MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

funtor es un mapa entre categorías . Los funcionalizadores se consideraron por primera vez en la topología algebraica , donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental ) están asociados a espacios topológicos , y los mapas entre estos objetos algebraicos están asociados a mapas continuos entre espacios. Hoy en día, los funtores se utilizan en las matemáticas modernas para relacionar varias categorías. Por lo tanto, los funtores son importantes en todas las áreas dentro de las matemáticas a las que se aplica la teoría de categorías .

La palabra funtor fue tomada por matemáticos del filósofo Rudolf Carnap , ^[1] que usó el término en un contexto lingüístico ; ^[2] ver palabra de función .

Definición [ editar ]

Deje C y D será categorías . Un functor F de C a D es un mapeo que ^[3]

• Asociados a cada objeto. $${\ displaystyle X}en C un objeto$${\ displaystyle F (X)}en D ,
• Asociados a cada morfismo. $${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}en C un morfismo$${\ displaystyle F (f) \ colon F (X) \ a F (Y)}en D tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:
  • $${\ displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!} para cada objeto $${\ displaystyle X}en C ,
  • $${\ displaystyle F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f)} para todos los morfismos $${\ displaystyle f \ colon X \ to Y \, \!} y $${\ displaystyle g \ colon Y \ to Z}en c .

Es decir, los funtores deben preservar los morfismos de identidad y la composición de los morfismos.

Covarianza y contravarianza [ editar ]

Hay muchas construcciones en matemáticas que serían funtores, pero por el hecho de que "dan vuelta a los morfismos" y "invierten la composición". Luego definimos un functor contravariante F de C a D como un mapeo que

• Asociados a cada objeto. $${\ displaystyle X}en C un objeto$${\ displaystyle F (X)}en D ,
• Asociados a cada morfismo. $${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}en C un morfismo$${\ displaystyle F (f) \ colon F (Y) \ a F (X)}en D tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:
  • $${\ displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!} para cada objeto $${\ displaystyle X}en C ,
  • $${\ displaystyle F (g \ circ f) = F (f) \ circ F (g)} para todos los morfismos $${\ displaystyle f \ colon X \ to Y} y $${\ displaystyle g \ colon Y \ to Z}en c .

Tenga en cuenta que los funtores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los funtores ordinarios también se denominan funtores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Tenga en cuenta que también se puede definir un funtor contravariante como un funtor covariante en la categoría opuesta $${\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}}. ^[4] Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariante. Es decir, en lugar de decir.$${\ displaystyle F \ colon C \ to D} Es un funtor contravariante, simplemente escriben. $${\ displaystyle F \ colon C ^ {\ mathrm {op}} \ to D} (o algunas veces $${\ displaystyle F \ colon C \ to D ^ {\ mathrm {op}}}) y llamarlo un funtor.

Los funtores contravariantes también se llaman ocasionalmente cofunctores . ^[5]

Hay una convención que se refiere a los "vectores": es decir, campos vectoriales , elementos del espacio de secciones$${\ displaystyle \ Gamma (TM)}de un haz tangente $${\ displaystyle TM}—Como "contravariante" y a "covectores" —es decir, 1-formas , elementos del espacio de secciones$${\ displaystyle \ Gamma (T ^ {*} M)}de un paquete cotangente $${\ displaystyle T ^ {*} M}—Como "covariante". Esta terminología se origina en la física, y su razón tiene que ver con la posición de los índices ("arriba" y "abajo") en expresiones como$${\ displaystyle x ^ {i} = \ Lambda _ {j} ^ {i} x ^ {j}} para $${\ displaystyle \ mathbf {x} '= {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ mathbf {x}} o $${\ displaystyle \ omega _ {i} = \ Lambda _ {i} ^ {j} \ omega _ {j}} para $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} '= {\ boldsymbol {\ omega}} {\ boldsymbol {\ Lambda}} ^ {T}. En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas. $${\ displaystyle \ Lambda _ {i} ^ {j}} (representando la matriz $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} ^ {T}}) actúa sobre los vectores de base "de la misma manera" que en las "coordenadas de covector": $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ Lambda _ {i} ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}- mientras que actúa "de manera opuesta" en las "coordenadas vectoriales" (pero "de la misma manera" que en los vectores de base: $${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} = \ Lambda _ {j} ^ {i} \ mathbf {e} ^ {j}}). Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los codificadores los que tienen retrocesos en general y, por lo tanto , son contravariantes , mientras que los vectores en general son covariantes,ya que pueden empujarse hacia adelante . Ver también Covarianza y contravarianza de vectores .

