MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

subobjeto es, en términos generales, un objeto que se encuentra dentro de otro objeto en la misma categoría . La noción es una generalización de conceptos tales como subconjuntos de la teoría de conjuntos , subgrupos de la teoría de grupos , ^[1] y subespacios de la topología . Dado que la estructura detallada de los objetos no es importante en la teoría de categorías, la definición de subobjeto se basa en un morfismo que describe cómo un objeto se sienta dentro de otro, en lugar de confiar en el uso de los elementos.

El concepto dual de un subobjeto es un objeto cociente . Este generaliza conceptos tales como conjuntos de cociente , grupos cocientes , espacios cocientes , gráficos cociente , etc.

En detalle, sea A un objeto de alguna categoría. Dados dos monomorfismos

u  : S → A y v  : T → A

con el codominio A , escribimos u ≤ v si u factoriza a través de v , es decir, si existe φ  : S → T tal que$${\ displaystyle u = v \ circ \ varphi}. La relación binaria ≡ definida por

u ≡ v si y solo si u ≤ v y v ≤ u

es una relación de equivalencia en los monomorfismos con codomain A , y las correspondientes clases de equivalencia de estos monomorfismos son los subobjetos de A . (De manera equivalente, se puede definir la relación de equivalencia mediante u ≡ v si y solo si existe un isomorfismo φ  : S → T con$${\ displaystyle u = v \ circ \ varphi}.)

La relación ≤ induce un orden parcial en la colección de subobjetos de A.

La colección de subobjetos de un objeto puede, de hecho, ser una clase adecuada ; esto significa que la discusión dada es algo floja. Si la colección de subobjetos de cada objeto es un conjunto , la categoría se denomina bien alimentada o, a veces, localmente pequeña .

Para obtener el concepto dual de objeto cociente , reemplace el monomorfismo por el epimorfismo arriba y las flechas invertidas. Un objeto cociente de A es entonces una clase de equivalencia de epimorfismos con el dominio A.

Ejemplos [ editar ]

Véase también: Categoría: Objetos de cociente .

1. En Set , la categoría de sets , un subobjeto de A corresponde a un subconjunto B de A, o más bien la colección de todos los mapas desde sets equipotentes a B con la imagen exactamente B. El orden parcial del subobjeto de un set en Set es solo su subconjunto enrejado.
2. En Grp , la categoría de grupos , los subobjetos de A corresponden a los subgrupos de A.
3. Dada una clase P parcialmente ordenada , podemos formar una categoría con los elementos de P como objetos y una sola flecha que va de un objeto (elemento) a otro si el primero es menor o igual que el segundo. Si P tiene un elemento mayor, el orden parcial del subobjeto de este elemento mayor será P ensí mismo. Esto es en parte porque todas las flechas en tal categoría serán monomorfismos.
4. Un subobjeto de un objeto terminal se llama un objeto subterráneo .

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , dado un grupo Gbajo una operación binaria  ∗, un subconjunto H de G se llama un subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de * a H × H es una operación de grupo en H . Esto generalmente se denota como H ≤ G , se lee como " H es un subgrupo de G".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consiste solo en el elemento de identidad.

Un subgrupo adecuado de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto adecuado de G (es decir, H ≠ G ). Esto generalmente está representado de manera notacional por H < G , leído como " H es un subgrupo apropiado de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser adecuado (es decir, { e } ≠ H ≠ G ). ^[1] [2]

Si H es un subgrupo de G , entonces G a veces se llama una overgroup de H .

Las mismas definiciones se aplican de manera más general cuando Ges un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo tratará los subgrupos de grupos. El grupo G a veces se denota por el par ordenado ( G ,) , generalmente para enfatizar la operación ∗ cuando G lleva múltiples estructuras algebraicas u otras.

Este artículo escribirá ab para a ∗ b , como es habitual.

Propiedades basicas de subgrupos [ editar ]

• Un subconjunto H del grupo G es un subgrupo de G si y solo si no está vacío y está cerrado por productos e inversos. (Las condiciones de cierre significan lo siguiente: cuando a y b están en H , entonces ab y a ^-1también están en H. Estas dos condiciones se pueden combinar en una condición equivalente: siempre que ay b estén en H , entonces ab ⁻¹ también está en H ). En el caso de que H sea ​​finito, entonces H es un subgrupoSi y solo si H está cerrado bajo productos. (En este caso, cada elemento de una de H genera un subgrupo cíclico finito de H , y la inversa de una es entonces un ^-1 = un ^{n - 1} , donde n es el orden de una .)
• La condición anterior se puede establecer en términos de un homomorfismo ; es decir, H es un subgrupo de un grupo G si y sólo si H es un subconjunto de G y hay un homomorfismo de inclusión (es decir, i ( un ) = unapara cada una ) a partir de H a G .
• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con la identidad e _G , y H es un subgrupo de G con la identidad e _H , a continuación, e _H = e _G .
• El inverso de un elemento en un subgrupo es el inverso del elemento en el grupo: si H es un subgrupo de un grupo G , y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e _H , entonces ab = ba = e _G .
• La intersección de los subgrupos A y B es nuevamente un subgrupo. ^[3] La unión de los subgrupos A y B es un subgrupo si y solo si A o B contienen el otro, ya que, por ejemplo, 2 y 3 están en la unión de 2Z y 3Z, pero su suma 5 no lo está. Otro ejemplo es la unión del eje x y el eje y en el plano (con la operación de suma); cada uno de estos objetos es un subgrupo pero su unión no lo es. Esto también sirve como ejemplo de dos subgrupos, cuya intersección es precisamente la identidad.
• Si S es un subconjunto de G , entonces existe un subgrupo mínimo que contiene S , que se puede encontrar al tomar la intersección de todos los subgrupos que contienen S ; se denota por ⟨ S ⟩ y se dice que es el subgrupo generado por S . Un elemento de G está en ⟨ S ⟩ si y sólo si es un producto finito de elementos de S y sus inversos.
• Cada elemento de una de un grupo G genera el subgrupo cíclico ⟨ un ⟩. Si ⟨ un ⟩ es isomorfo a Z / n Z para algún entero positivo n , entonces n es el número entero positivo más pequeño para el que un ⁿ = e , y n se llama el orden de una . Si ⟨ un ⟩ es isomorfo a Z , entonces una se dice que tiene orden infinito .
• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman una red completa bajo la inclusión, llamada red de subgrupos. (Mientras que el punto mínimo aquí es la intersección teórica de conjuntos habitual, el supremo de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generado por la unión teórica de conjuntos de los subgrupos, no la unión teórica de conjuntos). Si e es la identidad de G , entonces el grupo trivial { e } es el subgrupo mínimo de G , mientras que el subgrupo máximo es el grupo G en sí.

