MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

En álgebra abstracta , la idea de un elemento inverso generaliza los conceptos de una negación (inversión de signo) en relación con la adición , y un recíproco en relación con la multiplicación . La intuición es de un elemento que puede "deshacer" el efecto de la combinación con otro elemento dado. Si bien la definición precisa de un elemento inverso varía según la estructura algebraica involucrada, estas definiciones coinciden en un grupo .

La palabra 'inversa' se deriva del latín : inversus que significa 'al revés', 'volcó'.

Las definiciones formales [ editar ]

En un magma unital [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle S}Ser un conjunto cerrado bajo una operación binaria. $${\ displaystyle *}(es decir, un magma ). Si$${\ displaystyle e}es un elemento de identidad de$${\ displaystyle (S, *)}(es decir, S es un magma unital) y$${\ displaystyle a * b = e}, entonces $${\ displaystyle a}se llama inverso a la izquierda de$${\ displaystyle b} y $${\ displaystyle b}se llama un inverso de derecho$${\ displaystyle a}. Si un elemento$${\ displaystyle x} es tanto una inversa a la izquierda como una inversa a la derecha de $${\ displaystyle y}, entonces $${\ displaystyle x}se llama inverso de dos caras , o simplemente inverso , de$${\ displaystyle y}. Un elemento con un inverso de dos caras en$${\ displaystyle S}se llama invertible en$${\ displaystyle S}. Un elemento con un elemento inverso solo en un lado se deja invertible , resp. derecho invertible . Un magma unital en el que todos los elementos son invertibles se llama un bucle . Un bucle cuya operación binaria satisface la ley asociativa es un grupo .

Al igual que $${\ displaystyle (S, *)}puede tener varias identidades a la izquierda o varias identidades a la derecha, es posible que un elemento tenga varios inversos a la izquierda o varios inversos a la derecha (pero tenga en cuenta que su definición anterior utiliza una identidad de dos lados)$${\ displaystyle e}). Incluso puede tener varios inversos a la izquierda y varios inversos a la derecha.

Si la operacion $${\ displaystyle *}es asociativa, entonces, si un elemento tiene un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unital asociativo) cada elemento tiene a lo sumo un inverso (como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles (izquierda y derecha) es un grupo , denominado grupo de unidades de$${\ displaystyle S}, y denotado por $${\ displaystyle U (S)}o H ₁ .

Un elemento invertible izquierda-izquierda es cancellative , y análogamente para la derecha y de dos caras.

En un semigrupo [ editar ]

Artículo principal: semigrupo regular

La definición en la sección anterior generaliza la noción de inverso en grupo en relación con la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de inverso al eliminar el elemento de identidad pero manteniendo la asociatividad, es decir, en un semigrupo .

En un semigrupo S, un elemento x se llama (von Neumann) regular si existe algún elemento z en S tal que xzx= x ; Z se llama a veces un pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) un inverso de x si xyx = x y y = yxy . Cada elemento regular tiene al menos un inverso: si x = xzx entonces es fácil verificar que y = zxzes un inverso de x como se define en esta sección. Otro dato fácil de probar: si y es un inverso de x, entonces e = xy y f= yx son idempotentes , es decir ee = e y ff = f . Por lo tanto, cada par de elementos inversos (mutuamente) da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , y e actúa como una identidad izquierda en x , mientras quefactúa como una identidad correcta, y los roles de izquierda / derecha se invierten para y . Esta simple observación puede generalizarse utilizando las relaciones de Green : cada idempotente e en un semigrupo arbitrario es una identidad de izquierda para R _e y una identidad de derecha para L _e . ^[1] Una descripción intuitiva de este hecho es que cada par de elementos mutuamente inversos produce una identidad de izquierda local y, respectivamente, una identidad de derecha local.

En un monoide, la noción de inverso como se define en la sección anterior es estrictamente más estrecha que la definición dada en esta sección. Solo los elementos en la clase verde H ₁ tienen una inversa desde la perspectiva del magma unital, mientras que para cualquier idempotente e , los elementos de H _e tienen una inversa tal como se define en esta sección. Bajo esta definición más general, los inversos no necesitan ser únicos (o existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular, y cada elemento tiene al menos un inverso. Si cada elemento tiene exactamente un inverso como se define en esta sección, entonces el semigrupo se llama un semigrupo inverso. Finalmente, un semigrupo inverso con un solo idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo puede no tenerlo .

Fuera de la teoría de los semigrupos, una inversa única, tal como se define en esta sección, a veces se denomina cuasi inversa . Esto generalmente se justifica porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos en este artículo) se mantiene la asociatividad, lo que hace de esta noción una generalización de la inversa izquierda / derecha en relación con una identidad.