Functor opuesto [ editar ]

Cada funtor $${\ displaystyle F \ colon C \ to D}induce el funtor opuesto $${\ displaystyle F ^ {\ mathrm {op}} \ colon C ^ {\ mathrm {op}} \ to D ^ {\ mathrm {op}}}, dónde $${\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}} y $${\ displaystyle D ^ {\ mathrm {op}}}son las categorías opuestas a$${\ displaystyle C} y $${\ displaystyle D}. ^[6] Por definición,$${\ displaystyle F ^ {\ mathrm {op}}} Mapea objetos y morfismos idénticamente a $${\ displaystyle F}. Ya que$${\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}} no coincide con $${\ displaystyle C} como categoría, y similarmente para $${\ displaystyle D}, $${\ displaystyle F ^ {\ mathrm {op}}} se distingue de $${\ displaystyle F}. Por ejemplo, al componer$${\ displaystyle F \ colon C_ {0} \ a C_ {1}}con $${\ displaystyle G \ colon C_ {1} ^ {\ mathrm {op}} \ a C_ {2}}, uno debe usar cualquiera $${\ displaystyle G \ circ F ^ {\ mathrm {op}}} o $${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} \ circ F}. Tenga en cuenta que, siguiendo la propiedad de categoría opuesta ,$${\ displaystyle (F ^ {\ mathrm {op}}) ^ {\ mathrm {op}} = F}.

Bifunctores y multifuncionales [ editar ]

Un bifunctor (también conocido como un funtor binario ) es un funtor cuyo dominio es una categoría de producto . Por ejemplo, el functor Hom es del tipo C ^op × C → Set . Se puede ver como un funtor en dosargumentos. El functor de Hom es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento, covariante en el otro.

Un multifuncional es una generalización del concepto de functor a n variables. Entonces, por ejemplo, un bifunctor es un multifuncional con n = 2 .

Ejemplos [ editar ]

Diagrama : para las categorías C y J , un diagrama de tipo J en C es un funtor covariante$${\ displaystyle D \ colon J \ to C}.

(Categoría teórica) Presheaf : Para las categorías C y J , una J -presheaf en C es un funtor contravariante$${\ displaystyle D \ colon C \ to J}.

Presheaves: Si X es un espacio topológico , entonces los conjuntos abiertos en X forman un conjunto parcialmente ordenado Abierto ( X ) bajo inclusión. Al igual que todo conjunto parcialmente ordenado, Open ( X ) forma una pequeña categoría al agregar una sola flecha U → V si y solo si$${\ displaystyle U \ subseteq V}. Funtores contravariantes en Open ( X ) se llaman prehaces en X . Por ejemplo, al asignar a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valor real en U , se obtiene una hoja de álgebra de X sobre la siguiente .

Funtor constante: El funtor C → D que mapea cada objeto de C a un objeto fijo X en D y cada morfismo en C a la morfismo identidad en X . Este funtor se llama un functor de constante o selección .

Endofunctor : un funtor que mapea una categoría a esa misma categoría; Por ejemplo, el functor polinomial .

Functor de identidad : en la categoría C , escrito 1 _C o id _C , asigna un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El functor de identidad es un endofunctor.

Functor diagonal : el funtor diagonal se define como el funtor desde D hasta la categoría D ^C del functor, que envía cada objeto en D al functor constante en ese objeto.

Functor de límite : para una categoría de índice fijo J , si cada functor J → C tiene un límite (por ejemplo, si Cestá completo), entonces el limitador de función C ^J → C asigna a cada functor su límite. La existencia de este functor puede comprobarse si se da cuenta de que es el adjunto correcto al funtor diagonal e invoca el teorema del functor adjunto de Freyd . Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección . Comentarios similares se aplican al functor colimit (que es covariante).

Conjuntos de potencia: El functor de conjunto de potencia P  : Conjunto → Conjunto asigna cada conjunto a su conjunto de potencia y cada función$${\ displaystyle f \ colon X \ to Y} al mapa que envía $${\ displaystyle U \ subseteq X} a su imagen $${\ displaystyle f (U) \ subseteq Y}. También se puede considerar el functor de potencia contravariante que envía$${\ displaystyle f \ colon X \ to Y} al mapa que envía $${\ displaystyle V \ subseteq Y}a su imagen inversa $${\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ subseteq X.}

Espacio vectorial dual : el mapa que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada mapa lineal su dual o transposición es un functor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre uncampo fijo.

Grupo fundamental: considere la categoría de espacios topológicos puntiagudos , es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ( X , x ₀ ) , donde X es un espacio topológico y x ₀ es un punto en X . Un morfismo de ( X , x ₀ ) a ( Y , y ₀ ) viene dado por un mapa continuo f  : X → Y con f ( x₀ ) = y ₀.

Para cada espacio topológico X con punto distinguido x ₀ , se puede definir el grupo fundamental basado en x ₀ , indicado como π ₁ ( X , x ₀ ) . Este es el grupo de clases de homotopía de bucles basadas en x ₀ . Si f  : X → Y es un morfismo de espacios puntiagudos , entonces cada bucle en X con el punto base x ₀ se puede componer con fpara producir un bucle en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y la composición de los bucles, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π ( X , x ₀ ) a π ( Y , y ₀ ) . Así obtenemos un funtor de la categoría de espacios topológicos puntiagudos a la categoría de grupos .

En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases de homotopía de curvas genéricas, pero no se pueden componer a menos que compartan un punto final. Así, uno tiene el groupoidfundamental en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es funcional.

Álgebra de funciones continuas: un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con mapas continuos como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales se asigna a cada espacio topológico Xel álgebra C ( X ) de todas las funciones continuas de valor real. en ese espacio Cada mapa continuo f  : X → Yinduce un homomorfismo de álgebra C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) por la regla C ( f ) ( φ ) = φ ∘ fpor cada φ en C ( Y ).

Paquetes tangentes y cotangentes: el mapa que envía cada variedad diferenciable a su paquete tangente y cada mapa suave a su derivada es un functor covariante de la categoría de variedades diferenciables a la categoría de paquetes vectoriales .

Hacer estas construcciones de forma puntual proporciona al espacio tangente , un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables puntiagudas a la categoría de espacios vectoriales reales. Del mismo modo, el espacio cotangente es un funtor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual arriba.

Acciones / representaciones de grupo: Cada grupo G pueden ser considerados como una categoría con un solo objeto cuya morfismos son los elementos de G . Un funtor de G a Set no es más que una acción grupal de G en un set en particular, es decir, un G- set. Del mismo modo, un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales , Vect _K , es una representación lineal de G . En general, un functor G → C puede considerarse como una "acción" de Gen un objeto en la categoría c . Si C es un grupo, entonces esta acción es un homomorfismo de grupo.

Álgebra de mentiras: Asignar a cada grupo de mentiras real (complejo) su álgebra de mentiras real (compleja) define un functor.

Productos tensoriales: si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo, con mapas lineales como morfismos, entonces el producto tensorial $${\ displaystyle V \ otimes W}define un functor C × C → C que es covariante en ambos argumentos. ^[7]

Funtores olvidadizos: el funtor U  : Grp → Conjunto que mapea un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a su función subyacente de conjuntos es un functor. ^{[8] Los} funtores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se denominan funtores del olvido . Otro ejemplo es el functor Rng → Ab, que asigna un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente . Los morfismos en Rng ( homomorfismos de anillo ) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos de grupo abeliano).