G es el grupo $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}, los enteros mod 8 en adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo para$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}. Hay cuatro cosets izquierdos de H: H en sí, 1 + H, 2 + H y 3 + H (escrito con notación aditiva, ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, que no se superponen. El índice [G: H] es 4.

Cosets y el teorema de Lagrange [ editar ]

Artículos principales: Coset y el teorema de Lagrange (teoría de grupos).

Dado un subgrupo H y algunos a en G, definimos el coset izquierdo aH= { ah  : h en H }. Debido a que a es invertible, el mapa φ: H → aH dado por φ ( h ) = ah es una bijección . Además, cada elemento de G está contenido precisamente en un coset izquierdo de H ; las clases laterales que quedan son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia de un ₁ ~ un ₂ si y sólo si una₁ ^-1 un ₂ es en H . El número de cosets izquierdos de H se denomina índice de H en G y se denota por [ G  : H ].

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H ,

$${\ displaystyle [G: H] = {| G | \ sobre | H |}}

donde | G | y | H | denota las órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser un divisor de | G |. ^[4] [5]

Los cosets derechos se definen de manera análoga: Ha = { ha  : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G  : H ].

Si aH = Ha para cada a en G , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Todos los subgrupos del índice 2 son normales: los cosets de la izquierda y también los de la derecha son simplemente el subgrupo y su complemento. Más generalmente, si p es el número primo más bajo que divide el orden de un grupo finito G,entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Ejemplo: Subgrupos de Z ₈ [ editar ]

Sea G el grupo cíclico Z ₈ cuyos elementos son

$${\ displaystyle G = \ left \ {0,2,4,6,1,3,5,7 \ right \}}

y cuya operacion grupal es adicion modulo ocho . Su mesa de Cayley es.

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Este grupo tiene dos subgrupos no triviales: J = {0,4} y H = {0,2,4,6} , donde J es también un subgrupo de H . La tabla de Cayley para H es el cuadrante superior izquierdo de la mesa Cayley para G . El grupo G es cíclico , y también lo son sus subgrupos. En general, los subgrupos de grupos cíclicos también son cíclicos.

Ejemplo: Subgrupos de S ₄ (el grupo simétrico en 4 elementos) [ editar ]

Cada grupo tiene tantos subgrupos pequeños como elementos neutrales en la diagonal principal:

El grupo trivial y los grupos de dos elementos Z ₂ . Estos pequeños subgrupos no se cuentan en la siguiente lista.

El grupo simétrico S 4 que muestra todas las permutaciones de 4 elementos.

Los 30 subgrupos Simplificado Hasse diagramas de la red de subgrupos de S 4

12 elementos [ editar ]

El grupo alternativo A ₄ muestra solo los subgrupos de permutaciones pares

:

  

8 elementos [ editar ]

Grupo diédrico de orden 8 Subgrupos:

Grupo diédrico de orden 8  Subgrupos:

Grupo diédrico de orden 8  Subgrupos:

6 elementos [ editar ]

Subgrupo grupo simétrico S 3 :

Subgrupo grupo simétrico S 3 :

Subgrupo grupo simétrico S 3 :

Subgrupo grupo simétrico S 3 :

4 elementos [ editar ]

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Klein cuatro grupos

Grupo cíclico Z 4

Grupo cíclico Z 4

Grupo cíclico Z 4

3 elementos [ editar ]

Grupo cíclico z 3

Grupo cíclico z 3

Grupo cíclico z 3

Grupo cíclico z 3

Otros ejemplos [ editar ]

• Los enteros pares son un subgrupo del grupo aditivo de enteros: cuando sumas dos números pares, obtienes un número par.
• Un ideal en un anillo.$${\ displaystyle R} es un subgrupo del grupo aditivo de $${\ displaystyle R}.
• Un subespacio lineal de un espacio vectorial es un subgrupo del grupo de vectores aditivos.
• Dejar $${\ displaystyle A}ser un grupo abeliano ; los elementos de$${\ displaystyle A}que tienen período finito forman un subgrupo de$${\ displaystyle A}llamado el subgrupo de torsión de$${\ displaystyle A}.