operación unaria es una operación con un solo operando , es decir, una sola entrada. Esto contrasta con las operaciones binarias , que utilizan dos operandos. Un ejemplo es la función f : A → A , donde A es un conjunto . La función f es una operación singular en A .
Las notaciones comunes son la notación de prefijo (por ejemplo , + , - , ¬ ), la notación de postfijo (por ejemplo, factorial n!), La notación funcional (por ejemplo, sin x o sin ( x )) y los superíndices (por ejemplo, transposición A T). También existen otras notaciones. Por ejemplo, en el caso de la raíz cuadrada , una barra horizontal que extiende el signo de la raíz cuadrada sobre el argumento puede indicar la extensión del argumento.
Ejemplos [ editar ]
Unario negativo y positivo [ editar ]
Como las operaciones unarias solo tienen un operando, se evalúan antes que otras operaciones que las contienen. Aquí hay un ejemplo usando negación:
- 3 - −2
Aquí, el primer '-' representa la operación de resta binaria, mientras que el segundo '-' representa la negación unaria del 2 (o '−2' podría interpretarse como el entero −2). Por lo tanto, la expresión es igual a:
- 3 - (−2) = 5
Técnicamente también hay un unario positivo pero no es necesario ya que asumimos que un valor es positivo:
- (+2) = 2
Unario positivo no cambia el signo de una operación negativa:
- (+ (- 2)) = (−2)
En este caso se necesita un negativo unario para cambiar el signo:
- (- (- 2)) = (+2)
Trigonometría [ editar ]
En trigonometría las funciones., , , y las otras funciones trigonométricas son operaciones unarias. Esto se debe a que es posible ingresar solo un término con la operación y recuperar un resultado, en comparación con las operaciones, como la adición, donde se necesitan dos términos diferentes para calcular un resultado.
Ejemplos de lenguajes de programación [ editar ]
C familia de lenguas [ editar ]
- Incremento : ,
++xx++ - Decremento : ,
−−xx−− - Dirección :
&x - Indirección :
*x - Positivo:
+x - Negativo:
−x - Complemento a uno :
~x - Negación lógica :
!x - Sizeof :
sizeof x, sizeof(type-name) - Reparto :
(type-name) cast-expression
Unix Shell (Bash) [ editar ]
En el shell Unix / Linux (bash / sh), ' $' es un operador unario cuando se usa para la expansión de parámetros, reemplazando el nombre de una variable por su valor (a veces modificado). Por ejemplo:
- Expansión simple:
$x - Expansión compleja:
${#x}
Windows PowerShell [ editar ]
- Incremento: ,
++$x$x++ - Decremento: ,
−−$x$x−− - Positivo:
+$x - Negativo:
−$x - Negación lógica:
-not $x - Invocar en el ámbito actual :
.$x - Invocar en nuevo ámbito:
&$x - Emitir:
[type-name] cast-expression - Emitir:
+$x - Formación:
,$array
inverso aditivo de un número a es el número que, cuando se suma a a , da lugar a cero . Este número también se conoce como opuesto (número), [1] cambio de signo y negación . [2] Para un número real , invierte su signo : lo contrario a un número positivo es negativo, y lo contrario a un número negativo es positivo. Cero es el inverso aditivo de sí mismo.
El inverso aditivo de a se denota por unario menos : - a (consulte la discusión a continuación ). Por ejemplo, el inverso aditivo de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0, y el inverso aditivo de −0.3 es 0.3, porque −0.3 + 0.3 = 0.
El inverso aditivo se define como su elemento inverso bajo la operación binaria de adición (ver la discusión a continuación ), que permite una amplia generalización a objetos matemáticos distintos de los números. Como para cualquier operación inversa, el inverso aditivo doble no tiene efecto neto : - (- x ) = x .
