MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

subgrupo de torsión A _T de un grupo abeliano A es el subgrupo de A queconsiste en todos los elementos que tienen orden finito (los elementos de torsión de A ^[1] ). Un grupo abeliano Ase denomina grupo de torsión (o periódico ) si cada elemento de A tiene un orden finito y se denomina libre de torsión si cada elemento de A, excepto la identidad, es de orden infinito.

La prueba de que A _T está cerrada bajo adición se basa en la conmutatividad de la adición (vea la sección de ejemplos).

Si A es abeliano, entonces el subgrupo de torsión T es un subgrupo totalmente característico de A y el grupo de factores A / T no tiene torsión. Existe un funtor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos de torsión que envía a cada grupo a su subgrupo de torsión y cada homomorfismo a su restricción al subgrupo de torsión. Existe otro funtor covariante de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos libres de torsión que envía a cada grupo a su cociente por su subgrupo de torsión, y envía todo homomorfismo al homomorfismo inducido obvio (que se ve fácilmente bien definido ).

Si A es finamente generado y abeliano, puede escribirse como la suma directa de su subgrupo de torsión T y un subgrupo libre de torsión (pero esto no es cierto para todos los grupos abelianos generados infinitamente). En cualquier descomposición de A como una suma directa de un subgrupo de torsión S y un subgrupo sin torsión, Sdebe ser igual a T (pero el subgrupo sin torsión no está determinado de forma única). Este es un paso clave en la clasificación de los grupos abelianos generados de manera definitiva .

p- subgrupos de torsión de potencia [ editar ]

Para cualquier grupo abeliano. $${\ displaystyle (A, +) \;}y cualquier número primo p el conjunto A _Tp de los elementos de A que tienen ordenar una potencia de p es un subgrupo llamado el p -de potencia de torsión subgrupo o, de manera más flexible, la p subgrupo -torsion :

$${\ displaystyle A_ {T_ {p}} = \ {a \ in A \; | \; \ existe n \ in \ mathbb {N} \ ;, p ^ {n} a = 0 \}. \;}

El subgrupo de torsión A _T es isomorfo a la suma directa de sus subgrupos de torsión de potencia p sobre todos los números primos p :

$${\ displaystyle A_ {T} \ cong \ bigoplus _ {p \ in P} A_ {T_ {p}}. \;}

Cuando A es un grupo abeliano finito, A _Tp coincide con el único Sylow p-subgrupo de A .

Cada subgrupo de torsión de potencia P de A es un subgrupo totalmente característico . Más fuertemente, cualquier homomorfismo entre grupos abelianos envía cada p -power subgrupo de torsión en el correspondiente p -de potencia de torsión subgrupo.

Para cada número primo p , esto proporciona un funtor de la categoría de grupos abelianos a la categoría de p -power grupos de torsión que envía cada grupo a su p -de potencia de torsión de subgrupos, y restringe cada homomorfismo a las p subgrupos -torsion. El producto sobre el conjunto de todos los números primos de la restricción de estos funtores a la categoría de grupos de torsión, es un functor fiel de la categoría de grupos de torsión al producto sobre todos los números primos de las categorías de grupos de p -orsión. En un sentido, esto significa que el estudio de p grupos -torsion aisladamente nos dice todo acerca de los grupos de torsión en general.

Ejemplos y otros resultados [ editar ]

El subgrupo de 4 torsiones del grupo cociente de los números complejos que se suman mediante una celosía.

• El subconjunto de torsión de un grupo no abeliano no es, en general, un subgrupo. Por ejemplo, en el grupo diédrico infinito , que tiene presentación :

⟨ X , y | x ² = y ² = 1⟩

el elemento xy es un producto de dos elementos de torsión, pero tiene un orden infinito.

• Los elementos de torsión en un grupo nilpotente forman un subgrupo normal. ^[2]
• Cada grupo abeliano finito es un grupo de torsión. Sin embargo, no todos los grupos de torsión son finitos: considere la suma directa de un número contable de copias del grupo cíclico C ₂ ; Este es un grupo de torsión ya que cada elemento tiene orden 2. Tampoco es necesario que no sea un límite superior en las órdenes de elementos de un grupo de torsión si no está finitamente generado , como el ejemplo de la grupo de factor Q / Z espectáculos.
• Cada grupo abeliano libre es libre de torsión, pero lo contrario no es cierto, como se muestra por el grupo aditivo del número racional Q .
• Incluso si A no se genera de forma finita, el tamaño de su parte libre de torsión se determina de manera única, como se explica con más detalle en el artículo sobre el rango de un grupo abeliano .
• Un grupo abeliano A es libre de torsión si y sólo si es plana como Z - módulo , lo que significa que cada vez que C es un subgrupo de algún grupo abeliano B , entonces el mapa natural desde el producto tensorial C ⊗ A a B ⊗ A es inyectivo .
• Tensar un grupo abeliano A con Q (o cualquier grupo divisible ) mata la torsión. Es decir, si T es un grupo de torsión entonces T ⊗ Q = 0. Para un grupo abeliano general A con torsión subgrupo T uno tiene A ⊗ Q ≅ A / T ⊗ Q .
• Tomar el subgrupo de torsión convierte a los grupos abelianos de torsión en una subcategoría coreflectiva de grupos abelianos, mientras que tomar el cociente por el subgrupo de torsión convierte a los grupos abelianos libres de torsión en una subcategoría reflexiva .