U -semigroups [ editar ]

Una generalización natural del semigrupo inverso es definir una operación unaria (arbitraria) ° tal que ( a °) ° = apara toda a en S ; esto le otorga a S un álgebra de ⟨2,1⟩ tipo. Un semigrupo dotado con una operación de este tipo se denomina U -semigroup . Si bien puede parecer que a ° será el inverso de a , este no es necesariamente el caso. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación del semigrupo. Se han estudiado dos clases de grupos U : ^[2]

• I -semigroups , en los que el axioma de interacción es aa ° a = a
• * -semigroups , en los cuales el axioma de interacción es ( ab ) ° = b ° a °. Dicha operación se denominainvolución y, por lo general, se denota con un *

Claramente, un grupo es tanto un I -semigroup como un * -semigroup. Una clase de semigrupos importantes en la teoría de semigrupos son semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigroups en los cuales uno adicionalmente tiene aa ° = a ° a ; en otras palabras, cada elemento tiene conmutación pseudoinversa a °. Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; La mayoría son semigrupos completamente simples . En contraste, una subclase de * -semigroups, los semigroups regulares- * (en el sentido de Drazin), produce uno de los mejores ejemplos conocidos de un pseudoinverso (único), el inverso Moore-Penrose . En este caso sin embargo la involución.a * no es el pseudoinverso. Más bien, el pseudoinverso de x es el elemento único y tal que xyx = x , yxy = y , ( xy ) * = xy , ( yx ) * = yx . Dado que los semigrupos regulares-* generalizan los semigrupos inversos, el elemento único definido de esta manera en un semigrupo regular-+ se denomina inverso generalizado o inverso de Penrose-Moore .

Anillos y semirremios [ editar ]

Artículo principal: Elemento cuasirregular.

Ejemplos [ editar ]

Todos los ejemplos en esta sección involucran operadores asociativos, por lo tanto, usaremos los términos izquierda / derecha inverso para la definición basada en magma unital, y casi inverso para su versión más general.

Números reales [ editar ]

Cada numero real $${\ displaystyle x}tiene un inverso aditivo (es decir, un inverso con respecto a la adición ) dado por$${\ displaystyle -x}. Cada número real distinto de cero$${\ displaystyle x}tiene un inverso multiplicativo (es decir, un inverso con respecto a la multiplicación ) dado por$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}} (o $${\ displaystyle x ^ {- 1}}). Por el contrario, el cero no tiene inverso multiplicativo, pero tiene un cuasi inverso único "$${\ displaystyle 0}" sí mismo.

Funciones y funciones parciales [ editar ]

Una función $${\ displaystyle g}es el inverso izquierdo (resp. derecha) de una función $${\ displaystyle f}(para la composición de la función ), si y solo si$${\ displaystyle g \ circ f} (resp. $${\ displaystyle f \ circ g}) es la función de identidad en el dominio (resp. codominio ) de$${\ displaystyle f}. Lo inverso de una función.$${\ displaystyle f} a menudo se escribe $${\ displaystyle f ^ {- 1}}, pero esta notación es a veces ambigua . Solo las bijectiones tienen inversos de dos caras, pero cualquier función tiene un efecto cuasi inverso, es decir, la transformación completa de los monoides es regular. El monoide de funciones parciales también es regular, mientras que el monoide de transformaciones parciales inyectivas es el semigrupo inverso prototípico.

Conexiones de Galois [ editar ]

Las uniones inferiores y superiores en una conexión de Galois (monótona) , L y G son casi inversas entre sí, es decir, LGL = L y GLG = G y una determina de manera única la otra. Sin embargo, no son inversos a la izquierda oa la derecha el uno del otro.

Matrices [ editar ]

Una matriz cuadrada $${\ displaystyle M}con entradas en un campo $${\ displaystyle K}es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, bajo la multiplicación de matrices ) si y solo si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de$${\ displaystyle M}es cero, es imposible que tenga un inverso de un lado; por lo tanto, un inverso a la izquierda o un inverso a la derecha implica la existencia del otro. Ver matriz invertible para más.

Más generalmente, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo $${\ displaystyle R}es invertible si y solo si su determinante es invertible en$${\ displaystyle R}.

Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varios inversos de una cara: ^[3]

• por {\ displaystyle A: m \ times n \ mid m> n} tenemos una inversa a la izquierda $${\ displaystyle \ underbrace {(A ^ {\ text {T}} A) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}}} _ {A _ {\ text {left}} ^ {- 1}} A = I_ {n}}
• por {\ displaystyle A: m \ times n \ mid m  tenemos un derecho inverso: $${\ displaystyle A \ underbrace {A ^ {\ text {T}} (AA ^ {\ text {T}}) ^ {- 1}} _ {A _ {\ text {right}} ^ {- 1}} = Soy}}

El inverso a la izquierda se puede utilizar para determinar la solución menos normativa de $${\ displaystyle Ax = b}, que también es la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión y está dada por$${\ displaystyle x = (A ^ {\ text {T}} A) ^ {- 1} A ^ {\ text {T}} b.}

Ninguna matriz deficiente de rango tiene ningún inverso (incluso unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices, y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.