Ejemplos comunes [ editar ]
Para un número y, en general, en cualquier anillo , el inverso aditivo puede calcularse utilizando la multiplicación por −1 ; es decir, - n = −1 × n . Ejemplos de anillos de números son enteros , números racionales , números reales y números complejos .
Relación con la resta [ editar ]
El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una adición de lo opuesto:
- a - b = a + (- b ) .
A la inversa, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:
- - a = 0 - a .
Por lo tanto, la notación del signo menos unario se puede ver como una abreviatura para la resta con el símbolo "0" omitido, aunque en una tipografía correcta no debería haber espacio después del unario "-".
Otras propiedades [ editar ]
Además de las identidades mencionadas anteriormente, la negación tiene las siguientes propiedades algebraicas:
- - (- a ) = a , es una operación de Involución
- - ( a + b ) = (- a ) + (- b )
- a - (- b ) = a + b
- (- a ) × b = a × (- b ) = - ( a × b )
- (- a ) × (- b ) = a × b
- en particular, (- a ) 2 = a 2
Definición formal [ editar ]
La notación + suele estar reservada para operaciones binarias conmutativas ; es decir, tal que x + y = y + x , para todo x , y . Si una operación de este tipo admite un elemento de identidad o (tal que x + o (= o + x ) = xpara todas las x ), entonces este elemento es único ( o ′ = o ′ + o = o ). Para una x dada , si existe x ′de modo que x + x ′ (= x ′ + x ) = o , entonces x ′ se denomina inverso aditivo de x .
Si + es asociativo ( ( x + y ) + z = x + ( y + z ) para todos los x , y , z ), entonces un inverso aditivo es único. Para ver esto, hagamos que x ' y x' sean inversos aditivos de x ; entonces
- x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .
Por ejemplo, dado que la suma de números reales es asociativa, cada número real tiene un inverso aditivo único.
Otros ejemplos [ editar ]
- Números complejos : - ( a + bi ) = (- a ) + (- b ) i . En el plano complejo , esta operación gira un número complejo 180 grados alrededor del origen (vea la imagen de arriba ).
- adición de funciones de valores reales y complejos: aquí, el inverso aditivo de una función f es la función - fdefinida por (- f ) ( x ) = - f ( x ) , para todo x , de manera que f + (- f ) = o , la función cero ( o ( x ) = 0para todo x ).
- más generalmente, lo que precede se aplica a todas las funciones con valores en un grupo abeliano ('cero' significa entonces el elemento de identidad de este grupo):
- Las secuencias , matrices y redes son también tipos especiales de funciones.
- En un espacio vectorial, el inverso aditivo - v a menudo se llama el vector opuesto de v ; Tiene la misma magnitud que la dirección original y opuesta. La inversión aditiva corresponde a la multiplicación escalar por −1. Para el espacio euclidiano , es la reflexión puntual en el origen. Los vectores en direcciones exactamente opuestas (multiplicadas por números negativos) a veces se denominan antiparalelo .
- funciones vectoriales con valores de valor (no necesariamente lineales),
- En aritmética modular , también se define el inverso aditivo modular de x : es el número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) . Este inverso aditivo siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 8 porque es la solución a 3 + x ≡ 0 (mod 11) .
En matemáticas , un inverso multiplicativo o recíprocopara un número x , denotado por 1 / x o x −1 , es un número que cuando se multiplica por x produce la identidad multiplicativa , 1. El inverso multiplicativo de una fracción a / b es b / una . Para el inverso multiplicativo de un número real, divida 1 por el número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0.2), y el recíproco de 0.25 es 1 dividido por 0.25, o 4. La función recíproca , la funciónf ( x ) que mapea x a 1 / x , es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propio inverso (una involución ).
El término recíproco era de uso común al menos desde la tercera edición de Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíprocas en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides . [1]
En la frase inverso multiplicativo , el calificativo multiplicativo a menudo se omite y luego se entiende tácitamente (en contraste con el inverso aditivo ). Los inversos multiplicativos se pueden definir en muchos dominios matemáticos y números. En estos casos puede suceder que ab ≠ ba ; entonces "inverso" típicamente implica que un elemento es tanto inverso izquierdo como derecho .
