MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

Visualización de la ley distributiva para números positivos.

En álgebra abstracta y lógica formal , la propiedad distributiva de las operaciones binarias generaliza la ley distributiva del álgebra de Booley el álgebra elemental . En lógica proposicional , la distribución serefiere a dos reglas válidas de reemplazo . Las reglas nos permiten reformular las conjunciones y las disyunciones dentro de las pruebas lógicas .

Por ejemplo, en aritmética :

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), pero 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3).

En el lado izquierdo de la primera ecuación, el 2 multiplica la suma de 1 y 3; en el lado derecho, multiplica el 1 y el 3 individualmente, con los productos agregados posteriormente. Debido a que estos dan la misma respuesta final (8), se dice que la multiplicación por 2 se distribuye sobre la suma de 1 y 3. Ya que uno podría haber puesto cualquier número real en lugar de 2, 1 y 3 arriba, y aún así ha obtenido un verdadero En la ecuación, la multiplicación de números reales se distribuye sobre la suma de números reales.

Definición

Dado un conjunto S y dos operadores binarios ∗ y + en S , la operación:

∗ es distributivo a la izquierda en + si, dados los elementos x , y y z de S ,

$${\ displaystyle x * (y + z) = (x * y) + (x * z),}

∗ distribuye a la derecha sobre + si, dados los elementos x , y y z de S ,

$${\ displaystyle (y + z) * x = (y * x) + (z * x),} y

∗ es distributivo sobre + si es distributivo hacia la izquierda y hacia la derecha. ^[1]

Tenga en cuenta que cuando ∗ es conmutativo , las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes .

Sentido

Los operadores utilizados para los ejemplos en esta sección son las operaciones binarias de adición ($${\ displaystyle +}) y la multiplicación ($${\ displaystyle \ cdot}) de los números .

Hay una distinción entre distributividad izquierda y distributividad derecha:

$${\ displaystyle a \ cdot \ left (b \ pm c \ right) = a \ cdot b \ pm a \ cdot c}  (distributivo a la izquierda)

$${\ displaystyle (a \ pm b) \ cdot c = a \ cdot c \ pm b \ cdot c}  (derecho distributivo)

En cualquier caso, la propiedad distributiva se puede describir en palabras como:

Para multiplicar una suma (o diferencia ) por un factor, cada sumando (o minuendo y sub sustento ) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o restan).

Si la operación fuera de los paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces la distributividad a la izquierda implica la distributividad a la derecha y viceversa.

Un ejemplo de una operación que es "solo" distributiva por los derechos es la división, que no es conmutativa:

$${\ displaystyle (a \ pm b) \ div c = a \ div c \ pm b \ div c}

En este caso, la distributividad izquierda no se aplica:

$${\ displaystyle a \ div (b \ pm c) \ neq a \ div b \ pm a \ div c}

Las leyes distributivas están entre los axiomas para anillos (como el anillo de enteros ) y campos (como el campo de números racionales ). Aquí la multiplicación es distributiva sobre la suma, pero la suma no es distributiva sobre la multiplicación. Ejemplos de estructuras en las cuales dos operaciones están relacionadas entre sí por la ley distributiva (por ejemplo, se distribuyen una sobre otra) son las álgebras booleanas , como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación .

Las sumas multiplicadas se pueden poner en palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por una suma, multiplique cada sumando de una suma con cada sumando de las otras sumas (haciendo un seguimiento de los signos), y luego sume todos los productos resultantes.

Ejemplos

Numeros reales

En los siguientes ejemplos, el uso de la ley distributiva en el conjunto de números reales $${\ displaystyle \ mathbb {R}}esta ilustrado Cuando se menciona la multiplicación en las matemáticas elementales, generalmente se refiere a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un campo , que garantiza la validez de la ley distributiva.

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita).