Funtores libres: Ir en la dirección opuesta de los funtores olvidadizos son los funtores libres. El funtor libre F  : Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X . Las funciones se asignan a homomorfismos de grupo entre grupos libres. Existen construcciones libres para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Ver objeto libre .

Grupos homomorfismo: Para cada par A , B de los grupos abelianos uno puede asignar el grupo abeliano Hom ( A , B ) que consiste en todos homomorfismo de grupos de A a B . Este es un funtor que es contravariante en el primero y covariante en el segundo argumento, es decir, es un funtor Ab ^op × Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f  : A ₁ → A ₂ yg  : B ₁ → B ₂ son morfismos enAb , entonces el grupo homomorfismo Hom ( f , g ) : Hom ( A ₂ , B ₁ ) → Hom ( A ₁ , B ₂ ) viene dado porφ ↦ g ∘ φ ∘ φ f . Ver el functor hom .

Funtores representables: Podemos generalizar el ejemplo anterior para cualquiera de las categorías C . Para cada par X , Y de los objetos en C puede asignar el conjunto Hom ( X , Y ) de morfismos de X a Y . Esto define un functor para establecer que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un functor C ^op × C → Set . Si f  : X ₁ → X ₂ y g  : Y₁ → Y ₂ son morfismos en C , luego el homomorfismo de grupo Hom ( f , g ): Hom ( X ₂ , Y ₁ ) → Hom ( X ₁ , Y ₂ ) viene dado por φ ↦ g ∘ φ φ ∘ f .

Los funtores como estos se llaman funtores representables . Un objetivo importante en muchas configuraciones es determinar si un functor dado es representable.

Propiedades [ editar ]

Dos consecuencias importantes de los axiomas funtores son:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D ;
• si f es un isomorfismo en C , entonces F ( f ) es un isomorfismo en D .

Uno puede componer funtores, es decir, si F es un funtor de A a B y G es un funtor de B a C entonces se puede formar el funtor compuesto G ∘ F de A a C . La composición de los funtores es asociativa cuando se define. La identidad de la composición de los funtores es la identidad del functor. Esto muestra que los funtores pueden considerarse como morfismos en categorías de categorías, por ejemplo en categorías de categorías pequeñas .

Una pequeña categoría con un solo objeto es lo mismo que un monoide : los morfismos de una categoría de un objeto se pueden considerar como elementos del monoide, y la composición en la categoría se considera como la operación monoide. Los funcionales entre categorías de un objeto corresponden a homomorfismos monoides . Entonces, en cierto sentido, los funtores entre categorías arbitrarias son un tipo de generalización de los homomorfismos monoides a categorías con más de un objeto.

Relación con otros conceptos categóricos [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} y $${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}ser categorias La colección de todos los funtores.$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ a {\ mathcal {D}}}formar los objetos de una categoría: la categoría de functor . Los morfismos en esta categoría son transformaciones naturales entre funtores.

Los funcionales a menudo se definen por propiedades universales ; Algunos ejemplos son el producto tensorial , la suma directa y el producto directo de grupos o espacios vectoriales, la construcción de grupos y módulos libres, los límites directos e inversos . Los conceptos de límite y colimit generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales a menudo dan lugar a pares de funtores adjuntos .

Implementaciones informáticas [ editar ]

A veces aparecen funciones en la programación funcional . Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskelltiene una clase Functor donde fmapse utiliza una función politípica para mapear funciones ( morfismos en Hask , la categoría de los tipos de Haskell) ^[9] entre los tipos existentes y las funciones entre algunos tipos nuevos.

El lema de Zorn se puede usar para mostrar que cada gráfico conectado tiene un árbol de expansión . El conjunto de todas las sub-gráficas que son árboles está ordenado por inclusión, y la unión de una cadena es un límite superior. El lema de Zorn dice que debe existir un árbol máximo, que es un árbol de expansión ya que la gráfica está conectada. El lema de Zorn no es necesario para los gráficos finitos, como el que se muestra aquí.

