Termodinámica

Números adimensionales usados en termodinámica

El número de Kossovich ${\displaystyle (Ko)}$ es un número adimensional usado en la transferencia de calor durante la evaporación del disolvente de un cuerpo húmedo.^1 2

Este número corresponde a la relación entre la energía necesaria para la evaporación del disolvente y la energía necesaria para elevar la temperatura de ese mismo cuerpo. Este número es cercano al número de Biot.

Se define como sigue:

${\displaystyle Ko={\frac {{\Delta }_{v}H\Delta u}{c_{p}\Delta T}}}$

siendo:

• Δ_vH - entalpía de vaporización
• Δu - diferencia del contenido de disolvente en el cuerpo
• c_p - capacidad térmica específica
• ΔT - diferencia de temperatura de los cuerpos

El número de Lewis (Le) es un número adimensional definido como el cociente entre la difusividad térmica y la difusividad másica. Se usa para caracterizar flujos en donde hay procesos simultáneos de transferencia de calor y masa por convección. Se define como:

${\displaystyle {\mathit {Le}}={\frac {\alpha }{\mathit {D}}}}$

En donde:

• ${\displaystyle \alpha }$ es la difusividad térmica.
• ${\displaystyle D}$ es la difusividad másica.

El número de Lewis puede expresarse también en términos de número de Schmidt y número de Prandtl.

${\displaystyle {\mathit {Le}}={\frac {\mathit {Sc}}{\mathit {Pr}}}}$.

Se denomina así por Warren K. Lewis (1882–1975),¹ quien fue el primer director del Departamento de Ingeniería Química del MIT.² Muchos estudiosos en el campo de los procesos de combustión asumen (incorrectamente) que el número de Lewis hace honor a Bernard Lewis (1899–1993), quien durante muchos años fue la principal figura en el campo de la investigación en combustión.

 Cómo determinar la estructura de Lewis: Teoría RPECV

• Unidad 3: Enlace químico

La teoría RPECV (repulsión de pares electrónicos de la capa de valencia) permite deducir la estructura de Lewis de un compuesto determinado, basándose en el número de electrones de valencia de los átomos que conforman dicho compuesto. Para ello debemos seguir una serie de pautas que se resumen en los cinco puntos siguientes:

1. Debemos identificar cuál será el átomo central (en el caso de que existan más de dos átomos). Normalmente, el átomo central será el menos electronegativo. Excepción a esta regla es el hidrógeno, ya que este elemento sólo puede tener alrededor de él dos electrones.
2. Contamos los electrones de valencia de todos los átomos, teniendo en cuenta, también, la carga (si se trata de un ión).
3. Contamos los electrones totales que debería haber si todos los átomos tuviesen completo su octeto.
4. La diferencia de (3) – (2) nos dará el número de electrones enlazados.
5. Se completa el octeto a cada átomo, verificando que el número de electrones dibujado coincida con el calculado en (2).

El número de Marangoni (Mg) es un número adimensional llamado así en honor al científico italiano Carlo Marangoni. El número de Marangoni es proporcional al cociente entre fuerzas de tensión superficial (térmicas) y fuerzas viscosas. Por ejemplo es aplicable en cálculos del comportamiento del combustible en tanques de vehículos espaciales o en la investigación de burbujas y espumas.

Se define como:

${\displaystyle \mathrm {Mg} =-{\frac {d\sigma }{dT}}\;{\frac {1}{\eta \alpha }}\cdot L\cdot \Delta T}$

En donde:

• ${\displaystyle \sigma }$ es la tensión superficial.
• ${\displaystyle L}$ es una longitud característica.
• ${\displaystyle \alpha }$ es la difusividad térmica.
• ${\displaystyle \eta }$ es la viscosidad dinámica.
• ${\displaystyle \Delta T}$ es la diferencia de temperaturas.

número de Rayleigh (Ra) de un fluido es un número adimensional asociado con la transferencia de calor en el interior del fluido. Cuando el número de Rayleigh está por debajo de un cierto valor crítico, la transferencia de calor se produce principalmente por conducción; cuando está por encima del valor crítico, la transferencia de calor se produce principalmente por convección.

El número de Rayleigh se llama así en honor a Lord Rayleigh y es el producto del número de Grashof y el número de Prandtl. Para el caso de convección natural en una pared vertical el número de Rayleigh se define como:

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$

En donde:

• Ra_x es el número de Rayleigh asociado a un cierto punto x de la superficie sometida a estudio.
• Gr_x es el número de Grashof asociado a un cierto punto x de la superficie sometida a estudio.
• Pr es el número de Prandtl.
• g es la aceleración de la gravedad.
• L es la longitud característica, en este caso la distancia desde el inicio de la pared.
• T_p es la temperatura de la pared.
• T_∞ es la temperatura del fluido alejado de la pared o corriente libre.
• ν es la viscosidad cinemática.
• α es la difusividad térmica.
• β es el coeficiente de expansión térmica.

Las propiedades físicas del fluido (Pr, ν, α y β) se deben evaluar a la temperatura de la capa límite que se define como:

${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{p}+T_{\infty }}{2}}}$

En muchas situaciones ingenieriles, el número de Rayleigh tiene valores alrededor de 10⁶ - 10⁸.

Generalmente, la convección comienza para valores del número de Rayleigh mayores de mil, Ra>1000, mientras que para Ra<10 calor="" completamente="" conducci="" de="" es="" la="" n.="" p="" por="" transferencia="">

En geofísica el número de Rayleigh es de fundamental importancia: indica la presencia y fuerza de la convección en un fluido como el manto terrestre, que es un sólido pero se comporta como un fluido en escalas de tiempo geológicas. Para el manto terrestre el número de Rayleigh es elevado e indica que la convección en el interior de la tierra es vigorosa y variante, y esa convección es responsable de casi todo el calor transportado desde el interior hasta la superficie de la tierra.

número de Nusselt (Nu) es un número adimensional que mide el aumento de la transmisión de calor desde una superficie por la que un fluido discurre (transferencia de calor por convección) comparada con la transferencia de calor si ésta ocurriera solamente por conducción.

Así por ejemplo en transferencia de calor dentro de una cavidad por convección natural, cuando el número de Rayleigh es inferior a 1000 se considera que la transferencia de calor es únicamente por conducción y el número de Nusselt toma el valor de la unidad. En cambio para números de Rayleigh superiores, la transferencia de calor es una combinación de conducción y convección, y el número de Nusselt toma valores superiores.

Este número se llama así en honor a Wilhelm Nusselt, ingeniero alemán que nació el 25 de noviembre de 1882 en Núremberg. Se define como:

${\displaystyle {\mathit {Nu}}_{L}={\frac {hL}{k_{f}}}={\frac {\mbox{Transferencia de calor por convección}}{\mbox{Transferencia de calor por conducción}}}}$

Ambas transferencias se consideran en la dirección perpendicular al flujo.

En la anterior ecuación se define:

• L, como una longitud característica. Para formas complejas se define como el volumen del cuerpo dividido entre su área superficial.
• k_f, como la conductividad térmica del fluido.
• h, como el coeficiente de transferencia de calor.

El número de Nusselt puede también verse como un gradiente adimensional de temperatura en la superficie. En transferencia de masa el número análogo al número de Nusselt es el número de Sherwood.

Existen muchas correlaciones empíricas expresadas en términos del número de Nusselt para, por ejemplo, placas planas, cilindros, dentro de tuberías, etc, que evalúan generalmente el número de Nusselt medio en una superficie. Estas correlaciones tienen la forma de Nu = f(Número de Reynolds o Número de Rayleigh, Número de Prandtl). Computacionalmente el número de Nusselt medio puede obtenerse integrando el número de Nusselt local en toda la superficie.

Flujo interno laminar desarrollado

Se define flujo interno laminar aquel que discurre en el interior de conductos y con números de Reynolds suficientemente bajos para no ser considerados ni turbulentos ni de transición. Por ejemplo un flujo en el interior de una tubería con un número de Reynolds inferior a 2300.

Se entiende como flujo desarrollado aquel que tiene los perfiles de velocidad y temperatura adimensional constantes a lo largo de la longitud del conducto. Esto ocurre más allá de lo que se conoce como región de entrada.

Para este tipo de flujos es relativamente fácil obtener analíticamente números de Nusselt como los mostrados en la siguiente tabla. Se diferencian dos condiciones de contorno en la pared: flujo de calor constante y temperatura de pared constante. La longitud característica considerada es el diámetro hidráulico.

Sección transversal	NuDh (flujo de calor constante)	NuDh (temperatura de pared constante)
Triángulo equilátero	3	2,35
Cuadrangular	3,63	2,89
Circular	4,364	3,66
Rectangular (Relación de aspecto 4)	5,35	4,65
Dos placas planas de longitud infinita	8,235	7,54
Dos placas planas de longitud infinita y una de ellas aislada térmicamente	5,385	4,86

Flujo interno turbulento desarrollado

En cuanto a flujo interno turbulento cabe destacar las siguientes correlaciones:

Correlación de Dittus & Boelter:

${\displaystyle Nu_{D}=0.023Re_{D}^{0.8}Pr^{n}}$

En donde:

• Nu_D es el número de Nusselt considerando como longitud característica el diámetro o diámetro hidráulico.
• Re_D es el número de Reynolds.
• Pr es el número de Prandtl.

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación es válida para los rangos 0,7 < Pr < 160, Re_D >10000 y L/D > 10.
• El exponente de Pr tiene el valor de n=0,3 cuando el fluido se enfría y n=0,4 cuando el fluido se calienta.
• Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura del fluido.
• Está correlación presenta errores máximos en sus resultados del 40% comparada con datos experimentales.
• Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de temperatura de pared y flujo de calor constantes.

Correlación de Sieder & Tate:

Esta correlación se utiliza en aplicaciones en donde la influencia de la temperatura en las propiedades físicas es significativa.

${\displaystyle Nu=0.027\;Re^{0.8}\;Pr^{0.33}\;\left({\frac {\mu }{\mu ^{\circ }}}\right)^{0.14}}$

En donde:

• μ es la viscosidad evaluada a la temperatura del fluido.
• μ° es la viscosidad evaluada a la temperatura de la pared.

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación es válida para los rangos 0,7 < Pr < 16700 y Re_D > 10⁴.
• Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura del fluido excepto μ₀.
• Se puede utilizar tanto en cálculos en condiciones de temperatura de pared y flujo de calor constantes.

Correlación de Pethukov & Kirilov:

Pese a su complejidad merece la pena citar esta correlación por su precisión.

${\displaystyle Nu_{D}={\frac {(f/8)Re_{D}Pr}{1.07+900/Re_{D}-0.63/(1+10Pr)+12.7(f/8)^{1/2}(Pr^{2/3}-1)}}}$

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación tiene errores del 5% en el rango 0,5 < Pr < 10⁶ y 4000 < Re_D < 5·10⁶.
• f es el factor de fricción y se puede estimar mediante el diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook-White.

Flujo externo laminar

En mecánica de fluidos flujo externo es aquel en el que las capas límite se desarrollan libremente sin restricciones impuestas por superficies adyacentes. Por tanto siempre existirá una región de flujo fuera de la capa límite en el que los gradientes de velocidad, temperatura y/o concentración son despreciables.

Las siguientes correlaciones para el número de Nusselt son aplicables en régimen laminar.

Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:

${\displaystyle Nu_{x}=0.332Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$ para Pr = 1.

${\displaystyle Nu_{x}=0.664Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$ para Pr < 1.

${\displaystyle Nu_{x}=0.339Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$ para Pr > 1.

En este caso la longitud característica (x) es la distancia desde el inicio de la placa. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre.

Flujo perpendicular a un cilindro de temperatura superficial constante:

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{D}\ =0.30+{\frac {0.62Re_{D}^{1/2}Pr^{1/3}}{[1+(0.40/Pr)^{2/3}]^{1/4}}}*[1+(Re_{D}/282000)^{5/8}]^{4/5}}$

En este caso la longitud característica es el diámetro del cilindro. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la corriente libre y de la superficie.

Flujo alrededor de una esfera de temperatura superficial constante:

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{D}\ =2+(0.4Re_{D}^{1/2}+0.06Re_{D}^{2/3})Pr^{0.4}\left({\frac {\mu }{\mu _{s}}}\right)^{1/4}}$

La longitud característica es el diámetro de la esfera. μ_s es la viscosidad del fluido evaluada a la temperatura superficial de la esfera. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre.