Durante la aritmética mental, la distributividad a menudo se usa inconscientemente:

$${\ displaystyle 6 \ cdot 16 = 6 \ cdot (10 + 6) = 6 \ cdot 10 + 6 \ cdot 6 = 60 + 36 = 96}

Por lo tanto, para calcular 6 ⋅ 16 en tu cabeza, primero multiplicas 6 ⋅ 10 y 6 ⋅ 6 y sumas los resultados intermedios. La multiplicación escrita también se basa en la ley distributiva.

Segundo ejemplo (con variables)

$${\ displaystyle 3a ^ {2} b \ cdot (4a-5b) = 3a ^ {2} b \ cdot 4a-3a ^ {2} b \ cdot 5b = 12a ^ {3} b-15a ^ {2} b ^ {2}}

Tercer ejemplo (con dos sumas)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (a + b) \ cdot (ab) & = a \ cdot (ab) + b \ cdot (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} \\ & = (a + b) \ cdot a- (a + b) \ cdot b = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} \ end {alineado}}}

Aquí la ley distributiva se aplicó dos veces, y no importa qué corchete se multiplique primero.

Cuarto ejemplo

Aquí la ley distributiva se aplica al revés en comparación con los ejemplos anteriores. Considerar

$${\ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} \ ,.}

Ya que el factor $${\ displaystyle 6a ^ {2} b}Ocurre en todos los sumandos, puede ser eliminado. Es decir, debido a la ley distributiva se obtiene

$${\ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} = 6a ^ {2} b (2ab-5a ^ {2 } c + 3b ^ {2} c ^ {2}) \ ,.}

Matrices

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices . Más precisamente,

$${\ displaystyle (A + B) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C}

para todos $${\ displaystyle l \ times m}-matrices $${\ displaystyle A, B} y $${\ displaystyle m \ times n}-matrices $${\ displaystyle C}, tanto como

$${\ displaystyle A \ cdot (B + C) = A \ cdot B + A \ cdot C}

para todos $${\ displaystyle l \ times m}-matrices $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle m \ times n}-matrices $${\ displaystyle B, C}. Debido a que la propiedad conmutativa no es válida para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se sigue de la primera ley. En este caso, son dos leyes diferentes.

Otros ejemplos

1. La multiplicación de los números ordinales , en contraste, es solo distributiva a la izquierda, no a la derecha.
2. El producto cruzado se distribuye a la izquierda ya la derecha sobre la adición de vectores , aunque no es conmutativo.
3. La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección , y la intersección es distributiva sobre la unión.
4. La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y"), y viceversa.
5. Para números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación máxima es distributiva sobre la operación mínima, y ​​viceversa: max ( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) y min ( a , max ( b , c )) = max (min ( a , b ), min ( a , c )) .
6. Para los enteros , el mayor divisor común es distributivo sobre el mínimo común múltiplo , y viceversa: gcd ( a , mcm ( b , c )) = mcm (gcd ( a , b ), gcd ( a , c )) y mcm ( a , gcd ( b , c )) = gcd (mcm ( a , b ), mcm ( a , c )) .
7. Para números reales, la suma se distribuye sobre la operación máxima, y ​​también sobre la operación mínima: a + máx ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) y a + min ( b , c ) = min ( a + b , a + c ) .
8. Para la multiplicación binomial , a veces se hace referencia a la distribución como el método FOIL ^[2](Primeros términos ac , Anuncio externo , Interior bc y Última bd ), tales como: ( a + b ) · ( c + d ) = ac + ad + bc + bd .
9. La multiplicación polinomial es similar a la de los binomios: ( a + b ) · ( c + d + e ) = ac + ad + ae + bc + bd + be .
10. La multiplicación de números complejos es distributiva:$${\ displaystyle u (v + w) = uv + uw, (u + v) w = uw + vw}

Lógica proposicional

Reglas de transformacion
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Implicación de introducción  /eliminación ( modus ponens ) Introducción  / eliminación de Biconditional Conjunción de introducción  / eliminación Disyunción introducción  / eliminación Silogismo disyuntivo  / hipotético. Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  /modus ponendo tollens
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negacion Las leyes de morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica del predicado
Generalización universal  / instanciación Generalización existencial  / instanciación
v t mi