El lema de Zorn , también conocido como el lema Kuratowski-Zorn , después de los matemáticos Max Zorn y Kazimierz Kuratowski , es una proposición de teoría de conjuntos que afirma que un conjunto parcialmente ordenado que contiene límites superiores para cada cadena (es decir, cada subconjunto totalmente ordenado ) contiene necesariamente al menos un elemento máximo .

Probado por Kuratowski en 1922 e independientemente por Zorn en 1935, ^[1] este lema aparece en las pruebas de varios teoremas de importancia crucial, por ejemplo, el teorema de Hahn-Banach en el análisis funcional , el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base , ^{[ 2]} El teorema de Tychonoff en la topología que establece que cada producto de los espacios compactos es compacto, y los teoremas en álgebra abstracta que en un anillo con identidad cada ideal apropiado está contenido en un ideal máximo y que cada campo tiene unaCierre algebraico . ^[3]

Lema de Zorn es equivalente al teorema del buen orden y también para el axioma de elección , en el sentido de que cualquiera de los tres, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos , es suficiente para probar los otros dos. ^[4] Una formulación anterior del lema de Zorn es el principio máximo de Hausdorff que establece que cada subconjunto totalmente ordenado de un conjunto parcialmente ordenado dado está contenido en un subconjunto totalmente ordenado de ese conjunto parcialmente ordenado. 

Declaración de la lema [ editar ]

La lema de Zorn se puede afirmar como:

Lemma  -  Supongamos que un conjunto parcialmente ordenado P tiene la propiedad de que cada cadena en P tiene un límite superior en P . Entonces el conjunto P contiene al menos un elemento máximo .

Algunas veces se usan variantes de esta formulación, como exigir que el conjunto P y las cadenas no estén vacías. Vea la discusión a continuación .

Ejemplo de aplicación [ editar ]

El lema de Zorn se puede usar para mostrar que cada anillo R no trivial con unidad contiene un ideal máximo . En la terminología anterior, el conjunto P consta de todos los ideales (de dos lados) en R, excepto R en sí. Como R no es trivial, el conjunto P contiene el ideal trivial {0} y, por lo tanto, P no está vacío. Este conjunto P está parcialmente ordenado por la inclusión de conjunto . La búsqueda de un ideal maximal es lo mismo que encontrar un elemento máximo en P . El ideal rse excluyó porque los ideales máximos, por definición, no son iguales a R .

Para aplicar el lema de Zorn, tome una cadena T en P (es decir, T es un subconjunto de P que está totalmente ordenado). Si T es el conjunto vacío, entonces el ideal trivial {0} es una cota superior para T en P . Supongamos entonces que T no está vacío. Es necesario demostrar que T tiene un límite superior, es decir, existe un I ⊆ Rideal que es más grande que todos los miembros de T pero aún más pequeño que R (de lo contrario no estaría en P ). Tomo yo para ser la unionDe todos los ideales en t . Deseamos demostrar que yo es una cota superior de T en P . Primero vamos a demostrar que yo es un ideal de R , y luego de que se trata de una adecuada ideales de R y por lo tanto es un elemento de P . Como cada elemento de T está contenido en I , esto mostrará que I es un límite superior para T en P , según se requiera.

Debido a que T contiene al menos un elemento, y ese elemento contiene al menos 0, la unión I contiene al menos 0 y no está vacía. Para probar que I es un ideal, en cuenta que si un y b son elementos de I , entonces existen dos ideales J , K ∈ T tal que una es un elemento de J y b es un elemento de K . Puesto que T está totalmente ordenado, sabemos que J ⊆ K o K ⊆ J . En el primer caso, tantoun y b son miembros del ideal K , por lo tanto su suma un + b es un miembro de K , lo que demuestra que un + b es un miembro de I . En el segundo caso, tanto una y b son miembros del ideal J , y por lo tanto un + b ∈ I . Además, si r ∈ R , a continuación, ar y rason elementos de J y por lo tanto elementos de I . Así, yoes un ideal en R .