Como ejemplo de matrices inversas, considérese:

{\ displaystyle A: 2 \ times 3 = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \ end {bmatrix}}}

Entonces, como m < n , tenemos un derecho inverso,$${\ displaystyle A _ {\ text {right}} ^ {- 1} = A ^ {\ text {T}} (AA ^ {\ text {T}}) ^ {- 1}.} Por componentes se calcula como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} AA ^ {\ text {T}} & = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 14 & 32 \\ 32 & 77 \ end {bmatrix}} \\ (AA ^ {\ text {T}}) ^ {- 1} & = {\ begin {bmatrix} 14 & 32 \\ 32 & 77 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {54}} {\ begin {bmatrix} 77 & -32 \\ - 32 & 14 \ end {bmatrix}} \\ A ^ { \ text {T}} (AA ^ {\ text {T}}) ^ {- 1} & = {\ frac {1} {54}} {\ begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \ end { bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 77 & -32 \\ - 32 & 14 \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {18}} {\ begin {bmatrix} -17 & 8 \\ - 2 & 2 \\ 13 & -4 \ end {bmatrix}} = A _ {\ text {right}} ^ {- 1} \ end {alineado}}}

El inverso de la izquierda no existe, porque

{\ displaystyle A ^ {\ text {T}} A = {\ begin {bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} 17 & 22 & 27 \\ 22 & 29 & 36 \\ 27 & 36 & 45 \ end {bmatrix}}}

Que es una matriz singular , y no puede ser invertida.

En matemáticas , un elemento de identidad o elemento neutral es un tipo especial de elemento de un conjuntocon respecto a una operación binaria en ese conjunto, que deja otros elementos sin cambios cuando se combina con ellos. Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento de identidad a menudo se reduce a identidad (como se hará en este artículo) cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria a la que está asociada.

Sea ( S , ∗) un conjunto  S con una operación binaria ∗ en él. A continuación, un elemento  electrónico de  S se denomina izquierda identidad si e * un = una para todos  una en  S , y una correcta identidad si un * e = unapara todos  una en  S . Si e es tanto una identidad izquierda como una identidad derecha, entonces se llama una identidad de dos caras , o simplemente una identidad .

Una identidad con respecto a la adición se llama una identidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llama una identidad multiplicativa (a menudo denotada como 1). Estas no tienen que ser sumas y multiplicaciones ordinarias, sino operaciones arbitrarias. La distinción se usa más a menudo para conjuntos que admiten operaciones binarias, como anillos y campos . La identidad multiplicativa a menudo se llama unidad en el último contexto (un anillo con unidad). Esto no debe confundirse con una unidad en la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tenga un inverso multiplicativo . La unidad misma es necesariamente una unidad.

Ejemplos [ editar ]

Conjunto	Operación	Identidad
Numeros reales	+ ( adición )	0
Numeros reales	· ( Multiplicación )	1
Enteros positivos	Minimo común multiplo	1
Enteros no negativos	Máximo común divisor	0 (bajo la mayoría de las definiciones de GCD)
m -by- n matrices	Adicion de matrices	Matriz cero
n- por- n matrices cuadradas	Multiplicación de matrices	I n ( matriz de identidad )
m -by- n matrices	○ ( producto Hadamard)	J m ,  n ( matriz de unos )
Todas las funciones de un conjunto,  M , a sí mismo.	∘ ( composición de la función )	Función de identidad
Todas las distribuciones en un grupo ,  G	∗ ( convolución )	δ ( delta de Dirac )
Numeros reales extendidos	Mínimo / infimum	+ ∞
Numeros reales extendidos	Maximo / supremo	−∞
Subconjuntos de un conjunto  M	∩ ( intersección )	METRO
Conjuntos	∪ ( unión )	∅ ( conjunto vacío )
Cuerdas , listas	Concatenación	Cadena vacía, lista vacía
Un álgebra booleana	∧ ( lógico y )	Truth (verdad)
Un álgebra booleana	∨ ( lógico o )	⊥ (falsedad)
Un álgebra booleana	⊕ ( exclusivo o )	⊥ (falsedad)
Nudos	Suma de nudos	Unknot
Superficies compactas	# ( suma conectada )	S 2
Los grupos	Producto directo	Grupo trivial
Dos elementos, { e ,  f }	∗ definido por  e ∗ e = f ∗ e = e y  f ∗ f = e ∗ f = f	Tanto e como f son identidades de la izquierda,  pero no hay una identidad correcta ni una identidad de  dos caras

Propiedades [ editar ]

Como muestra el último ejemplo (un semigrupo ), es posible que ( S , ∗) tenga varias identidades a la izquierda. De hecho, cada elemento puede ser una identidad de izquierda. Del mismo modo, puede haber varias identidades correctas. Pero si hay una identidad correcta y una identidad izquierda, entonces son iguales y solo hay una identidad única de dos lados. Para ver esto, tenga en cuenta que si l es una identidad izquierda y r es una identidad correcta, entonces l = l ∗ r = r . En particular, nunca puede haber más de una identidad de dos caras. Si hubiera dos, e y f , entonces e ∗f tendría que ser igual a e y f .

También es bastante posible que ( S , ∗) no tenga ningún elemento de identidad. Un ejemplo común de esto es el producto cruzado de vectores ; en este caso, la ausencia de un elemento de identidad se relaciona con el hecho de que la dirección de cualquier producto cruzado distinto de cero es siempre ortogonal a cualquier elemento multiplicado, por lo que no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el elemento. original. Otro ejemplo sería el semigrupo aditivo de números naturales positivos .