MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

filtración. $${\ displaystyle {\ mathcal {F}}} es un conjunto indexado $${\ displaystyle S_ {i}}de subobjetos de una estructura algebraica dada $${\ displaystyle S}, con el índice $${\ displaystyle i}corriendo sobre un conjunto de índices $${\ displaystyle I}es un conjunto totalmente ordenado , sujeto a la condición de que

Si $${\ displaystyle i \ leq j} en $${\ displaystyle I}, entonces $${\ displaystyle S_ {i} \ subconjunto S_ {j}}.

Si el índice $${\ displaystyle i} es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico, luego la filtración puede interpretarse como que representa toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, con el objeto algebraico $${\ displaystyle S_ {i}}Ganando en complejidad con el tiempo. De ahí, un proceso que se adapta a una filtración.$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}, también se llama no anticipar , es decir, uno que no puede ver el futuro . ^[1]

A veces, como en un álgebra filtrada , existe el requisito de que la$${\ displaystyle S_ {i}}ser subalgebras con respecto a algunas operaciones (por ejemplo, suma de vectores), pero no con respecto a otras operaciones (por ejemplo, multiplicación), que satisfacen$${\ displaystyle S_ {i} \ cdot S_ {j} \ subconjunto S_ {i + j}}, donde el conjunto de índices son los números naturales; Esto es por analogía con un álgebra graduada .

A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión de la $${\ displaystyle S_ {i}} ser el todo $${\ displaystyle S}, o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico desde el límite directo de la $${\ displaystyle S_ {i}} a $${\ displaystyle S}Es un isomorfismo. Si se asume o no este requisito, generalmente depende del autor del texto y, a menudo, se establece explícitamente. Este artículo no impone este requisito.

También existe la noción de una filtración descendente , que se requiere para satisfacer$${\ displaystyle S_ {i} \ supseteq S_ {j}} en lugar de $${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq S_ {j}} (y, ocasionalmente, $${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ en I} S_ {i} = 0} en lugar de $${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ en I} S_ {i} = S}). Una vez más, depende del contexto cómo debe entenderse exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con cofiltraciones (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos).

El concepto dual a una filtración se llama cofiltración .

Las filtraciones se usan ampliamente en álgebra abstracta , álgebra homológica (donde se relacionan de manera importante con las secuencias espectrales ) y en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras . En el análisis funcional y el análisis numérico , generalmente se usa otra terminología, como la escala de espacios o espacios anidados .

Ejemplos [ editar ]

Álgebra [ editar ]

Ver también: álgebra filtrada.

Grupos [ editar ]

Ver también: función de longitud.

En álgebra, las filtraciones son generalmente indexadas por $${\ displaystyle \ mathbb {N}}, el conjunto de los números naturales. Una filtración de un grupo.$${\ displaystyle G}, es entonces una secuencia anidada $${\ displaystyle G_ {n}}de subgrupos normales de$${\ displaystyle G} (es decir, para cualquier $${\ displaystyle n} tenemos $${\ displaystyle G_ {n + 1} \ subconjunto G_ {n}}). Tenga en cuenta que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente".

Dado un grupo $${\ displaystyle G} y una filtración $${\ displaystyle G_ {n}}, hay una manera natural de definir una topología en $${\ displaystyle G}, se dice que está asociado a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todos los traductores de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de$${\ displaystyle G} Se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma. $${\ displaystyle aG_ {n}}, dónde $${\ displaystyle a \ in G} y $${\ displaystyle n} Es un número natural.

La topología asociada a una filtración en un grupo. $${\ displaystyle G} hace $${\ displaystyle G}en un grupo topológico .

La topología asociada a una filtración. $${\ displaystyle G_ {n}} en un grupo $${\ displaystyle G}es Hausdorff si y solo si$${\ displaystyle \ bigcap G_ {n} = \ {1 \}}.

Si dos filtraciones $${\ displaystyle G_ {n}} y $${\ displaystyle G '_ {n}} se definen en un grupo $${\ displaystyle G}, entonces el mapa de identidad de $${\ displaystyle G} a $${\ displaystyle G}, donde la primera copia de $${\ displaystyle G} se le da el $${\ displaystyle G_ {n}}-topología y la segunda la $${\ displaystyle G '_ {n}}-topología, es continua si y solo si para alguna. $${\ displaystyle n} hay un $${\ displaystyle m} tal que $${\ displaystyle G_ {m} \ subconjunto G '_ {n}}, es decir, si y solo si el mapa de identidad es continuo en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y solo si para cualquier subgrupo que aparece en uno, hay uno más pequeño o igual en el otro.

