\qquad\Rightarrow\qquad \Delta V = S\,\Delta L
lo que nos da un incremento relativo de la altura
\frac{\Delta L}{L}=\frac{\Delta V}{V} = 1.83\%
es decir, la altura crece en algo menos del 2%, lo que sigue siendo una cantidad ridícula si queremos medir 100 grados con ella
\Delta L = 0.0183\times 2\,\mathrm{cm} = 0.0366\,\mathrm{cm}\qquad\Rightarrow\qquad L = 2.0366\,\mathrm{cm}

4 Efecto del depósito

Para poder incrementar la subida del nivel y hacerlo legible se recurre a la inclusión de un depósito en el extremo del tubo. En este caso, lo que sube por el capilar es lo debido a la expansión de todo el mercurio, incluyendo el del depósito.
La expansión relativa del volumen es la misma que antes
\frac{\Delta V}{V_0}=\beta\,\Delta t_C=1.83\%
pero ahora se trata del 1.83% de un volumen mucho mayor
V_0 = V_\mathrm{dep}+SL_0\qquad\qquad \Delta V = S\,\Delta L
lo que nos da
\Delta L = \left(L_0+\frac{V_\mathrm{dep}}{S}\right)\beta \,\Delta t_C
Sustituyendo los valores del enunciado
\Delta L = \left(2.0\,\mathrm{cm}+\frac{0.5\mathrm{cm}^3}{\pi(0.02\,\mathrm{cm})^2}\right)\times 0.0183 = 7.32\,\mathrm{cm}
que ya sí es bastante legible (aunque los grados individuales en la escala estarían separados menos de un milímetro).

Análisis numérico de movimiento


1 Enunciado

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente
t (s)0.00.10.20.30.40.50.6
x (m)−1.728−0.4400.5601.2961.7922.0722.160

t (s)0.70.80.91.01.11.21.3
x (m)2.0801.8561.5121.0720.5600.000−0.584

t (s)1.41.51.61.71.81.92.0
x (m)−1.168−1.728−2.240−2.680−3.024−3.248−3.328
Para este movimiento, halle:
  1. El desplazamiento entre t = 0.0\,\mathrm{s} y t=2.0\,\mathrm{s}, así como el valor aproximado de la distancia recorrida en dicho intervalo.
  2. La velocidad media y la rapidez media en el intervalo anterior.
  3. La velocidad media en los intervalos (0.0s, 0.6s), (0.2s, 1.1s) y (0.6s, 1.5s).
  4. El valor aproximado de la velocidad en t= 1.2\,\mathrm{s}.
  5. El valor aproximado de la aceleración en t= 1.2\,\mathrm{s}.
  6. Sabiendo que este movimiento sigue una ley de la forma
x = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,
Calcule
  1. Los valores de las constantes Ak.
  2. El valor exacto de la distancia recorrida y la rapidez media.
  3. El valor exacto de la velocidad y de la aceleración en t = 1.2\,\mathrm{s}.

2 Desplazamiento en el intervalo completo


2.1 Desplazamiento

El desplazamiento lo calculamos como la diferencia entre la posición final y la inicial
\Delta x = x(2.0\,\mathrm{s})-x(0.0\,\mathrm{s})=-3.328\,\mathrm{m}-(-1.728\,\mathrm{m})= -1.600\,\mathrm{m}
Este desplazamiento corresponde gráficamente a la distancia vertical entre el punto inicial y el final.

2.2 Distancia recorrida

Podemos hallar de forma aproximada la distancia recorrida sumando las diferencias entre posiciones, con valor absoluto.
\Delta s = \int_{x_0}^{x_n} |\mathrm{d}x|\simeq \sum_{i=1}^{n} |\Delta x_i|
Para ello, construimos una tabla de diferencias y sumamos (con ayuda de un ordenador).
Archivo:cubica-02.png
Vemos que la distancia recorrida es de 9.376m.
Este procedimiento es general siempre que tengamos una tabla de valores. Sin embargo, para este caso podemos calcular la distancia recorrida por simple inspección. Vemos que la masa parte de un valor de x negativo va aumentando hasta un máximo y a partir de ahi retrocede hasta otro valor negativo. Podemos hallar la distancia total sumando lo que recorre en la ida con lo que recorre en la vuelta
\Delta s = \left|2.160\,\mathrm{m}-(-1.728\,\mathrm{m})\right| + \left|-3.328\,\mathrm{m}-2.160\,\mathrm{m}\right|=3.888\,\mathrm{m}+5.488\,\mathrm{m}

3 Velocidad y rapidez media

La velocidad media la calculamos como el desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-1.600\,\mathrm{m}}{2.0\mathrm{s}}=-0.800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
y la rapidez media se calcula de la misma forma pero con la distancia recorrida
|v|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{9.376\,\mathrm{m}}{2.00\mathrm{s}}=4.688\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Velocidades medias

Para cada uno de los tres intervalos se calcula la velocidad media como el cociente entre el desplzamiento y el intervalo. Resulta en el primer caso
v_m=\frac{x_6-x_0}{0.6\,\mathrm{s}-0.0\,\mathrm{s}}= \frac{3.888\,\mathrm{m}}{0.6\,\mathrm{s}}= +6.48\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
en el segundo
v_m=\frac{x_{11}-x_2}{1.1\,\mathrm{s}-0.2\,\mathrm{s}}= \frac{0.000\,\mathrm{m}}{0.9\,\mathrm{s}}= 0.000\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
y en el tercero
v_m=\frac{x_{15}-x_6}{1.5\,\mathrm{s}-0.6\,\mathrm{s}}= \frac{-3.888\,\mathrm{m}}{0.9\,\mathrm{s}}= -4.32\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Vemos que la velocidad media puede tener cualquier signo o ser nula, dependiendo de hacia donde es el desplazamiento. En cada caso se trata de la pendiente de la secante que pasa por los dos instantes indicados.