 grupo abeliano libre o un módulo Z libre es un grupo abeliano con una base . Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación de suma asociativa , conmutativa e invertible. Una base es un subconjunto tal que cada elemento del grupo se puede encontrar sumando o restando elementos básicos, y tal que la expresión de cada elemento como una combinación lineal de elementos básicos sea única. Por ejemplo, los enteros.bajo adición forman un grupo abeliano libre con base {1}. La suma de números enteros es conmutativa, asociativa y tiene sustracción como su operación inversa, cada número entero es la suma o diferencia de un número de copias del número 1, y cada número entero tiene una representación única como un múltiplo entero del número 1.

Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales . Tienen aplicaciones en topología algebraica , donde se usan para definir grupos de cadenas , y en geometría algebraica, donde se usan para definir divisores . Las redes enteras también forman ejemplos de grupos abelianos libres, y la teoría de redes estudia los subgrupos abelianos libres de espacios vectoriales reales.

Los elementos de un grupo abeliano libre con base B se pueden describir de varias maneras equivalentes. Estos incluyen sumas formales sobre B , expresiones de la forma$${\ displaystyle \ sum a_ {i} b_ {i}}donde cada coeficiente a _i es un número entero distinto de cero, cada factor b _i es un elemento de base distinto, y la suma tiene muchos términos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden considerarse multisets firmados que contienen finamente muchos elementos de B , con la multiplicidad de un elemento en el multiset igual a su coeficiente en la suma formal. Otra forma de representar un elemento de un grupo abeliano libre es como una función de B a los enteros con un número finito de valores distintos de cero; Para esta representación funcional, la operación de grupo es la suma puntual de las funciones.

Cada conjunto B tiene un grupo abeliano libre con B como base. Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos . En lugar de construirlo mediante la descripción de sus elementos individuales, un grupo libre con base B se puede construir como una suma directa de copias del grupo aditivo de los números enteros, con una copia por cada miembro de B . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base B se puede describir mediante una presentación con los elementos de B como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus relatores. El rangode un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo da el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es, en sí mismo, abeliano libre; este hecho permite que un grupo abeliano general se entienda como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un cokernel de un homomorfismo inyectivo entre grupos abelianos libres.

Ejemplos y construcciones [ editar ]

Números enteros y celosías [ editar ]

Una celosía en el plano euclidiano . Añadir dos puntos de celosía azules produce otro punto de celosía; El grupo formado por esta operación de adición es un grupo abeliano libre.

Los enteros , bajo la operación de suma, forman un grupo abeliano libre con la base {1}. Cada entero n es una combinación lineal de elementos básicos con coeficientes enteros: a saber, n  =  n  × 1, con el coeficiente  n .

La red de enteros bidimensional , que consta de los puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteras , forma un grupo abeliano libre bajo la adición de vectores con la base {(0,1), (1,0)}. ^[1] Permitiendo que estos vectores de base se denoten$${\ displaystyle \ e_ {1} = (1,0)} y $${\ displaystyle \ e_ {2} = (0,1)}, el elemento (4,3) puede ser escrito

$${\ displaystyle \ (4,3) = 4e_ {1} + 3e_ {2}} donde se define 'multiplicación' para que $${\ displaystyle \ 4e_ {1}: = e_ {1} + e_ {1} + e_ {1} + e_ {1}.}

En esta base, no hay otra forma de escribir (4,3). Sin embargo, con una base diferente como {(1,0), (1,1)}, donde$${\ displaystyle \ f_ {1} = (1,0)} y $${\ displaystyle \ f_ {2} = (1,1)}, se puede escribir como

$${\ displaystyle \ (4,3) = f_ {1} + 3f_ {2}.}

Más generalmente, cada retícula forma un grupo abeliano libre finamente generado . ^[2] La red de enteros en dimensión d tiene una base natural que consiste en los vectores de unidad de enteros positivos , pero también tiene muchas otras bases: si M es una matriz de enteros d  ×  d con un determinante de ± 1, entonces las filas de la forma M una base y, a la inversa, cada base de la red de enteros tiene esta forma. ^[3] Para más información sobre el caso bidimensional, consulte el par fundamental de períodos .

