COSMOLOGÍA FÍSICA

La paradoja de Bentley es una paradoja cosmológica que apunta a un problema que ocurre cuando la teoría de la gravitación de Newton se aplica a la cosmología. Richard Bentley fue un contemporáneo más joven de Isaac Newton.. Después de que Newton formuló su ley de la gravitación, observó, en una carta a Richard Bentley, que si todas las estrellas se atraían entre sí por la gravitación, deberían colapsarse en un solo punto. Uno será atraído a otro; esa estrella crecerá y atraerá aún más y más. Con el tiempo, todo debe ser arrastrado hacia adentro. "Según Newton, cada estrella en el universo debería ser atraída hacia cualquier otra estrella. No deben permanecer inmóviles, a una distancia constante entre sí, sino que deben caer juntas hacia algún centro. Newton admitió tanto en una carta a Richard Bentley, un destacado filósofo de Cambridge de la época ". ^[1]Newton resolvió la paradoja afirmando que Dios previno el colapso haciendo "correcciones de minutos constantes". Aunque la explicación de Newton fue bastante insatisfactoria desde un punto de vista cosmológico, la paradoja de Bentley podría ser la razón detrás del " Big Crunch ", el fenómeno opuesto al " Big Bang ".
















clasificación de Bianchi , llamada así por Luigi Bianchi , es una clasificación de álgebras de Lie .

Clasificación [ editar ]

Dimensiones inferiores [ editar ]

En dimensiones cero, el único álgebra de Lie es el álgebra de Lie abeliana R ⁰ . En una dimensión, el único álgebra de Lie es el álgebra de Lie abeliana R ¹ , con un grupo de automorfismos externos el grupo de números reales que no son cero.

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Dimensión 2 [ editar ]

En dos dimensiones, hay dos álgebras de Lie:

• El álgebra R ^{2 de} Lie abeliana , con grupo de automorfismo externo GL ₂ ( R ).
• El álgebra de Lie soluble de 2 × 2 matrices triangulares superiores de la traza 0. El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo de orden 2; Es el grupo afín de la línea.

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Dimensión 3 [ editar ]

El sistema clasifica las álgebras reales de Lie en 3 dimensiones en 11 clases, 9 de las cuales son grupos individuales y dos de las cuales tienen un continuo de clases de isomorfismo. A veces ^{[de acuerdo a quien? ] los}grupos tipo VI y tipo VII se incluyen en las familias infinitas, dando 9 en lugar de 11 clases.

Todos los álgebras de Lie tridimensionales distintos de los tipos VIII y IX se pueden construir como un producto semidirecto de R ² y R , con R que actúa sobre R ² en una matriz M de 2 por 2 . Los diferentes tipos corresponden a diferentes tipos de matrices M , como se describe a continuación.

Tipo Bianchi	notas
Ⅰ	abeliano y unimodular
Ⅱ	nilpotente y unimodular
Ⅲ	solucionable y no unimodular
Ⅳ	solucionable y no unimodular
Ⅴ	solucionable y no unimodular
Ⅵ	solucionable y no unimodular
Ⅵ₀	soluble y unimodular
Ⅶ	solucionable y no unimodular
Ⅶ₀	soluble y unimodular
Ⅷ	semisimple y unimodular
Ⅸ	semisimple y unimodular

Escribe Ⅰ [ editar ]

Este es el álgebra de Lie abeliana y unimodular R ³ . El grupo simplemente conectado tiene un centro R ³ y un grupo de automorfismo externo GL ₃ ( R ). Este es el caso cuando M es 0.

Escribe Ⅱ [ editar ]

Álgebra de Heisenberg . El grupo simplemente conectado tiene centro R y grupo de automorfismo externo GL ₂ ( R ). Este es el caso cuando M es nilpotente pero no 0 (valores propios todos 0).

Escribe Ⅲ [ editar ]

Este álgebra es un producto de R y el álgebra de Lie no abeliana bidimensional. (Es un caso limitante de tipo VI, donde un valor propio se convierte en cero). El grupo simplemente conectado tiene centro R y el automorfismo externo agrupa el grupo de números reales que no son cero. La matriz M tiene un valor propio cero y uno no cero.

Escribe Ⅳ [ editar ]

[ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo el producto de los reales y un grupo de orden 2. La matriz M tiene dos valores propios no cero iguales, pero no es semisimple (diagonalizable).