Ahora, un ideal es igual a R si y solo si contiene 1. (Está claro que si es igual a R , debe contener 1; por otro lado, si contiene 1 y r es un elemento arbitrario de R , entonces r1 = r es un elemento del ideal, y entonces el ideal es igual a R ). Entonces, si yo fuera igual a R , entonces contendría 1, y eso significa que uno de los miembros de Tcontendría 1 y por lo tanto sería igual a R - pero R se excluye explícitamente de P .

La hipótesis del lema de Zorn ha sido comprobado, y por lo tanto hay un elemento máximo en P , en otras palabras, un ideal maximal en R .

Tenga en cuenta que la prueba depende del hecho de que nuestro anillo R tiene una unidad multiplicativa 1. Sin esto, la prueba no funcionaría y, de hecho, la afirmación sería falsa. Por ejemplo, el anillo con$${\ displaystyle \ mathbb {Q}} como grupo aditivo y multiplicación trivial (es decir, $${\ displaystyle ab = 0} para todos $${\ displaystyle a, b}) no tiene ideal máximo (y, por supuesto, no 1): sus ideales son precisamente los subgrupos aditivos. El grupo factor $${\ displaystyle \ mathbb {Q} / A} por un subgrupo adecuado $${\ displaystyle A}es un grupo divisible , por lo tanto, ciertamente no se genera de manera finita , por lo tanto tiene un subgrupo no trivial adecuado, lo que da lugar a un subgrupo e ideal que contiene$${\ displaystyle A}.

Bosquejo de prueba [ editar ]

A continuación se presenta un bosquejo de la prueba del lema de Zorn, asumiendo el axioma de elección . Supongamos que el lema es falso. Luego existe un conjunto parcialmente ordenado, o poset, P , de tal manera que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior, y cada elemento tiene uno más grande. Para cada subconjunto T totalmente ordenado, podemos definir un elemento más grande b ( T ), porque T tiene un límite superior, y ese límite superior tiene un elemento más grande. Para definir realmente la función b , necesitamos emplear el axioma de elección.

Uso de la función b , vamos a definir los elementos de un ₀ < un ₁ < un ₂ < un ₃ <... en P . Esta secuencia es realmente larga : los índices no son solo los números naturales , sino todos los ordinales . De hecho, la secuencia es demasiado larga para el conjunto P ; hay demasiados ordinales (una clase adecuada ), más que elementos en cualquier conjunto, y el conjunto P se agotará en poco tiempo y luego nos encontraremos con la contradicción deseada.

Las a _i se definen por recursión transfinita : seleccionamos un ₀ en P arbitrario (esto es posible, ya que Pcontiene un límite superior para el conjunto vacío y, por lo tanto, no está vacío) y para cualquier otro ordinal westablecemos a _w = b ( { a _v : v < w }). Debido a que los a _v están totalmente ordenados, esta es una definición bien fundada.

Esta prueba muestra que en realidad es verdadera una versión ligeramente más fuerte del lema de Zorn:

Si P es un poset en el que cada subconjunto bien ordenado tiene un límite superior, y si x es cualquier elemento de P , entonces P tiene un elemento máximo mayor o igual que x . Es decir, hay un elemento máximo que es comparable a x .

Formulación alternativa [ editar ]

El lema de Zorn a veces ^{[6] se} expresa de la siguiente manera:

Supongamos que un no vacío conjunto parcialmente ordenado P tiene la propiedad de que cada cadena no vacío tiene un límite superior en P . Entonces el conjunto P contiene al menos un elemento máximo.

