viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Aplicación:Disco empujando una varilla articulada en él

1 Enunciado

Un disco de radio R (sólido "0"), se mueve contenido siempre en el mismo plano vertical OXY. El centro C del disco realiza un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad v0 respecto del plano horizontal fijo (sólido "1"), sobre el que rueda sin deslizar. Un barra rígida de longitud 4R (sólido "2"), contenida también en OXYZ, tiene su extremo A articulado en un punto del perímetro del disco, mientras que su extremo B se desliza sobre el plano horizontal.
  1. Determina la posición de los C.I.R. en las cuatro posiciones indicadas en la figura.
  2. Explica qué tipo de movimiento realiza la barra en cada uno de los instantes correspondientes a dichas posiciones.

2 Solución


2.1 Solución gráfica

La imagen muestra la resolución gráfica de la cuestión. El disco rueda sin deslizar, por lo que el C.I.R. correspondiente al movimiento "01" es siempre el punto de contacto del disco con el suelo. Por otro lado, el punto A donde la barra está articulada al disco pertenece siempre a los dos sólidos a la vez, es decir, \vec{v}^A_{20}=\vec{0}. Por tanto, el punto A es el C.I.R. del movimiento "20", I_{20}\equiv A. Según el teorema de los tres centros, el punto I21 debe situarse sobre la línea que une los puntos I20 y I01.
Por otro lado, el punto B de la barra sólo puede moverse deslizando sobre el suelo (sólido "1"). Por tanto su velocidad \vec{v}^B_{21} sólo puede tener componente horizontal. Como es un movimiento plano, el C.I.R. I21 debe estar situado sobre la línea perpendicular a \vec{v}^B_{21} y que pasa por el punto B, como se indica en la figura.
Ahora podemos analizar cada uno de los casos e identificar el tipo de movimiento instantáneo de la barra.


2.2 Caso 1

El punto I21 se encuentra en la intersección de las rectas \overline{I_{01}I_{20}} y la recta perpendicular a \vec{v}^B_{21} que pasa por B. Como estas dos rectas son paralelas su intersección ocurre en el infinito. Por tanto, I21 está en el infinito (hacia arriba o hacia abajo) y en ese instante el movimiento "21" es una traslación instantánea.

2.3 Caso 2

Ahora la recta \overline{I_{01}I_{20}} corta a la recta perpendicular a \vec{v}^B_{21} en un punto, que es el I21. En este instante el movimiento "21" es una rotación instantánea.

2.4 Caso 3

Ahora I20 y I01 coinciden en el punto A. Por tanto todas las velocidades en A se anulan, en particular \vec{v}^A_{21}=\vec{0}. La condición cinemática de sólido rígido aplicada a la barra es
\vec{v}^B_{21}\cdot\vec{AB}=\vec{v}^A_{21}\cdot\vec{AB}=0
Ahora bien, \vec{v}^B_{21} sólo puede tener componente horizontal, en este caso, debe ser paralela a la barra. Por tanto
\vec{v}^B_{21}\cdot\vec{AB} = |\vec{v}^B_{21}||\vec{AB}|=0
Como |\vec{AB}|\neq0 tenemos que \vec{v}^B_{21}=\vec{0} y por tanto I_{21}\equiv B. Es decir, la barra está en reposo instantáneo.
Otra forma de ver que I_{21}\equiv B es observar que al pasar del caso 1 al 2 y luego al 3 el C.I.R. I21 se mueve a lo largo de la recta perpendicular a \vec{v}^B_{21} que pasa por B.

2.5 Caso 4

La situación es similar a la del caso 2, sólo que esta vez el punto I21 está por debajo del suelo. El movimiento es una rotación instantánea.

Aplicación: Dos muelles oscilando en direcciones perpendiculares


1 Enunciado

Sobre una mesa horizontal se encuentran dos resortes ideales sin masa, misma constante k y longitud natural nula. Los dos resortes están atados al centro de la mesa. Atados a los muelles se encuentran una masa m y una masa m / 4. En un momento dado, la primera masa se lleva al punto x_0\vec{\imath} del centro soltándola desde el reposo, mientras que a la segunda masa, situada en el origen, se le comunica una velocidad v_0\vec{\jmath}.
  1. Determina la posición del CM a partir de ese instante. ¿Describe un movimiento periódico? ¿Con qué periodo?
  2. Halla la energía cinética y el momento cinético del sistema.


2 Solución


2.1 Movimiento de cada masa

El sistema consiste en dos masas puntuales acoplada cada una de ellas a un muelle sin masa de constante recuperadora k. Cada una de las masas realiza un movimiento armónico simple (MAS) en la dirección del muelle. Si llamamos m1 a la masa que se mueve a lo largo del eje X y m2 a la que lo hace a lo largo del eje Y el vector de posición de cada una de las masas se puede escribir
\begin{array}{l} \vec{r}_1(t) = x_1(t)\,\vec{\imath}\\ \vec{r}_2(t) = y_2(t)\,\vec{\jmath} \end{array}
Cada una de las componentes cumple la ecuación del oscilador armónico, con la frecuencia correspondiente a la combinación de su masa y la constante recuperadora del muelle
\begin{array}{lcl} \ddot{x}_1 + \omega_1^2\,x_1 = 0&\qquad\qquad\qquad& \omega_1 = \sqrt{k/m}\\ &&\\ \ddot{y}_2 + \omega_2^2\,y_1 = 0&\qquad\qquad\qquad& \omega_2 = \sqrt{k/(m/4)} = 2\sqrt{k/m} \end{array}
Vemos que ω2 = 2ω1. Para simplificar escribimos
\omega_1 = \omega \qquad\qquad \omega_2 = 2\,\omega\qquad\qquad \omega=\sqrt{k/m}
La solución general de la ecuación del oscilador armónico puede escribirse de dos formas
x_1(t) = a_1\cos(\omega t + \phi_1) = b_1\cos(\omega t) + c_1\,\mathrm{sen}(\omega t)
En el primer caso las constantes que hay que determinar a partir de las condiciones de contorno son a1 y φ1 y en el segundo b1 y c1. En este caso el cálculo es ligeramente más simple si escogemos la segunda forma.