Escribe Ⅴ [ editar ]

[ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . (Un caso limitante de tipo VI donde ambos valores propios son iguales.) El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y el automorfismo externo agrupa los elementos de GL ₂ ( R) del determinante +1 o −1. La matriz M tiene dos valores propios iguales, y es semisimple (diagonalizable).

Escribe Ⅵ [ editar ]

Una familia infinita. Productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios reales distintos distintos de cero con suma no cero. El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo, un producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.

Escribe Ⅵ₀ [ editar ]

Este álgebra de Lie es el producto semidirecto de R ² por R , con R donde la matriz M tiene valores propios reales distintos no cero con suma cero. Es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré bidimensional , el grupo de isometrías del espacio Minkowski bidimensional . El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo el producto de los números reales positivos con el grupo diédrico de orden 8.

Escribe Ⅶ [ editar ]

Una familia infinita. Productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios no reales y no imaginarios. El grupo simplemente conectado tiene un centro trivial y un grupo de automorfismo externo los reales no cero.

Escribe Ⅶ₀ [ editar ]

Productos semidirectos de R ² por R , donde la matriz M tiene valores propios imaginarios distintos de cero. Este es el álgebra de Lie del grupo de isometrías del plano. El grupo simplemente conectado tiene centro Z y grupo de automorfismo externo un producto de los números reales distintos de cero y un grupo de orden 2.

Escribe Ⅷ [ editar ]

The Lie algebra sl ₂ ( R ) de matrices traceless 2 por 2. El grupo simplemente conectado tiene centro Z y su grupo de automorfismo externo tiene orden 2.

Escribe Ⅸ [ editar ]

El álgebra de Lie del grupo ortogonal O ₃ ( R ). El grupo simplemente conectado tiene un centro de orden 2 y un grupo trivial de automorfismo externo, y es un grupo de giro .

La clasificación de álgebras de Lie complejas de 3 dimensiones es similar, excepto que los tipos VIII y IX se vuelven isomorfos, y los tipos VI y VII se convierten en parte de una sola familia de álgebras de Lie.

Los grupos de Lie tridimensionales conectados se pueden clasificar de la siguiente manera: son un cociente del grupo de Lie conectado simplemente conectado por un subgrupo discreto del centro, por lo que se pueden leer de la tabla anterior.

Los grupos están relacionados con las 8 geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston . Más precisamente, siete de las 8 geometrías se pueden realizar como una métrica invariante a la izquierda en el grupo simplemente conectado (a veces en más de una forma). La geometría Thurston de tipo S ² × R no se puede realizar de esta manera.

Constantes de estructura [ editar ]

Figura 1. El espacio del parámetro como un 3-plano (clase A) y un medio-plano ortogonal 3 (clase B) en R ⁴ con coordenadas ( n ⁽¹⁾ , n ⁽²⁾ , n ⁽³⁾ , a ), Mostrando los representantes canónicos de cada tipo de Bianchi.

Los espacios tridimensionales de Bianchi admiten cada uno un conjunto de tres vectores de Matar $${\ displaystyle \ xi _ {i} ^ {(a)}} que obedecen a la siguiente propiedad:

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ xi _ {i} ^ {(c)}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ partial \ xi _ {k} ^ { (c)}} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha) \ xi _ {(a)} ^ {i} \ xi _ {(b)} ^ {k} = C _ {\ ab} ^ { do}}

dónde $${\ displaystyle C _ {\ ab} ^ {c}}, las "constantes de estructura" del grupo, forman un tensor antisimétrico de orden constante de tres en sus dos índices inferiores. Para cualquier espacio Bianchi tridimensional,$${\ displaystyle C _ {\ ab} ^ {c}} es dado por la relacion

$${\ displaystyle C _ {\ ab} ^ {c} = \ varepsilon _ {abd} n ^ {cd} - \ delta _ {a} ^ {c} a_ {b} + \ delta _ {b} ^ {c} Automóvil club británico}}

dónde $${\ displaystyle \ varepsilon _ {abd}}es el símbolo de Levi-Civita ,$${\ displaystyle \ delta _ {a} ^ {c}}es el delta de Kronecker , y el vector$${\ displaystyle a_ {a} = (a, 0,0)}y tensor diagonal$${\ displaystyle n ^ {cd}} se describen en la siguiente tabla, donde $${\ displaystyle n ^ {(i)}}da el i ésimo valor propio de$${\ displaystyle n ^ {cd}}; ^[1] el parámetro a recorre todos los números reales positivos :

Tipo Bianchi	$${\ displaystyle a}	$${\ displaystyle n ^ {(1)}}	$${\ displaystyle n ^ {(2)}}	$${\ displaystyle n ^ {(3)}}	notas
yo	0	0	0	0	describe el espacio euclidiano
II	0	1	0	0
III	1	0	1	-1	el subcaso de tipo VI a con$${\ displaystyle a = 1}
IV	1	0	0	1
V	1	0	0	0	Tiene una hiper pseudosferacomo un caso especial.
VI 0	0	1	-1	0
VI a	$${\ displaystyle a}	0	1	-1	cuando $${\ displaystyle a = 1}, equivalente a tipo III
VII 0	0	1	1	0	tiene el espacio euclidiano como un caso especial
VII a	$${\ displaystyle a}	0	1	1	Tiene una hiper-pseudosfera como un caso especial.
VIII	0	1	1	-1
IX	0	1	1	1	Tiene una hiperesfera como un caso especial.

La clasificación estándar de Bianchi se puede derivar de las constantes estructurales en los siguientes seis pasos:

1. Debido a la antisimetría. $${\ displaystyle C_ {ab} ^ {c} = - C_ {ba} ^ {c}}, hay nueve constantes independientes $${\ displaystyle C_ {ab} ^ {c}}. Estos pueden representarse de manera equivalente por los nueve componentes de una matriz arbitraria constante C ^ab :

   $${\ displaystyle C_ {ab} ^ {c} = \ varepsilon _ {abd} C ^ {dc},}

   donde ε _abd es el símbolo de Levi-Civita tridimensional totalmente antisimétrico (ε ₁₂₃ = 1). Sustitución de esta expresión por$${\ displaystyle C_ {ab} ^ {c}}en la identidad jacobi , resulta en

   $${\ displaystyle \ varepsilon _ {abd} C ^ {bd} C ^ {ac} = 0.}

2. Las constantes de estructura pueden ser transformadas como:

   $${\ displaystyle C ^ {ab} = \ left (\ det {A} \ right) ^ {- 1} A_ {m} ^ {a} A_ {n} ^ {b} {\ acute {C}} ^ { Minnesota}.}

   La aparición de det A en esta fórmula se debe al hecho de que el símbolo ε _{abd se} transforma como densidad tensorial:$${\ displaystyle \ varepsilon _ {abc} = \ left (\ det {A} \ right) D_ {a} ^ {m} D_ {b} ^ {n} D_ {c} ^ {d} {\ acute {\ varepsilon}} _ {mnd}}, donde έ _mnd ≡ ε _mnd . Mediante esta transformación siempre es posible reducir la matriz C ^ab a la forma:

   {\ displaystyle C ^ {ab} = {\ begin {bmatrix} n_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & C ^ {22} & C ^ {23} \\ 0 & C ^ {32} & C ^ {33} \ end {bmatrix}} .}

   Después de tal elección, uno todavía tiene la libertad de hacer transformaciones de la tríada pero con las restricciones $${\ displaystyle A_ {2} ^ {1} = A_ {3} ^ {1} = 0} y $${\ displaystyle A_ {1} ^ {2} = A_ {1} ^ {3} = 0.}
3. Ahora, las identidades jacobi solo dan una restricción:

   $${\ displaystyle \ left (C ^ {23} -C ^ {32} \ right) n_ {1} = 0.}

4. Si n ₁ ≠ 0 entonces C ²³ - C ³² = 0 y por las transformaciones restantes con$${\ displaystyle A _ {\ bar {b}} ^ {\ bar {a}} \ neq 0, \ quad {\ bar {a}}, {\ bar {b}} = {\ bar {2}}, { \ bar {3}}}, la matriz 2 × 2 $${\ displaystyle C ^ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}}}En C ^ab se puede hacer diagonal. Entonces

   {\ displaystyle C ^ {ab} = {\ begin {bmatrix} n_ {1} & 0 & 0 \\ 0 & n_ {2} & 0 \\ 0 & 0 & n_ {3} \ end {bmatrix}}.

   La condición de diagonalidad para C ^ab se conserva bajo las transformaciones con diagonal$${\ displaystyle A_ {b} ^ {a}}. Bajo estas transformaciones, los tres parámetros n ₁ , n ₂ , n ₃ cambian de la siguiente manera:

   $${\ displaystyle n_ {a} = \ left (A_ {1} ^ {1} A_ {2} ^ {2} A_ {3} ^ {3} \ right) \ left (A_ {a} ^ {a} \ derecha) ^ {2} {\ acute {n}} _ {a}, {\ text {no summation over}} \ a.}

   Mediante estas transformaciones diagonales, el módulo de cualquier n _a (si no es cero) se puede hacer igual a la unidad. Teniendo en cuenta que el cambio simultáneo de signo de todo n _a no produce nada nuevo, se llega a los siguientes conjuntos invariablemente diferentes para los números n ₁ , n ₂ , n ₃(invariantemente diferente en el sentido de que no hay forma de pasar de De unos a otros por alguna transformación de la tríada.$${\ displaystyle e_ {a} ^ {\ bar {a}} = A _ {\ bar {b}} ^ {\ bar {a}} e_ {a} ^ {\ bar {b}}}), es decir, a los siguientes tipos diferentes de espacios homogéneos con matriz diagonal C ^ab :

   ${\displaystyle {\begin{matrix}Bianchi\ IX&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,1),\\Bianchi\ VIII&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,-1),\\Bianchi\ VII_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,1,0),\\Bianchi\ VI_{0}&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,-1,0),\\Bianchi\ II&:&(n_{1},n_{2},n_{3})&=&(1,0,0).\end{matrix}}}$

5. Considere ahora el caso n ₁ = 0. En ese caso, también puede suceder que C ²³ - C ³² = 0. Esto vuelve a la situación ya analizada en el paso anterior pero con la condición adicional n ₁ = 0. Ahora, todo esencialmente Los diferentes tipos para los conjuntos n ₁ , n ₂ , n ₃ son (0, 1, 1), (0, 1, −1), (0, 0, 1) y (0, 0, 0). Los tres primeros repiten los tipos VII ₀ , VI ₀ , II . En consecuencia, solo surge un nuevo tipo:

   $${\ displaystyle Bianchi \ I \: \ (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) \ = \ (0,0,0).}

6. El único caso que queda es n ₁ = 0 y C ²³ - C ³² ≠ 0. Ahora la matriz 2 × 2$${\ displaystyle C ^ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}} ({\ bar {a}}, {\ bar {b}} = 2,3)} no es simétrico y no se puede hacer diagonal mediante transformaciones usando $${\ displaystyle A _ {\ bar {b}} ^ {\ bar {a}} \ neq 0}. Sin embargo, su parte simétrica se puede diagonalizar, es decir, la matriz ^3b3 C ^ab se puede reducir a la forma:

   {\ displaystyle C ^ {ab} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & n_ {2} & a \\ 0 & -a & n_ {3} \ end {bmatrix}},}

   donde a es un número arbitrario. Una vez hecho esto, todavía queda la posibilidad de realizar transformaciones con diagonal$${\ displaystyle A _ {\ bar {b}} ^ {\ bar {a}}}, bajo el cual las cantidades n ₂ , n ₃ y un cambio de la siguiente manera:

   $${\ displaystyle n_ {2} = \ left (A_ {1} ^ {1} A_ {2} ^ {2} A_ {3} ^ {3} \ right) ^ {- 1} \ left (A_ {2} ^ {2} \ derecha) ^ {2} {\ acute {n}} _ {2}, \ quad n_ {3} = \ left (A_ {1} ^ {1} A_ {2} ^ {2} A_ {3} ^ {3} \ derecha) ^ {- 1} \ izquierda (A_ {3} ^ {3} \ derecha) ^ {2} {\ acute {n}} _ {3}, \ quad a = \ izquierda (A_ {1} ^ {1} \ derecha) ^ {- 1} {\ acute {a}}.

   Estas fórmulas muestran que para el n ₂ distinto de cero , n ₃ , a , la combinación a ² ( n ₂ n ₃ ) ⁻¹ es una cantidad invariante. Por una elección de$${\ displaystyle A_ {1} ^ {1}}, se puede imponer la condición a > 0 y una vez hecho esto, la elección del signo de$${\ displaystyle A_ {3} ^ {3} \ left (A_ {2} ^ {2} \ right) ^ {- 1}}permite que uno cambie ambos signos de n ₂ y n ₃ simultáneamente, es decir, el conjunto ( n ₂ , n ₃ ) es equivalente al conjunto (- n ₂ , - n ₃ ). De ello se desprende que existen las siguientes cuatro posibilidades diferentes:

   $${\ displaystyle (a, n_ {2}, n_ {3}) = (a, 0,0), (a, 0,1), (a, 1,1), (a, 1, -1). }

   Para los dos primeros, el número a se puede transformar en unidad por una elección de los parámetros$${\ displaystyle A_ {1} ^ {1}} y $${\ displaystyle A_ {3} ^ {3} \ left (A_ {2} ^ {2} \ right) ^ {- 1}}. Para el segundo dos posibilidades, ambos de estos parámetros ya son fijos y un sigue siendo un número positivo invariante y arbitraria. Históricamente estos cuatro tipos de espacios homogéneos han sido clasificados como:

   {\ displaystyle {\ begin {matrix} Bianchi \ V &: & n_ {1} = 0, \ (a, n_ {2}, n_ {3}) & = & (1,0,0), \\ Bianchi \ IV & : & n_ {1} = 0, \ (a, n_ {2}, n_ {3}) & = & (1,0,1), \\ Bianchi \ VII &: & n_ {1} = 0, \ (a, n_ {2}, n_ {3}) & = & (a, 1,1), \\ Bianchi \ III &: & n_ {1} = 0, \ (a, n_ {2}, n_ {3}) & = & (1,1, -1), \\ Bianchi \ VI &: & n_ {1} = 0, \ (a, n_ {2}, n_ {3}) & = & (a, 1, -1). \ fin {matriz}}}

   El tipo III es solo un caso particular del tipo VI que corresponde a a 1. Los tipos VII y VI contienen una infinidad de tipos de álgebras invariablemente diferentes correspondientes a la arbitrariedad del parámetro continuo a . El tipo VII ₀ es un caso particular de VII que corresponde a a = 0, mientras que el tipo VI ₀ es un caso particular de VI que corresponde también a a = 0.

Curvatura de espacios Bianchi [ editar ]

Los espacios Bianchi tienen la propiedad de que sus tensores Ricci se pueden separar en un producto de los vectores de base asociados con el espacio y un tensor independiente de coordenadas.

Para una métrica dada

$${\ displaystyle ds ^ {2} = \ gamma _ {ab} \ xi _ {i} ^ {(a)} \ xi _ {k} ^ {(b)} dx ^ {i} dx ^ {k}}

(dónde $${\ displaystyle \ xi _ {i} ^ {(a)} dx ^ {i}}　son 1-formas ), el tensor de curvatura de Ricci$${\ displaystyle R_ {ik}} es dado por:

$${\ displaystyle R_ {ik} = R _ {(a) (b)} \ xi _ {i} ^ {(a)} \ xi _ {k} ^ {(b)}}

$${\ displaystyle R _ {(a) (b)} = {\ frac {1} {2}} \ left [C _ {\ \ b} ^ {cd} \ left (C_ {cda} + C_ {dca} \ right ) + C _ {\ cd} ^ {c} \ left (C_ {ab} ^ {\ \ d} + C_ {ba} ^ {\ \ d} \ right) - {\ frac {1} {2}} C_ {b} ^ {\ cd} C_ {acd} \ right]}

donde los índices de las constantes de la estructura se suben y bajan con $${\ displaystyle \ gamma _ {ab}} que no es una función de $${\ displaystyle x ^ {i}}.

Aplicación cosmológica [ editar ]

En cosmología , esta clasificación se utiliza para un espacio-tiempo homogéneo de dimensión 3 + 1. El grupo de mentiras tridimensional es el grupo de simetría del corte espacial tridimensional, y la métrica de Lorentz que satisface la ecuación de Einstein se genera al variar las componentes métricas en función de t. Las métricas de Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker son isotrópicas, que son casos particulares de los tipos I, V,$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {VII}} _ {h}}y IX. Los modelos Bianchi tipo I incluyen la métrica de Kasner como un caso especial. Las cosmologías de Bianchi IX incluyen la métrica Taub . ^[2] Sin embargo, la dinámica cercana a la singularidad se rige aproximadamente por una serie de periodos sucesivos de Kasner (Bianchi I). La dinámica complicada, que esencialmente equivale a un movimiento de billar en una porción del espacio hiperbólico, exhibe un comportamiento caótico y se llama Mixmaster ; su análisis se conoce como el análisis BKL después de Belinskii, Khalatnikov y Lifshitz. ^[3] [4] Un trabajo más reciente ^{[ aclaración necesaria ]} ha establecido una relación de teorías de (super) gravedad ^[¿cual? ]cerca de una singularidad espacial (límite de BKL) conálgebras deLorentzianKac-Moody,grupos de Weylygruposhiperbólicos deCoxeter. ^[5][6][7] Otro trabajo más reciente^{[ aclaración necesaria ]}se refiere a la naturaleza discreta del mapa de Kasner y una generalización continua.