Aunque esta formulación parece ser formalmente más débil (ya que coloca en P la condición adicional de no estar vacía, pero obtiene la misma conclusión sobre P ), de hecho, las dos formulaciones son equivalentes. Para comprobar esto, supongamos primero que P satisface la condición de que cada cadena en P tiene un límite superior en P . Entonces, el subconjunto vacío de P es una cadena, ya que satisface la definición de manera vacía ; por lo que la hipótesis implica que este subconjunto debe tener un límite superior en P , y este límite superior muestra que P es de hecho no vacío. A la inversa, si Pse supone que no está vacío y satisface la hipótesis de que cada cadena no vacía tiene un límite superior en P , luego P también cumple la condición de que cada cadena tiene un límite superior, ya que un elemento arbitrario de P sirve como un límite superior para la cadena vacía (es decir, el subconjunto vacío visto como una cadena).

La diferencia puede parecer sutil, pero en muchas pruebas que invocan el lema de Zorn, uno toma uniones de algún tipo para producir un límite superior, por lo que el caso de la cadena vacía puede pasarse por alto; es decir, la verificación de que todas las cadenas tienen límites superiores puede tener que lidiar con cadenas vacías y no vacías por separado. Muchos autores prefieren verificar la no vacuidad del conjunto P en lugar de tratar con la cadena vacía en el argumento general. ^[7]

Historia [ editar ]

El principio máximo de Hausdorff es una declaración temprana similar al lema de Zorn.

Kazimierz Kuratowski probó en 1922 ^[8] una versión del lema cercana a su formulación moderna (se aplica a los conjuntos ordenados por inclusión y cerrados bajo uniones de cadenas bien ordenadas). Esencialmente, la misma formulación (debilitada por el uso de cadenas arbitrarias, no solo bien ordenadas) la dio de forma independiente Max Zorn en 1935, ^[9] quien la propuso como un nuevo axioma de la teoría de conjuntos que reemplaza el teorema de ordenamiento correcto, exhibió parte de su Aplicaciones en álgebra, y prometió mostrar su equivalencia con el axioma de elección en otro artículo, que nunca apareció.

El nombre de "lema de Zorn" parece deberse a John Tukey , que lo utilizó en su libro La convergencia y la uniformidad en la topología en 1940. Bourbaki 's Théorie des Conjuntos de 1939 se refiere a un principio de máxima similares como 'le théorème de Zorn'. ^[10] El nombre " Kuratowski-Zorn lemma " prevalece en Polonia y Rusia.

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Formas equivalentes del lema de Zorn [ editar ]

Ver también: Axioma de elección § Equivalentes

El lema de Zorn es equivalente (en ZF ) a tres resultados principales:

1. Principio maximo de Hausdorff
2. Axioma de elección
3. Teorema bien ordenado .

Una broma bien conocida que alude a esta equivalencia (que puede desafiar la intuición humana) se atribuye a Jerry Bona : "El Axioma de elección es obviamente verdadero, el principio de ordenamiento es obviamente falso, y ¿quién puede hablar sobre el lema de Zorn?" ^[11]

El lema de Zorn también es equivalente al fuerte teorema de completitud de la lógica de primer orden. ^[12]

Además, el lema de Zorn (o una de sus formas equivalentes) implica algunos resultados importantes en otras áreas matemáticas. Por ejemplo,

1. El teorema de extensión de Banach que se utiliza para demostrar uno de los resultados más fundamentales en el análisis funcional, el teorema de Hahn-Banach.
2. Cada espacio vectorial tiene una base , un resultado del álgebra lineal (para el cual es equivalente ^[13] ). En particular, los números reales poseen una base de Hamel.
3. Cada anillo unital conmutativo tiene un ideal máximo , un resultado de la teoría del anillo.
4. Teorema de Tychonoff en topología (al que también es equivalente ^[14] )
5. Cada filtro apropiado está contenido en un ultrafiltro , un resultado que produce el teorema de integridadde la lógica de primer orden ^[15]

En este sentido, vemos cómo el lema de Zorn se puede ver como una herramienta poderosa, especialmente en el sentido de las matemáticas unificadas ^{[se necesita una aclaración ]} .