Anillos y módulos: filtraciones descendentes [ editar ]

Dado un anillo $${\ displaystyle R} y un $${\ displaystyle R}-módulo $${\ displaystyle M}, una filtración descendente de$${\ displaystyle M} Es una secuencia decreciente de submódulos. $${\ displaystyle M_ {n}}. Este es, por lo tanto, un caso especial de la noción para grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos.

Un caso especial importante es conocido como el $${\ displaystyle I}topología errática (o $${\ displaystyle J}-adámica, etc.). Dejar$${\ displaystyle R} ser un anillo conmutativo, y $${\ displaystyle I} un ideal de $${\ displaystyle R}.

Dado un $${\ displaystyle R}-módulo $${\ displaystyle M}, la secuencia $${\ displaystyle I ^ {n} M} de submódulos de $${\ displaystyle M} forma una filtración de $${\ displaystyle M}. los$${\ displaystyle I}topología -adicen$${\ displaystyle M}Es entonces la topología asociada a esta filtración. Si$${\ displaystyle M} es solo el anillo $${\ displaystyle R} En sí, hemos definido la $${\ displaystyle I}topología -adic en$${\ displaystyle R}.

Cuando $${\ displaystyle R} se le da el $${\ displaystyle I}topología errática, $${\ displaystyle R}Se convierte en un anillo topológico . Si una$${\ displaystyle R}-módulo $${\ displaystyle M} entonces se le da el $${\ displaystyle I}La topología errática se convierte en una topología.$${\ displaystyle R}-módulo , relativo a la topología dada en$${\ displaystyle R}.

Anillos y módulos: filtraciones ascendentes [ editar ]

Dado un anillo $${\ displaystyle R} y un $${\ displaystyle R}-módulo $${\ displaystyle M}, una filtración ascendente de$${\ displaystyle M} Es una secuencia creciente de submódulos. $${\ displaystyle M_ {n}}. En particular, si$${\ displaystyle R} Es un campo, luego una filtración ascendente de la $${\ displaystyle R}-vector de espacio $${\ displaystyle M} es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de $${\ displaystyle M}. Las banderas son una clase importante de tales filtraciones.

Sets [ editar ]

Una filtración máxima de un conjunto es equivalente a un pedido (una permutación ) del conjunto. Por ejemplo, la filtración.$${\ displaystyle \ {0 \} \ subconjunto \ {0,1 \} \ subconjunto \ {0,1,2 \}} corresponde al pedido $${\ displaystyle (0,1,2)}. Desde el punto de vista del campo con un elemento , un orden en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando que un conjunto es un espacio vectorial sobre el campo con un elemento.

Teoría de la medida [ editar ]

Artículo principal: Filtración (teoría de la probabilidad).

En la teoría de las medidas , en particular en la teoría de la martingala y en la teoría de los procesos estocásticos, una filtración es una secuencia creciente de$${\ displaystyle \ sigma}-algebras en un espacio medible . Es decir, dado un espacio medible.$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}, una filtración es una secuencia de $${\ displaystyle \ sigma}-algebras $${\ displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {t \ geq 0}} con $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} \ subseteq {\ mathcal {F}}} donde cada $${\ displaystyle t} es un número real no negativo y

$${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implica {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

El rango exacto de los "tiempos" $${\ displaystyle t} dependerá generalmente del contexto: el conjunto de valores para $${\ displaystyle t}Puede ser discreta o continua, limitada o ilimitada. Por ejemplo,

$${\ displaystyle t \ in \ {0,1, \ dots, N \}, \ mathbb {N} _ {0}, [0, T] {\ mbox {o}} [0, + \ infty).}

De manera similar, un espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica )$${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Correcto)}, es un espacio de probabilidad equipado con la filtración.$${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}} de su $${\ displaystyle \ sigma}-álgebra $${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}. Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface las condiciones habituales si está completo (es decir,$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}contiene todo $${\ displaystyle \ mathbb {P}}- conjuntos nulos ) y derecha-continua (es decir,{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} = {\ mathcal {F}} _ {t +}: = \ bigcap _ {s> t} {\ mathcal {F}} _ {s}} para todos los tiempos $${\ displaystyle t}). ^{[2] [3] [4]}

También es útil (en el caso de un conjunto de índices ilimitado) para definir $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}} como el $${\ displaystyle \ sigma}-algebra generada por la unión infinita del $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}'s, que está contenida en $${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}:

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Una σ -algebra define el conjunto de eventos que pueden medirse, que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que pueden ser discriminados, o "preguntas que pueden responderse en el momento$${\ displaystyle t}". Por lo tanto, a menudo se usa una filtración para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, a través de la ganancia o pérdida de información . Un ejemplo típico es en las finanzas matemáticas , donde una filtración representa la información disponible hasta e incluyendo cada hora$${\ displaystyle t}, y es cada vez más preciso (el conjunto de eventos medibles se mantiene igual o aumenta) a medida que se dispone de más información sobre la evolución del precio de las acciones.

Relación con los tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebras [ editar ]

Artículo principal: Σ-Álgebra de τ-pasado

Dejar $${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Correcto)}Ser un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoria$${\ displaystyle \ tau: \ Omega \ rightarrow [0, \ infty]}Es un tiempo de parada con respecto a la filtración. $${\ displaystyle \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}}, Si $${\ displaystyle \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}} para todos $${\ displaystyle t \ geq 0}. El tiempo de parada $${\ displaystyle \ sigma}-algebra ahora se define como

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal { F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.

No es difícil demostrar que $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}} es de hecho un $${\ displaystyle \ sigma}-algebra . El conjunto$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}Codifica la información hasta el momento aleatorio.$${\ displaystyle \ tau} en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar al respecto se repite arbitrariamente a menudo hasta el tiempo aleatorio. $${\ displaystyle \ tau} es $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}. ^[5] En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito (es decir,$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}} es finito), los conjuntos mínimos de $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}} (con respecto a la inclusión de conjuntos) son dados por la unión sobre todos $${\ displaystyle t \ geq 0} de los conjuntos de conjuntos mínimos de $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}} que se encuentran en $${\ displaystyle \ {\ tau = t \}}. ^[5]

Se puede demostrar que $${\ displaystyle \ tau} es $${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}-mensurable. Sin embargo, ejemplos simples ^[5] muestran que, en general,$${\ displaystyle \ sigma (\ tau) \ neq {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}. Si$${\ displaystyle \ tau _ {1}} y $${\ displaystyle \ tau _ {2}}están deteniendo los tiempos en$${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ left \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \ right \} _ {t \ geq 0}, \ mathbb {P} \ Correcto)}y $${\ displaystyle \ tau _ {1} \ leq \ tau _ {2}} casi seguro , entonces$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {\ tau _ {2}}.}

secuencia exacta es un concepto en matemáticas , especialmente en teoría de grupos , teoría de anillos y módulos , álgebra homológica , así como en geometría diferencial . Una secuencia exacta es una secuencia , ya sea finita o infinita, de objetos y morfismos entre ellos, de modo que la imagen de un morfismo sea igual al núcleo del siguiente.

Definición [ editar ]

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia.

$${\ displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \; G_ {2} \; { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \; G_ {n}}

de grupos y homomorfismos de grupo se llama exacto si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

$${\ displaystyle \ operatorname {im} (f_ {k}) = \ ker (f_ {k + 1})}

Tenga en cuenta que la secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Una definición similar se puede hacer para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, uno podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y mapas lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de una secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y núcleos .

Casos sencillos [ editar ]

Para entender la definición, es útil considerar casos relativamente simples donde la secuencia es finita y comienza o termina con el grupo trivial . Tradicionalmente, esto, junto con el elemento de identidad único, se denota con 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos), o se denota con 1 (notación multiplicativa).

• La secuencia 0 → A → B es exacta en A si y solo si el mapa de A a B tiene el núcleo {0}; es decir, si y solo si ese mapa es un monomorfismo (inyectivo o uno a uno).
• Dualmente, la secuencia B → C → 0 es exacta en C si y solo si la imagen del mapa de B a C es toda C ; es decir, si y solo si ese mapa es un epimorfismo (sobreyectivo, o sobre).
• Por lo tanto, la secuencia 0 → X → Y → 0 es exacta si y solo si el mapa de X a Y es tanto un monomorfismo como un epimorfismo (es decir, un bimorfismo ) y, en muchos casos, un isomorfismo de X a Y .

