Geometría elemental

 un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Ejemplo de cono.

Elementos

Directriz

Es una curva plana, por cuyos puntos pasa una recta que también pasa por un punto fijo.

Generatriz

Es la recta que pasa por el punto fijo y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica.

Base

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.

Vértice

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Altura

En un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Cono (sólido geométrico)

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.^1 2

Propiedades

Área de la superficie cónica

El área ${\displaystyle A\,}$ de la superficie del cono recto es:

${\displaystyle A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!}$

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: ${\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,}$.

Desarrollo plano de un cono recto

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de ${\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,}$

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mathrm {{\acute {a}}ngulo} =360(r/a)\,}$.

Volumen de un cono

El volumen ${\displaystyle V\,}$ de un cono de radio ${\displaystyle r\,}$ y altura ${\displaystyle h\,}$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

${\displaystyle V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!}$

La ecuación se obtiene mediante ${\displaystyle \int _{0}^{h}A(x)dx\,\!}$,

donde ${\displaystyle A(x)\,}$ es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura ${\displaystyle h}$, en este caso ${\displaystyle A(x)=\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}}$.

Cono oblicuo

Secciones de un cono recto y un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrollo

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

Volumen

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle r}$ es el radio de la base y ${\displaystyle \scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

${\displaystyle V={\frac {\pi abh}{3}}}$

siendo ${\displaystyle \scriptstyle a}$ y ${\displaystyle \scriptstyle b}$ los semiejes de la elipse y ${\displaystyle \scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesidad del principio de Cavalieri.

Secciones cónicas

Distintas secciones cónicas.

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas

Superficie cónica.

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,}$

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

${\displaystyle X(\theta ,t)=(at\cos(\theta ),bt\sin(\theta ),ct),\,}$

que es llamada parametrización usual del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta ${\displaystyle (t,0,{\frac {c\,t}{a}})\,}$ respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

CONO

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     El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver revolución cono
 

    Ponga aquí el ratón y podrá ver el desarrollo del cono
 

    Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL

AL = p · r · g

(Es decir, es área lateral es igual a p (pi)multiplicado por el radio (r) de  la base  y multiplicado por  la generatriz ( g ) del cono)

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ÁREA TOTAL

AT = AL +  Ab

(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del circulo de la base)

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VOLUMEN

V = Ab · h/ 3

(Es decir, el volumen es igual al área del circulo de  la base multiplicado por la altura ( h ) del cono y dividido entre 3)

El cono recto es la superficie de revolución generada por hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo.

Área del cono

El área de la base es A_b=π·² y la de la superficie lateral A_l=π·r·g, por lo tanto la fórmula del área es:

Volumen del cono

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El volumen del cono es: