MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

en álgebra abstracta , una estructura algebraica en un conjunto A (llamado conjunto de portadores o conjunto subyacente ) es una colección de operaciones finitas en A ; El conjunto A con esta estructura también se llama álgebra . ^[1]

Los ejemplos de estructuras algebraicas incluyen grupos , anillos , campos y celosías . Se pueden definir estructuras más complejas introduciendo múltiples operaciones, diferentes conjuntos subyacentes o alterando los axiomas definitorios. Los ejemplos de estructuras algebraicas más complejas incluyen espacios vectoriales , módulos y álgebras .

Las propiedades de las estructuras algebraicas específicas se estudian en álgebra abstracta. La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal . El lenguaje de la teoría de categoríasse utiliza para expresar y estudiar las relaciones entre diferentes clases de objetos algebraicos y no algebraicos. Esto se debe a que a veces es posible encontrar conexiones fuertes entre algunas clases de objetos, a veces de diferentes tipos. Por ejemplo, la teoría de Galois establece una conexión entre ciertos campos y grupos: dos estructuras algebraicas de diferentes tipos.

Introducción [ editar ]

La suma y la multiplicación en números son el ejemplo prototípico de una operación que combina dos elementos de un conjunto para producir un tercero. Estas operaciones obedecen a varias leyes algebraicas. Por ejemplo, a+ ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ( bc ) = ( ab ) c , ambos ejemplos de la ley asociativa . También a + b = b + a , y ab = ba , la ley conmutativa.Muchos sistemas estudiados por matemáticos tienen operaciones que obedecen a algunas, pero no necesariamente a todas, las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, las rotaciones de objetos en el espacio tridimensional se pueden combinar realizando la primera rotación y luego aplicando la segunda rotación al objeto en su nueva orientación. Esta operación de rotaciones obedece a la ley asociativa, pero puede fallar a la ley conmutativa.

Los matemáticos dan nombres a conjuntos con una o más operaciones que obedecen a una colección particular de leyes, y los estudian en abstracto como estructuras algebraicas. Cuando se puede demostrar que un nuevo problema sigue las leyes de una de estas estructuras algebraicas, todo el trabajo que se ha realizado en esa categoría en el pasado se puede aplicar al nuevo problema.

En general, las estructuras algebraicas pueden involucrar un número arbitrario de conjuntos y operaciones que pueden combinar más de dos elementos (mayor aridad ), pero este artículo se enfoca en operaciones binarias en uno o dos conjuntos. Los ejemplos aquí no son de ninguna manera una lista completa, sino que son una lista representativa e incluyen las estructuras más comunes. Se pueden encontrar listas más largas de estructuras algebraicas en los enlaces externos y dentro de Categoría: Estructuras algebraicas . Las estructuras se enumeran en orden aproximado de complejidad creciente.

Ejemplos [ editar ]

Un set con operaciones [ editar ]

Estructuras simples : sin operación binaria :

• Conjunto : una estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.
• Conjunto señalado : S tiene uno o más elementos distinguidos, a menudo 0, 1 o ambos.
• Sistema unario: S y una sola operación unaria sobre S .
• Sistema unario puntiagudo : un sistema unario con S un conjunto puntiagudo.

Estructuras tipo grupo : una operación binaria. La operación binaria se puede indicar con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición) como se hace para la multiplicación ordinaria de números reales.

• Magma o groupoid : S y una sola operación binaria sobre S .
• Semigroup : un magma asociativo .
• Monoide : un semigrupo con elemento de identidad .
• Grupo : un monoide con una operación unaria (inversa), dando lugar a elementos inversos .
• Grupo abeliano : un grupo cuya operación binaria es conmutativa .
• Semilattice : un semigrupo cuyo funcionamiento es idempotente y conmutativo. La operación binaria se puede llamar reunirse o unirse .
• Quasigroup : un magma que obedece la propiedad del cuadrado latino . Un quasigroup también puede representarse usando tres operaciones binarias. ^[2]

• Loop : un quasigroup con identidad .

Estructuras en forma de anillo o Ringoids : dos operaciones binarias, a menudo llamadas suma y multiplicación , con multiplicación que se distribuye sobre la suma.

• Semiring : un ringoid tal que S es un monoide en cada operación. Generalmente se supone que la adición es conmutativa y asociativa, y se supone que el producto monoide se distribuye sobre la adición en ambos lados, y la identidad aditiva satisface 0  x = 0 para todas las x .
• Anillo cercano : un semiaje cuyo monoide aditivo es un grupo (no necesariamente abeliano).
• Anillo : un semiaje cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
• Anillo de mentira : un ringoid cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano, pero cuya operación multiplicativa satisface la identidad de Jacobi en lugar de la asociatividad.
• Anillo booleano : un anillo conmutativo con operación de multiplicación idempotente.
• Campo : un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero
• Las álgebras de Kleene : un semiring con adición idempotente y una operación única, la estrella de Kleene , que satisface propiedades adicionales.
• * -algebra : un anillo con una operación unaria adicional (*) que satisface propiedades adicionales.

Estructuras de celosía : dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas cumplir y unirse , conectadas por la ley de absorción . ^[3]

• Celosía completa : una celosía en la que existen reuniones y uniones arbitrarias .
• Celosía acotada : una celosía con un elemento mayor y un elemento menor.
• Celosía complementada : una celosía delimitada con una operación unaria, complementación, denotada por postfix ^⊥ . La unión de un elemento con su complemento es el elemento más grande, y la reunión de los dos elementos es el elemento menor.
• Celosía modular : una celosía cuyos elementos satisfacen la identidad modular adicional .
• Celosía distributiva : una celosía en la que cada uno de los dos se reúne y se une, se distribuye sobre el otro. Las celosías distributivas son modulares, pero lo contrario no es válido.
• Álgebra booleana : una red distributiva complementada. Cualquiera de cumplir o unirse puede definirse en términos de la otra y la complementación. Se puede demostrar que esto es equivalente con la estructura en forma de anillo del mismo nombre anterior.
• Heyting álgebra : un retículo distributivo acotada con una operación binaria añadido, en relación pseudo-complemento , denotado por infija →, y gobernado por los axiomas  x  →  x = 1,  x  ( x  →  Y ) = x y ,  y  ( x  →  y ) = y ,  x  → ( y z ) = ( x  →  y ) ( x  →  z ).

Aritmética : dos operaciones binarias , suma y multiplicación. S es un conjunto infinito . Las aritméticas son sistemas unarios puntiagudos, cuya operación unaria es sucesora inyectiva y con elemento distinguido 0.

• La aritmética de robinson . La suma y la multiplicación se definen recursivamente por medio de un sucesor. 0 es el elemento de identidad para la suma, y ​​aniquila la multiplicación. La aritmética de Robinson se enumera aquí, aunque es una variedad, debido a su cercanía con la aritmética de Peano.
• Aritmética de Peano . Aritmética de Robinson con un axioma de inducción . La mayoría de los axiomas de anillo y de campo que se relacionan con las propiedades de adición y multiplicación son teoremas de la aritmética de Peano o de las extensiones apropiadas de los mismos.

Dos conjuntos con operaciones [ editar ]

Módulos como estructuras: sistemas compuestos que involucran dos conjuntos y emplean al menos dos operaciones binarias.

• Grupo con operadores : un grupo G con un conjunto Ω y una operación binaria Ω ×  G → G que satisfacen ciertos axiomas.
• Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúa como operadores en M . Los miembros de R a veces se denominan escalares , y la operación binaria de la multiplicación escalar es una función R  ×  M → M , que satisface varios axiomas. Al contar las operaciones en anillo, estos sistemas tienen al menos tres operaciones.
• Espacio vectorial : un módulo donde el anillo R es un anillo o campo de división .
• Espacio vectorial graduado : un espacio vectorial con una descomposición de suma directa que divide el espacio en "calificaciones".
• Espacio cuadrático : un espacio vectorial V sobre un campo F con una función de V a F que satisface ciertas propiedades. Cada espacio cuadrático es también un espacio de producto interno (ver más abajo).

Estructuras similares a álgebra : sistema compuesto definido en dos conjuntos, un anillo R y unmódulo R Mequipados con una operación llamada multiplicación. Esto puede ser visto como un sistema con cinco operaciones binarias: dos operaciones en R , dos en H y uno que involucró a ambos R y M .

• Álgebra sobre un anillo (también R-álgebra ): un módulo sobre un anillo conmutativo R , que también lleva a cabo una operación de multiplicación que es compatible con la estructura del módulo. Esto incluye distributiva sobre la suma y la linealidad con respecto a la multiplicación por elementos de R . La teoría de un álgebra sobre un campo está especialmente bien desarrollada.
• Álgebra asociativa : un álgebra sobre un anillo tal que la multiplicación es asociativa .
• Álgebra no asociativa : un módulo sobre un anillo conmutativo, equipado con una operación de multiplicación de anillos que no es necesariamente asociativa. A menudo, la asociatividad se reemplaza con una identidad diferente, como la alternancia , la identidad jacobi o la identidad jordana .
• Coalgebra : un espacio vectorial con una "multiplicación múltiple" definida doblemente a la de las álgebras asociativas.
• Álgebra de mentira : un tipo especial de álgebra no asociativa cuyo producto satisface la identidad de Jacobi .
• Lie coalgebra : un espacio vectorial con una "multiplicación múltiple" definida doblemente a la de las álgebras de Lie.
• Álgebra graduada : un espacio vectorial graduado con una estructura de álgebra compatible con la calificación. La idea es que si se conocen los grados de dos elementos a y b , entonces se conoce el grado de ab , y así se determina la ubicación del producto ab en la descomposición.
• Espacio de producto interno : un F espacio vectorial V con una operación de sesquilinear binario V × V → F .

Cuatro o más operaciones binarias:

• Bialgebra : un álgebra asociativa con una estructura de coalgebra compatible.
• Lie bialgebra : un álgebra de Lie con una estructura compatible de bialgebra.
• Álgebra de Hopf : una bialgebra con un axioma de conexión (antípoda).
• Álgebra de Clifford : un álgebra asociativa graduada equipada con un producto exterior del cual se pueden derivar varios productos internos posibles. Las álgebras exteriores y las álgebras geométricas son casos especiales de esta construcción.

Estructuras híbridas [ editar ]

Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con una estructura agregada de naturaleza no algebraica, como un orden parcial o una topología . La estructura agregada debe ser compatible, en cierto sentido, con la estructura algebraica.

• Grupo topológico : un grupo con una topología compatible con la operación de grupo.
• Grupo de mentiras : un grupo topológico con una estructura múltiple compatible lisa .
• Grupos ordenados , anillos ordenados y campos ordenados : cada tipo de estructura con un orden parcialcompatible .
• Grupo arquimediano : un grupo ordenado linealmente para el cual se conserva la propiedad arquimediana .
• Espacio vectorial topológico : un espacio vectorial cuya M tiene una topología compatible.
• Espacio vectorial normado : un espacio vectorial con una norma compatible . Si dicho espacio está completo(como espacio métrico), se le llama espacio de Banach .
• Espacio de Hilbert : un espacio de producto interno sobre números reales o complejos cuyo producto interno da lugar a una estructura de espacio de Banach.
• Álgebra del operador de vértice
• Álgebra de Von Neumann : un álgebra * de operadores en un espacio de Hilbert equipado con una topología de operador débil .

Álgebra universal [ editar ]

Artículo principal: Álgebra universal.

Las estructuras algebraicas se definen a través de diferentes configuraciones de axiomas . El álgebra universalestudia abstractamente tales objetos. Una de las principales dicotomías es entre las estructuras que están completamente axiomatizadas por identidades y estructuras que no lo son. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebras son identidades, entonces la clase de objetos es una variedad (no debe confundirse con la variedad algebraica en el sentido de geometría algebraica ).

Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando solo las operaciones que permite la estructura, y las variables que están tácitamente universalmente cuantificadas sobre el universo relevante . Las identidades no contienen conectivos , variables cuantificadas existencialmente ni relaciones de ningún tipo que no sean las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal . Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del término álgebra (también llamado " álgebra absolutamente libre ") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Entonces, una colección de funciones con firmas dadas.generar un álgebra libre, el término álgebra T . Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), se puede considerar su simétrica, transitiva de cierre E . El cociente álgebra T / E es entonces la estructura o variedad algebraica. Así, por ejemplo, los grupos tienen una firma que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m , que toma dos argumentos, y el operador inverso i , que toma un argumento, y el elemento de identidad e , una constante, que puede considerarse un operador que toma cero argumentos Dado un conjunto (contable) de variables x , y , z, etc. el término álgebra es la colección de todos los términos posibles que involucran m , i , e y las variables; así, por ejemplo, m (i (x), m (x, m (y, e)) sería un elemento del término álgebra. Uno de los axiomas que definen un grupo es la identidad m (x, i (x)) = e ; otro es m (x, e) = x . Los axiomas se pueden representar como árboles . Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra de cociente tiene la estructura algebraica de un grupo.

Varias estructuras que no son de variedad no son variedades, porque:

1. Es necesario que 0 ≠ 1, 0 sea el elemento de identidad aditivo y 1 sea un elemento de identidad multiplicativo, pero esto no es una identidad;
2. Estructuras, tales como campos tienen algunos axiomas que sostienen solamente para los miembros distintos de cero de S . Para que una estructura algebraica sea una variedad, sus operaciones deben definirse para todos los miembros de S ; No puede haber operaciones parciales.

Las estructuras cuyos axiomas incluyen inevitablemente las no identidades se encuentran entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, campos y anillos de división . Aunque las estructuras con no identidades conservan un sabor algebraico indudable, sufren de defectos que las variedades no tienen. Por ejemplo, el producto de dos campos no es un campo.

Categoria de teoria [ editar ]

La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar estructuras algebraicas (ver, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados . Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo , es decir, cualquier función compatible con la (s) operación (es) que definen la estructura. De esta manera, toda estructura algebraica da lugar a una categoría . Por ejemplo, la categoría de grupos tiene todos los grupos como objetos y todos los homomorfismos como morfismos. Esta categoría concreta puede verse como una categoría de conjuntos con categoría teórica adicional.estructura . Asimismo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupo continuo) es una categoría de espacios topológicos con estructura adicional. Un funtor olvidadizo entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

Hay varios conceptos en la teoría de categorías que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo

• categoría algebraica
• categoría esencialmente algebraica
• categoría presentable
• categoría localmente presentable
• funtores y categorías monádicas
• propiedad universal .

Diferentes significados de "estructura" [ editar ]

En un ligero abuso de notación , la palabra "estructura" también puede referirse a solo las operaciones en una estructura, en lugar del conjunto subyacente en sí. Por ejemplo, la oración "Hemos definido una estructura deanillo en el conjunto$${\ displaystyle A}, "significa que hemos definido las operaciones de anillo en el conjunto$${\ displaystyle A}. Por otro ejemplo, el grupo.$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)} puede ser visto como un conjunto $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}que está equipado con una estructura algebraica, a saber ,la operación $${\ displaystyle +}.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

  12.1  Operaciones (leyes de composición interna).

   Consideraremos un conjunto numérico E, a sus elementos los representaremos por letras minúsculas: a, b, c, ...

  Se define operación interna entre los elementos de un conjunto E como:

es decir, se trata de una aplicación lineal de forma que al elemento (a , b) de E×E se le hace corresponder un elemento c del conjunto E, lo cual se expresa:  *(a,b) = c, o más comúnmente:

a * b = c.

 Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto Z de los números enteros , Z = {... , -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3, ... }, y la suma:

a + b = c

si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna. Sin embargo no sucede esto con la operación división en Z, la división de los enteros 3 y 5:

3 : 5 = 0,6 

que es un número no-entero, por tanto en Z la división no es una operación interna.

  A las operaciones internas también se las llama leyes de composición.

 
  12.2  Diversas propiedades de las operaciones.

  Sea un conjunto E, denotemos por a, b, c, ... sus elementos, y por  *, o, ...  diversas operaciones con estos elementos. Entonces según las propiedades de la operación se habla de:

    

   12.3  Estructuras algebraicas

  Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen. 

  SEMIGRUPO:

  Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *),  que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.

   GRUPO:

   Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.

      SUBGRUPO:

       Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C (3) y todo elemento de C tiene su inverso en C (4).

   La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:

  GRUPO ABELIANO (Conmutativo):

   Es un conjunto G con una operación  *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
 5)  * es conmutativa.

   ANILLO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

    ANILLO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 3b)   º es conmutativa.
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

   CUERPO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 3b)   Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  -- (C, ª) es un grupo (si exceptuamos al elemento neutro para *)--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  CUERPO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 3b)    Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º. 
 5b)  º es conmutativa.   -- (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo abeliano--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  12.4  Algunos ejemplos.

  Ejemplo 1:  Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente operación entre elementos de R:

Comprobar que  tiene estructura de grupo conmutativo .

  Demostración:  Se trata de comprobar el cumplimiento de cada una de las cinco propiedades del grupo conmutativo:

  1)   es una operación interna. En efecto, pues si a y b son números reales, también lo es:   .

  2)   cumple la propiedad asociativa. Para ello hagamos en primer lugar a(bc):

  Ahora veamos (a b) c:

  Son iguales, por tanto la operación es asociativa.

  3)  En R existe elemento neutro para :

 

  el elemento neutro para esta operación es el 0.

  4)  Todo elemento x de R tiene su inverso:

  5)  Finalmente  es conmutativa, pues es obvio que:

a b = b  a

  Ejemplo 2:  Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:

  Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo.

  Solución:  Debemos comprobar cada una de las ocho propiedades del anillo.

  1a)  es una operación interna en Z, pues dados dos números enteros a, b, también es entero a  b = a + b - 8.

  2a) Comprobemos la asociatividad de :

     a  (b  c) = a  ( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 =  a + b + c - 16.

    (a  b)  c = ( a + b - 8)  c =   ( a + b - 8) + c - 8 =  a + b + c - 16.

   En efecto,  es asociativa.

  3a)  Veamos si en Z hay elemento neutro para :

         x  e = x   ->  x + e - 8 = x  ->   e = 8  (el 8 es el elemento neutro)

  4a)  Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para  ?:

          

    En efecto, el elemento inverso del a es:  16 - a.

  5a)  ¿ Es conmutativa  ?:

      a  b = a + b - 8     ;     b  a = b + a - 8

     Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales.

  1b) * es operación interna.

     Verdaderamente, pues si tomamos dos números enteros a, b, entonces también es entero el número:

a * b = a + b - a.b

  2b) Comprobemos si * es asociativa :

   a * (b * c) = a * ( b + c - b c) = a + (b + c - bc) - a.(b + c - bc) =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

(a * b) * c = ( a + b - ab) * c =   ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab).c =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

     Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa.

  3b) Comprobemos si * es conmutativa:

  a *  b = a + b - a.b  ;    b * a = a + b - b.a

    que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa.

   1c) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributiva respecto de la primera, , es decir, si se cumple:

a * (b  c) = (a * b)  (a * c)  ?

 a * (b  c) = a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) =

= a + b + c - 8 - ab - ac + 8a =

= 9a + b + c - 8 - ab - ac

(a * b)  (a * c) = (a + b - ab)  (a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) - 8 =
= 2a + b + c - 8 - ab - ac

    Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de anillo,  falla la propiedad distributiva.

   Ejemplo 3:  Sean las tres aplicaciones siguientes:

  Consideremos el conjunto formado por las tres,  G = {f1,  f2, f3} , y consideremos la ley de composición entre aplicaciones º, tal que:

fi º  fj =  fi [ fj(x)]

  Comprobar que (G, º) tiene estructura de grupo.

  Solución:  Para estos casos de conjuntos tan pequeños, sólo tres elementos en este ejemplo, es conveniente hacer la tabla de la ley de composición:

   Por una parte, es obvio que:

f1 º  fi =  fi    

fi º  f1 =  fi 

  puesto que  f1 = x  se comporta como función identidad (elemento neutro).

   Ahora veamos f2 º  f2 :

   A continuación veamos f2 º  f3 :

  

   Ahora veamos f3 º  f2 :

 

   Finalmente veamos f3 º  f3 :

   Con estos resultados podemos establecer la siguiente tabla:

º	f1	f2	f3
f1	f1	f2	f3
f2	f2	f3	f1
f3	f3	f1	f2

  A partir de esta tabla comprobemos cada una de las cuatro propiedades:

  1) Operación interna: obviamente sí lo es.

  2) Operación asociativa: la composición de aplicaciones sí es asociativa:

f º (g º h) = f [ g [ h (x)] ] 

(f  º g ) º h = f [ g [ h (x)] ] 

  3) El elemento neutro de º es  f1 (obsérvese en la tabla).

  4)  f2 y  f3 tienen inverso,  son f3 y  f2 respectivamente (obsérvese la tabla).

  Ejemplo 4:  Demuéstrese que en todo grupo (G, ) en el que se verifica:

x  x = e    

siendo 'e' el elemento neutro, es un grupo conmutativo.

   Solución:  Consideremos dos elementos de G: a, b,  por ser  una operación interna se tiene que:

a  b 

y por la propiedad que verifican todos los elementos de G tenemos.

(a  b )  (a  b) = e

ahora componemos a por la izquierda, y b por la derecha (en ambos miembros):

a (a  b )  (a  b)  b= a e b

por la propiedad asociativa del grupo:

(a a)   (b  a)  (b  b) = a b

los paréntesis de los extremos son e, por tanto:

b a = a  b

  EJERCICIOS PARA EL ALUMNO:

  1.  Sabiendo que el conjunto G = {a, b, c} es un grupo multiplicativo. Establecer la tabla del grupo.

  2.  Se considera el conjunto A de los números de la forma: 2^x. 3^y (siendo los exponentes x, y enteros cualesquiera). Comprobar si A es un grupo para el producto.

  3.  Se considera el conjunto: . ¿ Es C un anillo respecto de las operaciones ordinarias +, . ?. 

  4.  Demostrar que un grupo (G, .) en el que cualquier par de elementos a, b de G verifican:

(a . b)² = a² . b²   

es un grupo abeliano.

  5.  Probar que el conjunto C de los números complejos, a + b i ,  con las operaciones + y . (suma y producto de números complejos) tiene estructura de cuerpo conmutativo.