Secuencia exacta corta [ editar ]

Son importantes las secuencias exactas cortas , que son secuencias exactas de la forma

$${\ displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}

Como se estableció anteriormente, para cualquiera de tales secuencias exacta corta, f es un monomorphism y ges un epimorfismo . Además, la imagen de f es igual al núcleo de g . Es útil pensar en A como un subobjeto de Bcon f incrustando A en B , y en C como el objeto factor (o cociente ) correspondiente, B / A , con g que induce un isomorfismo

$${\ displaystyle C \ cong B / \ operatorname {im} (f)}

La secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}

se llama escisión si existe un homomorfismo h  : C → B tal que la composición g ∘ h es el mapa de identidad en C . De ello se deduce que si estos son grupos abelianos, B es isomorfo a la suma directa de A y C (ver lema de división ):

$${\ displaystyle B \ cong A \ oplus C.}

Secuencia exacta larga [ editar ]

Una secuencia exacta larga es una secuencia exacta que consta de más de tres términos distintos de cero, a menudo una secuencia exacta infinita.

Una secuencia larga y exacta

$${\ displaystyle A_ {0} \; {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \; A_ {1} \; {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \; A_ {2} \; { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \; A_ {n}}

Es equivalente a una secuencia de secuencias exactas cortas.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & A_ {0} \; \ rightarrow \; K_ {1} \; \ rightarrow \; 0 \;, \\ 0 \; \ rightarrow \; K_ {1} \ rightarrow {} & A_ {1} \; \ rightarrow \; K_ {2} \; \ rightarrow \; 0 \;, \\\ vdots \, \, \, \, \\ 0 \; \ rightarrow \; K_ {n-1 } \ rightarrow {} & A_ {n-1} \ rightarrow \; K_ {n} \; \ rightarrow \; 0 \;, \\ 0 \; \ rightarrow K_ {n} \ rightarrow {} & A_ {n} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle K_ {i} = \ operatorname {im} (f_ {i}) = \ ker (f_ {i + 1})} para cada $${\ displaystyle i}.

Ejemplos [ editar ]

Secuencia exacta de grupos [ editar ]

Considera la siguiente secuencia de grupos abelianos :

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}

La primera homomorfismo los mapas de cada elemento i en el conjunto de los enteros Z con el elemento 2 i en Z. El segundo homomorfismo asigna cada elemento i en Z a un elemento j en el grupo de cocientes, es decir, j = imod 2. Aquí la flecha de enlace$${\ displaystyle \ hookrightarrow}indica que el mapa 2 × de Z a Z es un monomorfismo , y la flecha de dos cabezas$${\ displaystyle \ twoheadrightarrow}Indica un epimorfismo (el mapa mod 2). Esta es una secuencia exacta porque la imagen 2 Z del monomorfismo es el núcleo del epimorfismo. Esencialmente "la misma secuencia" también se puede escribir como

$${\ displaystyle 2 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}

En este caso el monomorphism es 2 n ↦ 2 n y aunque se ve como una función de la identidad, no es en (es decir, no un epimorfismo) porque los números impares no pertenecen a 2 Z . Sin embargo, la imagen de 2 Z através de este monomorfismo es exactamente el mismo subconjunto de Z que la imagen de Z a n ↦ 2 n utilizada en la secuencia anterior. Esta última secuencia difiere en la naturaleza concreta de su primer objeto del anterior, ya que 2 Z no es el mismo conjunto que Z , aunque los dos son isomorfos como grupos.

La primera secuencia también se puede escribir sin usar símbolos especiales para el monomorfismo y el epimorfismo:

$${\ displaystyle 0 \; \ to \; \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \; \ longrightarrow \; \ mathbf { Z} / 2 \ mathbf {Z} \; \ to \; \ 0}

Aquí 0 denota el grupo trivial, el mapa de Z a Z se multiplica por 2, y el mapa de Z al grupo de factores Z / 2 Z se obtiene al reducir los números enteros módulo 2. Esto es de hecho una secuencia exacta:

• la imagen del mapa 0 → Z es {0}, y el núcleo de la multiplicación por 2 también es {0}, por lo que la secuencia es exacto a la primera Z .
• la imagen de la multiplicación por 2 es 2 Z , y el núcleo de la reducción de módulo 2 es también 2 Z , por lo que la secuencia es exacta en el segundo Z .
• la imagen de la reducción de módulo 2 es Z / 2 Z , y el núcleo de la hoja de cero es también Z / 2 Z , por lo que la secuencia es exacto en la posición de Z / 2 Z .

La primera y tercera secuencias son algo de un caso especial debido a la naturaleza infinita de Z . No es posible que un grupo finito sea ​​mapeado por inclusión (es decir, por un monomorfismo) como un subgrupo propio de sí mismo. En cambio, la secuencia que emerge del primer teorema de isomorfismo es

$${\ displaystyle 1 \ to N \ to G \ to G / N \ to 1}

Como un ejemplo más concreto de una secuencia exacta en grupos finitos:

$${\ displaystyle 1 \ a C_ {n} \ a D_ {2n} \ a C_ {2} \ a 1}

dónde $${\ displaystyle C_ {n}}es el grupo cíclico de orden n y$${\ displaystyle D_ {2n}}es el grupo diédrico de orden 2 n , que es un grupo no abeliano.

Secuencia exacta de módulos [ editar ]

Let I y J haber dos ideales de un anillo R . Entonces

$${\ displaystyle 0 \ to I \ cap J \ to I \ oplus J \ to I + J \ to 0}

es una secuencia exacta de módulos R , donde el módulo homomorfismo$${\ displaystyle I \ cap J \ to I \ oplus J}mapea cada elemento x de$${\ displaystyle I \ cap J} al elemento $${\ displaystyle (x, x)}de la suma directa $${\ displaystyle I \ oplus J}, y el homomorfismo $${\ displaystyle I \ oplus J \ a I + J} mapea cada elemento $${\ displaystyle (x, y)} de $${\ displaystyle I \ oplus J} a $${\ displaystyle xy}.

Estos homomorfismos son restricciones de homomorfismos definidos de manera similar que forman la secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 0 \ to R \ to R \ oplus R \ to R \ to 0}

Pasar a los módulos de cociente produce otra secuencia exacta

$${\ displaystyle 0 \ to R / (I \ cap J) \ to R / I \ oplus R / J \ to R / (I + J) \ to 0}

Secuencia exacta de la geometría diferencial [ editar ]

Otro ejemplo, de la geometría diferencial , especialmente relevante para el trabajo en las ecuaciones de Maxwell, es

$${\ displaystyle {\ mathbb {H}} _ {1} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; {\ mathbb {H}} _ {\ operatorname {curl}} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {curl}}} \; \; {\ mathbb {H}} _ {\ operatorname {div}} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {div}}} \; \ ; {\ mathbb {L}} _ {2},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {\ operatorname {curl}}} y $${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {\ operatorname {div}}}Son los dominios para los operadores curl y div respectivamente.

Esto se basa en el hecho de que en espacios de Hilbert correctamente definidos , uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & \ equiv \ nabla \ times (\ nabla f) = 0, \\ [5pt] \ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & \ equiv \ nabla \ cdot \ nabla \ times {\ vec {v}} = 0, \ end {alineado}}}

y, además, los campos vectoriales sin curvatura siempre se pueden escribir como un degradado de una función escalar (tan pronto como se supone que el espacio está simplemente conectado , consulte la Nota 1 acontinuación), y que un campo sin divergencias se puede escribir como un rizo de otro campo. ^[1]

Este ejemplo hace uso del hecho de que el espacio tridimensional es topológicamente trivial.

Propiedades [ editar ]

El lema de división establece que si la secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 0 \ to A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}

admite un morfismo t  : B → A tal que t ∘ f es la identidad en A o un morfismo u : C → B tal que g ∘ u es la identidad en C , luego B es una suma directa de A y C (para no -grupos mutativos, este es un producto semidirecto ). Uno dice que tal secuencia exacta corta se divide .

El lema de la serpiente muestra cómo un diagrama conmutativo con dos filas exactas da lugar a una secuencia más larga y exacta. El nueve lema es un caso especial.

El cinco lema da condiciones bajo las cuales el mapa central en un diagrama conmutativo con filas exactas de longitud 5 es un isomorfismo; El corto cinco lemas es un caso especial del mismo que se aplica a secuencias exactas cortas.