2.1.1 Masa sobre el eje X

El enunciado nos dice que la masa que se mueve horizontalmente se suelta con velocidad nula desde una distancia x0 del origen. Por tanto, las condiciones iniciales son
x_1(0) = x_0\qquad\qquad \dot{x}_1(0)=0
La solución de la ecuación del MAS se escribe
\begin{array}{lcl} x_1(t) = b_1\cos(\omega t) + c_1\,\mathrm{sen}(\omega t) & \Longrightarrow & x_1(0) = b_1=x_0\\ && \\ \dot{x}_1(t) = -\omega b_1\,\mathrm{sen}(\omega t) + \omega c_1\,\mathrm{cos}(\omega t) & \Longrightarrow & \dot{x}_1(0) = 0 = \omega c_1 \end{array}
Por tanto, el vector de posición de la masa 1 es
\vec{r}_1(t)=x_0\cos(\omega t) \,\vec{\imath}

2.1.2 Masa sobre el eje Y

El procedimiento es similar para la masa que se mueve verticalmente. Esta parte desde el origen con velocidad inicial \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\jmath} . Por tanto las condiciones iniciales son
y_2(0) = 0\qquad\qquad \dot{y}_2(0)=v_0
La solución de la ecuación del MAS se escribe
\begin{array}{lcl} y_2(t) = b_2\cos(2\omega t) + c_2\,\mathrm{sen}(2\omega t) & \Longrightarrow & y_2(0) = b_2=0\\ && \\ \dot{y}_2(t) = -2\omega b_2\,\mathrm{sen}(2\omega t) + 2\omega c_2\,\mathrm{cos}(2\omega t) & \Longrightarrow & \dot{y}_2(0) = v_0 = 2\omega c_2 \end{array}
Por tanto, el vector de posición de la masa 1 es
\vec{r}_2(t)=\frac{v_0}{2\omega}\,\mathrm{sen}(2\omega t) \,\vec{\jmath}

2.2 Posición del centro de masas

Ahora basta con aplicar la fórmula que nos da la posición del centro de masas de un sistema de partículas.
\vec{r}_{CM} = \frac{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n m_i\vec{r}_i}{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nm_i}
En este caso tenemos sólo dos masas, por tanto
\vec{r}_{CM} = \frac{\displaystyle m\vec{r}_1 + \frac{m}{4}\vec{r}_2}{m+\frac{\displaystyle m}{\displaystyle 4}} = \frac{4}{5}x_0\cos(\omega t)\,\vec{\imath} + \frac{2}{5}\frac{v_0}{\omega}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{\jmath}
Cada uno de las componentes es periódica. El período de cada una de ellas es
T_x = \frac{2\pi}{\omega} \qquad\qquad T_y = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega} = \frac{T_x}{2}
Cada intervalo de tiempo T_x =2\,T_y las posiciones y velocidades de ambas masas son iguales a las iniciales. Por tanto el movimiento es periódico con período
T = 2π / ω

2.3 Energía cinética del sistema

La energía cinética de un sistema de partículas es
K = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}m_iv_i^2
Para cada masa su velocidad es
\begin{array}{lcl} \vec{v}_1(t) = \dot{\vec{r}}_1 = -\omega\,x_0\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath} &\Longrightarrow& v_1^2(t) = x_0^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(\omega t) \\ && \\ \vec{v}_2(t) = \dot{\vec{r}}_2 = v_0\,\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{\jmath} &\Longrightarrow& v_2^2(t) = v_0^2\,\mathrm{cos}^2(2\omega t) \end{array}
La energía cinética es
K = \frac{m\,x_0^2\,\omega^2}{2}\,\mathrm{sen}^2(\omega t) + \frac{m\,v_0^2}{8}\cos^2(2\omega t)

2.4 Momento cinético del sistema

El momento cinético de un sistema respecto del origen es
\vec{L} = \sum\limits_{i=1}^n \vec{r}_i\times\vec{p}_i = \sum\limits_{i=1}^n \vec{r}_i\times(m_i\vec{v}_i)
En este caso, no hace falta hacer ningún cálculo. Las velocidades de cada masa tienen la forma
\vec{v}_1(t) = v_1(t)\,\vec{\imath} \qquad\qquad \vec{v}_2(t) = v_2(t)\,\vec{\jmath}
Por tanto, el momento cinético total es
\vec{L} = \vec{r}_1\times(m_1\vec{v}_1) + \vec{r}_2\times(m_2\vec{v}_2)= (x_1\,\vec{\imath})\times(m_1\,v_1\,\vec{\imath})+ (y_2\,\vec{\jmath})\times(m_2\,v_2\,\vec{\jmath})=\vec{0}




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