La notación f −1 también se usa a veces para la función inversa de la función f , que en general no es igual a la inversa multiplicativa. Por ejemplo, el inverso multiplicativo 1 / (sin x ) = (sin x ) −1 es la cosecante de x, y no el seno inverso de x denotado por sin −1 x o arcsin x . Solo para mapas lineales están fuertemente relacionados (ver más abajo). La terminología diferencia recíproca versus inversaNo es suficiente hacer esta distinción, ya que muchos autores prefieren la convención de nomenclatura opuesta, probablemente por razones históricas (por ejemplo, en francés , la función inversa se denomina preferentemente bijection réciproque ).
Ejemplos y contraejemplos [ editar ]
En los números reales, cero no tiene un recíproco porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1 (el producto de cualquier número con cero es cero). Con la excepción de cero, los recíprocos de cada número realson reales, los recíprocos de cada número racional son racionales y los recíprocos de cada número complejo son complejos. La propiedad de que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de un campo , del cual todos estos son ejemplos. Por otro lado, ningún entero distinto de 1 y -1 tiene un entero recíproco, por lo que los enteros no son un campo.
En aritmética modular , también se define el inverso multiplicativo modular de a : es el número x tal que ax ≡ 1 (mod n ). Este inverso multiplicativo existe si y solo si a y n son coprime . Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4 porque 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). El algoritmo euclidiano extendido se puede usar para calcularlo.
Los sedeniones son un álgebra en la que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, pero que, sin embargo, tiene divisores de cero, es decir, elementos x , y cero tales que xy = 0.
Una matriz cuadrada tiene una inversa si y solo si su determinante tiene una inversa en el anillo de coeficiente . El mapa lineal que tiene la matriz A −1 con respecto a alguna base es la función recíproca del mapa que tiene Acomo matriz en la misma base. Por lo tanto, las dos nociones distintas de la inversa de una función están fuertemente relacionadas en este caso, mientras que deben distinguirse cuidadosamente en el caso general (como se señaló anteriormente).
Las funciones trigonométricas están relacionadas por la identidad recíproca: la cotangente es la recíproca de la tangente; la secante es el recíproco del coseno; La cosecante es el recíproco del seno.
Un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es un anillo de división ; Del mismo modo, un álgebra en la que esto es válido es un álgebra de división .
Números complejos [ editar ]
Como se mencionó anteriormente, el recíproco de cada número complejo distinto de cero z = a + bi es complejo. Se puede encontrar multiplicando la parte superior e inferior de 1 / z por su complejo conjugado y usando la propiedad que , el valor absoluto de z al cuadrado, que es el número real a 2 + b 2 :
En particular, si || z || = 1 ( z tiene una unidad de magnitud), entonces. En consecuencia, las unidades imaginarias , ± i , tienen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo, y son los únicos números complejos con esta propiedad. Por ejemplo, los inversos aditivos y multiplicativos de i son - ( i ) = - i y 1 / i = - i , respectivamente.
Para un número complejo en forma polar z = r (cos φ + i sen φ) , el recíproco simplemente toma el recíproco de la magnitud y el negativo del ángulo:
Cálculo [ editar ]
En el cálculo real , la derivada de 1 / x = x −1 viene dada por la regla de potencia con la potencia −1:
La regla de potencia para las integrales ( fórmula de cuadratura de Cavalieri ) no se puede usar para calcular la integral de 1 / x , ya que al hacerlo se produciría una división por 0:
En cambio, la integral está dada por:
donde ln es el logaritmo natural . Para mostrar esto, tenga en cuenta que, Así que si y , tenemos: [2]
Algoritmos [ editar ]
El cálculo del recíproco es importante en muchos algoritmos de división , ya que el cociente a / b se puede calcular primero calculando 1 / b y luego multiplicándolo por a . Señalando quetiene un cero en x = 1 / b , el método de Newton puede encontrar ese cero, comenzando con una conjetura e iterar usando la regla:
Esto continúa hasta que se alcanza la precisión deseada. Por ejemplo, supongamos que deseamos calcular 1/17 ≈ 0.0588 con 3 dígitos de precisión. Tomando x 0 = 0.1, se produce la siguiente secuencia:
- x 1 = 0.1 (2 - 17 × 0.1) = 0.03
- x 2 = 0.03 (2 - 17 × 0.03) = 0.0447
- x 3 = 0.0447 (2 - 17 × 0.0447) ≈ 0.0554
- x 4 = 0.0554 (2 - 17 × 0.0554) ≈ 0.0586
- x 5 = 0.0586 (2 - 17 × 0.0586) ≈ 0.0588
Se puede encontrar una conjetura inicial típica al redondear b a una potencia cercana de 2, y luego usar los cambios de bits para calcular su recíproco.
En matemáticas constructivas , para que un número real x tenga un recíproco, no es suficiente que x ≠ 0. En su lugar, debe darse un número racional r tal que 0 < r <| x |. En términos del algoritmo de aproximación descrito anteriormente, esto es necesario para probar que el cambio en y eventualmente se volverá arbitrariamente pequeño.
Esta iteración también se puede generalizar a un tipo más amplio de inversos, por ejemplo , inversos matriciales .
Recíprocos de números irracionales [ editar ]
Cada número, excepto el cero, tiene un recíproco, y los recíprocos de ciertos números irracionales pueden tener propiedades especiales importantes. Los ejemplos incluyen el recíproco de e (≈ 0.367879) y el recíproco de la proporción de oro (≈ 0.618034). El primer recíproco es especial porque ningún otro número positivo puede producir un número menor cuando se pone a sí mismo;es el mínimo global de. El segundo número es el único número positivo que es igual a su recíproco más uno:. Su inverso aditivo es el único número negativo que es igual a su recíproco menos uno:.
La función da un número infinito de números irracionales que difieren con su recíproco por un número entero. Por ejemplo, es lo irracional . Su reciproco es exactamente Menos. Tales números irracionales comparten una propiedad curiosa: tienen la misma parte fraccionaria que su recíproco.
Otras observaciones [ editar ]
Si la multiplicación es asociativa, un elemento x con un inverso multiplicativo no puede ser un divisor cero ( x es un divisor cero si algo y cero no , xy = 0 ). Para ver esto, es suficiente multiplicar la ecuación xy = 0 por el inverso de x (a la izquierda), y luego simplificar usando asociatividad. A falta de asociatividad, los sedenionesproporcionan un contraejemplo.
Lo contrario no es válido: no se garantiza que un elemento que no sea un divisor cero tenga un inverso multiplicativo. Dentro de Z , todos los enteros excepto −1, 0, 1 proporcionan ejemplos; no son divisores de cero ni tienen inversas en Z . Sin embargo, si el anillo o el álgebra es finito , entonces todos los elementos a que no sean cero divisores tienen un inverso (izquierdo y derecho). Para, primero observe que el mapa f ( x ) = ax debe ser inyectivo : f ( x ) = f ( y ) implica x = y:
Los elementos distintivos se asignan a elementos distintos, por lo que la imagen consta del mismo número finito de elementos y el mapa es necesariamente contrayectivo . Específicamente, ƒ (es decir, la multiplicación por a ) debe asignar algún elemento x a 1, ax = 1 , de modo que x es una inversa para a .
Aplicaciones [ editar ]
La expansión del 1 / q recíproco en cualquier base también puede actuar [3] como fuente de números pseudoaleatorios , si q es un primo seguro "adecuado" , un primo de la forma 2 p + 1 donde p es también un principal. La expansión producirá una secuencia de números pseudoaleatorios de longitud q - 1.
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