La importancia de las secuencias exactas cortas está subrayada por el hecho de que cada secuencia exacta resulta de "unir" varias secuencias exactas cortas superpuestas. Considere, por ejemplo, la secuencia exacta

$${\ displaystyle A_ {1} \ a A_ {2} \ a A_ {3} \ a A_ {4} \ a A_ {5} \ a A_ {6}}

lo que implica que los objetos existen C _k en la categoría de tal manera que

$${\ displaystyle C_ {k} \ cong \ ker (A_ {k} \ a A_ {k + 1}) \ cong \ operatorname {im} (A_ {k-1} \ a A_ {k})}.

Supongamos además que el núcleo de cada morfismo existe, y es isomorfo a la imagen del siguiente morfismo en la secuencia:

$${\ displaystyle C_ {k} \ cong \ operatorname {coker} (A_ {k-2} \ a A_ {k-1})}

(Esto es cierto para una serie de categorías interesantes, incluida cualquier categoría abeliana, como los grupos abelianos ; pero no es cierto para todas las categorías que permiten secuencias exactas, y en particular no es cierto para la categoría de grupos , en la cual coker ( f ): G → H no es H / im ( f ) pero$${\ displaystyle H / {\ left \ langle \ operatorname {im} f \ right \ rangle} ^ {H}}, el cociente de H por el cierre conjugado de im ( f ). Luego obtenemos un diagrama conmutativo en el que todas las diagonales son secuencias cortas y exactas:

Tenga en cuenta que la única parte de este diagrama que depende de la condición de cokernel es el objeto $${\ textstyle C_ {7}} y el último par de morfismos. $${\ textstyle A_ {6} \ a C_ {7} \ a 0}. Si existe algún objeto.$${\ displaystyle A_ {k + 1}} y morfismo $${\ displaystyle A_ {k} \ a A_ {k + 1}} tal que $${\ displaystyle A_ {k-1} \ a A_ {k} \ a A_ {k + 1}} es exacto, entonces la exactitud de $${\ displaystyle 0 \ a C_ {k} \ a A_ {k} \ a C_ {k + 1} \ a 0}esta asegurado Tomando nuevamente el ejemplo de la categoría de grupos, el hecho de que im ( f ) sea el núcleo de algún homomorfismo en H implica que es un subgrupo normal , que coincide con el cierre de su conjugado; por lo tanto, coker ( f ) es isomorfo de la imagen H / im ( f ) del siguiente morfismo.

A la inversa, dada cualquier lista de secuencias exactas cortas superpuestas, sus términos medios forman una secuencia exacta de la misma manera.

Aplicaciones de secuencias exactas [ editar ]

En la teoría de las categorías abelianas, las secuencias exactas cortas se usan a menudo como un lenguaje conveniente para hablar de objetos sub y factores.

El problema de la extensión es esencialmente la pregunta "Dados los términos finales A y C de una secuencia exacta corta, ¿qué posibilidades existen para el término medio B ?" En la categoría de grupos, esto es equivalente a la pregunta, ¿qué grupos B tienen A como un subgrupo normal y C como el grupo de factores correspondiente? Este problema es importante en la clasificación de grupos . Véase también el grupo de automorfismo externo .

Nótese que en una secuencia exacta, la composición f _i 1 ∘ f _i mapas A _i a 0 en A _i 2 , por lo que cada secuencia exacta es un complejo de la cadena . Además, solo las imágenes f _i de elementos de A _i se asignan a 0 por f _i +1 , por lo que la homología de este complejo de cadenas es trivial. Más sucintamente:

Las secuencias exactas son precisamente aquellos complejos de cadena que son acíclicos .

Dada la complejidad de cualquier cadena, su homología puede considerarse como una medida del grado en que no es exacta.

Si tomamos una serie de secuencias exactas cortas unidas por complejos de cadenas (es decir, una secuencia exacta corta de complejos de cadenas, o desde otro punto de vista, un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas), entonces podemos derivar de esto una larga exacta. secuencia (es decir, una secuencia exacta indexada por los números naturales) en la homología mediante la aplicación del lema en zig-zag . Aparece en topología algebraica en el estudio de homología relativa ; La secuencia de Mayer-Vietoris es otro ejemplo. Las secuencias exactas largas inducidas por secuencias exactas cortas también son características de los funtores derivados .

Los funtores exactos son funtores que transforman secuencias exactas en secuencias exactas.