5 Velocidad instantánea

Para calcular la velocidad instantánea necesitamos hallar la derivada, lo cual no podemos hacer exactamente pues no disponemos de una función para derivar.
No obstante, si el intervalo de tiempo es pequeño, podemos aproximar la velocidad instantánea por la velocidad media en ese pequeño intervalo.
En este caso podemos tomar el intervalo (1.1s,1.2s) y el (1.2s,1.3s). En el primer caso obtenemos la aproximación
v\simeq \frac{x_{12}-x_11}{1.2\,\mathrm{s}-1.1\,\mathrm{s}}= \frac{-0.560\,\mathrm{m}}{0.1\,\mathrm{s}}= -5.60\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
y en el segundo
v\simeq \frac{x_{13}-x_12}{1.3\,\mathrm{s}-1.2\,\mathrm{s}}= \frac{-0.584\,\mathrm{m}}{0.1\,\mathrm{s}}= -5.84\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Una mejor aproximación es la media de estos dos valores
v\simeq \frac{-5.60-5.84}{2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= -5.72\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Con ayuda del ordenador podemos calcular la velocidad instantánea aproximada para cada par de datos, añadiendo una nueva columna a la tabla.
Archivo:cubica-04.png

6 Aceleración instantánea

Para el cálculo aproximado de la aceleración instantánea realizamos el mismo razonamiento empleando el incremento de velocidades
a\simeq \frac{\Delta v}{\Delta t}
En nuestro caso, ya hemos calculado la velocidad un poco antes y un poco después del instante t =1.2s, por lo que podemos emplearlas para estimar la aceleración
a\simeq \frac{(-5.84-(-5.60))\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.1\,\mathrm{s}}= -2.40\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
De nuevo podemos construir una tabla de las aceleraciones aproximadas en cada instante
Archivo:cubica-05.png
Vemos que en cada derivación aproximada vamos perdiendo una fila de datos, ya que cada uno se calcula a partir de diferencias entre valores sucesivos.
Nótese también que una cosa es la posición, una diferente la velocidad y otra distinta la aceleración. En los puntos en que la posición es nula la velocidad no lo es y viceversa, y lo mismo ocurre con la velocidad y la aceleración.

7 Cálculos exactos

Cuando de lo que se dispone es de una serie de datos numéricos pueden hacerse cálculos analíticos buscando funciones que se aproximen a la serie de datos. Existen diferrentes técnicas aunque es habitual aproximar la función que pasa por varios puntos sucesivos como una parábola o una cúbica.
En este caso se nos dice explícitamente que existe una función cúbica que pasa por todos los puntos.
x = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,
Para determinar estos coeficientes nos basta con imponer por cuatro de los puntos. Lo más sencillo es elegir los valores enteros del tiemo (0.0s, 1.0s y 2.0s) y, dado que necesitamos cuatro, como cuarto punto tomamos t = 0.5\,\mathrm{s}. Si sustituimos nos queda el sistema de ecuaciones
\begin{array}{lrcl} (t=0.0\,\mathrm{s})\qquad & A_0 & = & -1.728\\ (t=1.0\,\mathrm{s})\qquad &A_0+A_1+A_2+A_3 & = & 1.072\\ (t=2.0\,\mathrm{s})\qquad &A_0+2A_1+4A_2+8A_3 & = & -3.328\\ (t=0.5\,\mathrm{s})\qquad &A_0+0.5A_1+0.25A_2+0.125A_3 & = & 2.072 \end{array}
con solución, en el SI,
A_0=-1.728\qquad\qquad A_1=14.4\qquad\qquad A_2=-15.6\qquad\qquad A_3=4.0
de manera que la fórmula analítica es
x=-1.728+14.4t-15.6t^2+4.0t^3\,
A partir de aquí podemos calcular la distancia recorrida. Hallamos en primer lugar la velocidad
v = 14.4-31.2t+12.0t^2\,
Si resolvemos la ecuación de segundo grado v = 0 vemos que se anula en t=0.6\,\mathrm{s} y en t=2.0\,\mathrm{s} (como se ve de la propia gráfica, donde es máxima y mínima la posición). Hasta 0.6s es positiva y de ahí en adelante negativa, por lo que la distancia recorrida vale
\Delta s = \int_{0.0}^{2.0}|v|\mathrm{d}t=\int_{0.0}^{0.6}v\mathrm{d}t+\int_{0.6}^{2.0}(-v)\mathrm{d}t
Las integrales son de una simple función polinómica de integral inmediata. El resultado es
\Delta s = 3.888\,\mathrm{m}+5.488\,\mathrm{m}=9.376\,\mathrm{m}
El resultado coincide con el que hallamos a partir de la serie de datos por coincidir el máximo con uno de los puntos de la serie.
La rapidez media, lógicamente, es la misma que ya conocemos
|v|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{9.376\,\mathrm{m}}{2.00\mathrm{s}}=4.688\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Para la velocidad instantánea sustituimos t por 1.2s y queda
v(t=1.2\,\mathrm{s})=14.4-31.2(1.2)+12.0(1.2)^2 = -5.76\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Si comparamos este valor con el de −5.72m/s que hallamos antes, vemos que la diferencia es del 0.7%.
Para hallar la aceleración derivamos de nuevo
a=-31.2+24.0t\,
que en t = 1.2\,\mathrm{s} vale
a(t=1.2\,\mathrm{s})=-2.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
que en este caso coincide con el valor obtenido a partir de la serie de datos.
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