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional funcional de verdad estándar, la distribución ^[3] [4] en pruebas lógicas usa dos reglas válidas de reemplazo para expandir las apariciones individuales de ciertas conectivas lógicas , dentro de alguna fórmula , en aplicaciones separadas de esas conectivas a través de subformulas de la fórmula dada. Las reglas son

$${\ displaystyle (P \ land (Q \ lor R)) \ Leftrightarrow ((P \ land Q) \ lor (P \ land R))}

y

$${\ displaystyle (P \ lor (Q \ land R)) \ Leftrightarrow ((P \ lor Q) \ land (P \ lor R))}

dónde "$${\ displaystyle \ Leftrightarrow}", También escrito ≡ , es un metalógico símbolo que representa 'puede ser sustituido en una prueba con' o 'es lógicamente equivalente a'.

Conectivos funcionales de la verdad.

La distributividad es una propiedad de algunos conectivos lógicos de la lógica proposicional funcional a la verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías de verdad funcional .

Distribución de conjunción sobre conjunción.

$${\ displaystyle (P \ land (Q \ land R)) \ leftrightarrow ((P \ land Q) \ land (P \ land R))}

Distribución de conjunciones sobre disyunción.

$${\ displaystyle (P \ land (Q \ lor R)) \ leftrightarrow ((P \ land Q) \ lor (P \ land R))}

Distribución de disyunción sobre conjunción.

$${\ displaystyle (P \ lor (Q \ land R)) \ leftrightarrow ((P \ lor Q) \ land (P \ lor R))}

Distribución de la disyunción sobre la disyunción.

$${\ displaystyle (P \ lor (Q \ lor R)) \ leftrightarrow ((P \ lor Q) \ lor (P \ lor R))}

Distribución de implicaciones.

$${\ displaystyle (P \ to (Q \ to R)) \ leftrightarrow ((P \ to Q) \ to (P \ to R))}

Distribución de la implicación sobre la equivalencia.

$${\ displaystyle (P \ to (Q \ leftrightarrow R)) \ leftrightarrow ((P \ to Q) \ leftrightarrow (P \ to R))}

Distribución de la disyunción sobre la equivalencia.

$${\ displaystyle (P \ lor (Q \ leftrightarrow R)) \ leftrightarrow ((P \ lor Q) \ leftrightarrow (P \ lor R))}

Doble distribucion

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ((P \ land Q) \ lor (R \ land S)) & \ leftrightarrow (((P \ lor R) \ land (P \ lor S)) \ land ((Q \ lor R) \ land (Q \ lor S))) \\ ((P \ lor Q) \ land (R \ lor S)) & \ leftrightarrow (((P \ land R) \ lor (P \ land S )) \ lor ((Q \ land R) \ lor (Q \ land S))) \ end {alineado}}}

Distributividad y redondeo.

En la práctica, la propiedad distributiva de la multiplicación (y la división) sobre la adición puede parecer comprometida o perdida debido a las limitaciones de la precisión aritmética . Por ejemplo, la identidad ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 parece fallar si la adición se realiza en aritmética decimal ; sin embargo, si se usan muchos dígitos significativos , el cálculo resultará en una aproximación más cercana a los resultados correctos. Por ejemplo, si el cálculo aritmético toma la forma: 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999 ≠ 1, este resultado es una aproximación más cercana que si se hubieran usado menos dígitos significativos. Incluso cuando los números fraccionarios pueden representarse exactamente en forma aritmética, se introducirán errores si esos valores aritméticos se redondean o se truncan. Por ejemplo, comprar dos libros, cada uno con un precio de £ 14.99 antes de un impuesto del 17.5%, en dos transacciones separadas, en realidad ahorrará £ 0.01, sobre comprarlos juntos: £ 14.99 × 1.175 = £ 17.61 al £ 0.01 más cercano, dando un total gasto de £ 35.22, pero £ 29.98 × 1.175 = £ 35.23 . Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, como puede aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.

Distributividad en anillos.

La distributividad se encuentra más comúnmente en anillos y celosías distributivas .

Un anillo tiene dos operaciones binarias, + y * (comúnmente), y uno de los requisitos de un anillo es que debe distribuirse sobre +. La mayoría de los tipos de números (ejemplo 1) y matrices (ejemplo 4) forman anillos. Una celosía es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias, ∧ y ∨. Si cualquiera de estas operaciones (digamos ∧) se distribuye sobre la otra (∨), entonces ∨ también debe distribuirse sobre ∧, y la red se llama distributiva. Véase también el artículo sobre distributividad (teoría del orden) .

Los ejemplos 4 y 5 son álgebras booleanas , que pueden interpretarse como un tipo especial de anillo (un anillo booleano ) o un tipo especial de red distributiva (una red booleana ). Cada interpretación es responsable de diferentes leyes distributivas en el álgebra booleana. Los ejemplos 6 y 7 son retículos distributivos que no son álgebras booleanas.

El fallo de una de las dos leyes distributivas produce cerca de los anillos y cerca de los campos en vez de anillos y anillos de división , respectivamente. Las operaciones usualmente están configuradas para tener la distribución de anillo cercano o de campo cercano a la derecha pero no a la izquierda.

Los anillos y las redes distributivas son tipos especiales de plataformas , ciertas generalizaciones de los anillos. Esos números en el ejemplo 1 que no forman anillos al menos forman plataformas. Las plataformas cercanas son una generalización adicional de las plataformas que son distributivas por la izquierda pero no por la derecha; El ejemplo 2 es una plataforma cercana.

Generalizaciones de distributividad.

En varias áreas matemáticas, las leyes de distributividad generalizadas son consideradas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en la teoría del orden, se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita ; otros se definen en presencia de una sola operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en la distributividad del artículo (teoría de orden) . Esto también incluye la noción de una red completamente distributiva .

En presencia de una relación de ordenación, también se pueden debilitar las ecuaciones anteriores reemplazando = por ≤ o ≥. Naturalmente, esto conducirá a conceptos significativos solo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es la noción de subdistribución como se explica en el artículo sobre aritmética de intervalos .

En la teoría de categorías , si ( S , μ , η ) y ( S ', mu ', η ') son mónadas en una categoría C , una ley distributiva S . S ′ → S ′. S es una transformación natural λ  : S . S ′ → S ′. S tal que ( S ', λ ) es un mapa laxo de mónadasS → S y ( S , λ ) es un mapa colax de las mónadas S ′ → S ′ . Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada en S ′. S : el mapa de multiplicación es S ′ μ . μ ′ S ² . S ' λS y el mapa unidad está eta ' S . η . Ver: ley distributiva entre mónadas .

Una ley distributiva generalizada también se ha propuesto en el ámbito de la teoría de la información .

Nociones de antidistributividad.

La identidad ubicua que se relaciona es inversa a la operación binaria en cualquier grupo , a saber ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ , que se toma como un axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución , a veces se ha llamado un Propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria ). ^[5]

En el contexto de un anillo cercano , que elimina la conmutatividad del grupo escrito de forma aditiva y asume solo una distributividad de un solo lado, se puede hablar de elementos distributivos (de dos lados) pero también de elementos antidistributivos . Este último invierte el orden de la adición (no conmutativa); suponiendo que se acerca a la izquierda (es decir, uno que distribuyen todos los elementos cuando se multiplica a la izquierda), un elemento antidistributivo a invierte el orden de adición cuando se multiplica a la derecha: ( x + y ) a = ya + xa . ^[6]

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra booleana , el término ley antidistributiva se usa a veces para denotar el intercambio entre conjunción y disyunción cuando los factores de implicación sobre ellos: ^[7]

• ( a ∨ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∧ ( b ⇒ c )
• ( a ∧ b ) ⇒ c ≡ ( a ⇒ c ) ∨ ( b ⇒ c )

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan .