Geometría analítica

Sistemas de coordenadas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto ${\displaystyle P}$ en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,${\displaystyle z}$), donde:

• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto ${\displaystyle P}$ al eje ${\displaystyle z}$, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano ${\displaystyle XY}$
• φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje ${\displaystyle X}$ la proyección del radiovector sobre el plano ${\displaystyle XY}$.
• ${\displaystyle z}$: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano ${\displaystyle XY}$.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

${\displaystyle 0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2 -="" annotation="" infty="" pi="" qquad="" z="">$

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \sin \varphi ,\qquad z=z}$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje ${\displaystyle Z}$.
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas ${\displaystyle z}$: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies ${\displaystyle z}$=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}$

e inversamente

${\displaystyle {\hat {x}}=\cos \varphi \,{\hat {\rho }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {y}}={\rm {sen}}\varphi \,{\hat {\rho }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\hat {z}}={\hat {z}}}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

${\displaystyle h_{\rho }=1\qquad h_{\varphi }=\rho \qquad h_{z}=1}$

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

${\displaystyle {\vec {r}}=\rho \,{\hat {\rho }}+z\,{\hat {z}}}$

Nótese que no aparece un término ${\displaystyle \varphi \,{\hat {\varphi }}}$. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}\\\ &=&\rho \cos \varphi \ {\vec {i}}+\rho \sin \varphi \ {\vec {j}}+z{\vec {k}}\\\ &=&\rho (\cos \varphi \ {\vec {i}}+\sin \varphi \ {\vec {j}})+z{\vec {k}}\\\ &=&\rho {\hat {\rho }}+z{\hat {z}}\end{array}}}$

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

${\displaystyle d{\vec {r}}=h_{\rho }\,d\rho \,{\hat {\rho }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+h_{z}\,dz\,{\hat {z}}=d\rho \,{\hat {\rho }}+\rho \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}+dz\,{\hat {z}}}$

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, ${\displaystyle q_{3}={\rm {cte.}}}$ el resultado es

${\displaystyle d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}}$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

• ρ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\rho ={\rm {cte}}}=\rho \,d\varphi \,dz\,{\hat {\rho }}}$
• φ=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=d\rho \,dz\,{\hat {\varphi }}}$
• z=cte: ${\displaystyle d{\vec {S}}_{z={\rm {cte}}}=\rho \,d\rho \,d\varphi \,{\hat {z}}}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

${\displaystyle dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}}$

que para coordenadas cilíndricas da

${\displaystyle dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

• Gradiente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

• Divergencia

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho F_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

• Rotacional

${\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}\left|{\begin{matrix}{\hat {\rho }}&\rho \,{\hat {\varphi }}&{\hat {z}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\F_{\rho }&\rho \,F_{\varphi }&F_{z}\end{matrix}}\right|}$

• Laplaciano

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

Coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.

En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

Figura 6. Sistema de Coordenadas cilíndricas

Ver Simulación

En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 7 , ilustra los tres vectores directores del sistema.

Figura 7. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.

Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Donde  es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY ,  es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo y  coincide con la componente cartesiana del mismo nombre.

Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 11 .

Ecuación11 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Los vectores  del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de acuerdo con la coordenada ; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas.

Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivación o integración directa cuando se involucra la coordenada .

Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros.

En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa.

Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Ecuación 12 Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Ecuación 13 Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.