Flujo externo turbulento

Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:

${\displaystyle Nu_{x}=0.029Re_{x}^{0.8}G}$

Esta correlación es válida para números de Prandtl turbulentos cercanos a 1. El parámetro G se define como:

${\displaystyle G={\frac {Pr}{(0.029/Re_{x})^{1/2}[5Pr+5\ln[(1+5Pr)/6]-5]+1}}}$

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre.

Convección natural

Se define la convección natural como el movimiento convectivo producido en fluido y debido solamente a la variación de temperatura (densidad) en el interior del fluido.

Convección natural desde una superficie vertical:

Se puede emplear la correlación de Churchill & Chu válida también para superficies inclinadas cambiando la aceleración de la gravedad (g) de la definición del número de Rayleigh por (g·sin γ) en donde γ es el ángulo de desviación de la superficie respecto al plano vertical. Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura de la pared constante.

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{L}\ =\left[0.825+{\frac {0.387Ra_{L}^{1/6}}{\left[1+\left({\frac {0.492}{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}}\right]^{2}}$

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación es válida para los rangos 0,1 < Ra_L < 10¹² y 0º < γ < 60º.
• La longitud característica (L) es la longitud vertical de la pared.
• Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la pared y el ambiente.

Las correlaciones de Vliet & Liu son válidas para la condición de contorno de flujo de calor constante en la pared. Para flujo laminar:

${\displaystyle Nu_{x}=0.60(Gr_{x}^{*}Pr)^{1/5}}$ para 10⁵ < Gr_x^* Pr < 10¹³

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{L}\ =1.25Nu_{L}}$ para 10⁵ < Gr_x^* Pr < 10¹¹

Para flujo turbulento:

${\displaystyle Nu_{x}=0.568(Gr_{x}^{*}Pr)^{0.22}}$ para 10¹³ < Gr_x^* Pr < 10¹⁶

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{L}\ =1.136Nu_{L}}$ para 2·10¹³ < Gr_x^* Pr < 10¹⁶

En ambas correlaciones Gr_x^* es una definición especial del número de Grashof:

${\displaystyle Gr_{x}^{*}={\frac {g\beta q'x^{4}}{k\nu ^{2}}}}$

En donde:

• g es la aceleración de la gravedad
• β es el coeficiente de expansión térmica
• x es la longitud característica
• k es la conductividad térmica
• ν es la viscosidad cinemática

Convección natural desde una superficie horizontal:

Las correlaciones de McAdams son válidas cuando la temperatura de la superficie es constante:

• Superficies calientes mirando hacia abajo (superficies frías mirando hacia arriba)

${\displaystyle {\overline {Nu}}\ =0.27Ra^{1/4}}$ para 10⁵ < Ra < 10¹⁰

• Superficies calientes mirando hacia arriba (superficies frías mirando hacia abajo)

${\displaystyle {\overline {Nu}}\ =0.54Ra^{1/4}}$ para 10⁴ < Ra < 10⁷

${\displaystyle {\overline {Nu}}\ =0.15Ra^{1/3}}$ para 10⁷ < Ra < 10¹¹

Fuji & Imura extendieron la correlación de este último caso para flujo de calor constante en la superficie:

${\displaystyle {\overline {Nu}}\ =0.14Ra^{1/3}}$ para Ra > 2·10⁸

Convección natural desde cilindros horizontales:

Se recomienda la utilización de la correlación de Churchill & Chu.

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{D}\ =\left[0.60+0,387\left[{\frac {Ra_{D}}{\left[1+\left({\frac {0.559}{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{16/9}}}\right]^{1/6}\right]^{2}}$

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación es válida para el rango 10^-5 < Ra_D < 10¹².
• La longitud característica (D) es el diámetro del cilindro.
• Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura superficial constante.
• Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la superficie y el ambiente.

Convección natural desde esferas:

Se recomienda la utilización de la correlación de Yuge.

${\displaystyle {\overline {Nu}}_{D}\ =2+0.43Ra_{D}^{1/4}}$

Consideraciones de utilización:

• Esta correlación es válida para los rangos 1 < Ra_D < 10⁵ y Pr = 1.
• La longitud característica (D) es el diámetro de la esfera.
• Esta correlación es válida para la condición de contorno de temperatura superficial constante.
• Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la superficie y el ambiente.