Sumas directas, productos directos y grupo trivial [ editar ]

El producto directo de dos grupos abelianos libres es, en sí mismo, abeliano libre, con base en la unión desunidade las bases de los dos grupos. ^[4] Más generalmente, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre. El d -dimensional celosía número entero, por ejemplo, es isomorfo al producto directo de d copias del grupo de enteros Z .

El grupo trivial {0} también se considera abeliano libre, con base en el conjunto vacío . ^[5] Se puede interpretar como un producto directo de cero copias de  Z .

Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo (la familia de tuplas de elementos de cada grupo, con adición puntual) no es necesariamente abeliano libre. ^[4] Por ejemplo, el grupo Baer – Specker. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}, Un grupo incontable formado como producto directo de numerable muchas copias de$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}, fue mostrado en 1937 por Reinhold Baer para no ser abeliano libre; ^[6] Ernst Specker demostró en 1950 que cada subgrupo contable de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}es libre abeliano. ^[7] La suma directa de muchos grupos finitos es la misma que el producto directo, pero difiere del producto directo en un número infinito de sumandos; sus elementos consisten en tuplas de elementos de cada grupo con todos, pero finamente, muchos de ellos iguales al elemento de identidad. Como en el caso de un número finito de sumandos, la suma directa de infinitos grupos abelianos libres sigue siendo abeliano libre, con una base formada por (las imágenes de) una unión desunida de las bases de los sumandos. ^[4]

El producto tensorial de dos grupos abelianos libres es siempre abeliano libre, con una base que es el producto cartesiano de las bases para los dos grupos en el producto. ^[8]

Cada grupo abeliano libre puede ser descrito como una suma directa de copias de $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}, con una copia para cada miembro de su base. ^[9] [10] Esta construcción permite que cualquier conjunto B se convierta en la base de un grupo abeliano libre. ^[11]

Funciones enteras y sumas formales [ editar ]

Dado un conjunto B , se puede definir un grupo$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}cuyos elementos son funciones de B a los enteros, donde el paréntesis en el superíndice indica que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si f ( x ) y g ( x ) son dos de estas funciones, entonces f  +  g es la función cuyos valores son sumas de los valores en f y g : es decir, ( f  +  g ) ( x ) =  f ( x ) +  g ( x ). Esta operación de adición puntual da$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}La estructura de un grupo abeliano. ^[12]

Cada elemento x del conjunto dado B corresponde a un miembro de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}, la función e _x para la cual e _x ( x ) = 1 y para la cual e _x ( y ) = 0 para todos y  ≠  x . Cada función f en$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}} es únicamente una combinación lineal de un número finito de elementos básicos:

$${\ displaystyle f = \ sum _ {\ {x \ mid f (x) \ neq 0 \}} f (x) e_ {x}}

Así, estos elementos e _x forman una base para$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}y $${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}Es un grupo abeliano libre. De esta manera, cada conjunto B puede convertirse en la base de un grupo abeliano libre. ^[12]

El grupo abeliano libre con base B es único hasta el isomorfismo, y sus elementos se conoce como sumas formales de elementos de  B . También pueden ser interpretados como los firmados conjuntos múltiples de un número finito de elementos de B . Por ejemplo, en la topología algebraica , las cadenas son sumas formales de simplicidades , y el grupo de cadenas es el grupo abeliano libre cuyos elementos son cadenas. ^[13] En geometría algebraica , los divisores de una superficie de Riemann (una descripción combinatoria de los ceros y polos de las funciones meromorfas).) forman un grupo abeliano libre incontable, que consiste en las sumas formales de puntos de la superficie. ^[14]

Presentación [ editar ]

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (todos los elementos del grupo son productos de muchos generadores), junto con los "relatores", productos de los generadores que dan el elemento de identidad. El grupo abeliano libre con base B tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de B , y los relatores son los conmutadores de pares de elementos de B . Aquí, el conmutador de dos elementos x y y es el producto x ⁻¹ y ⁻¹ xy ; establecer este producto en la identidad hace que xy sea igual a yx , de modo que xy y conmutar. Más generalmente, si todos los pares de generadores conmutan, entonces todos los pares de productos de generadores también conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para garantizar que sea abeliano. ^[15]

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación también es finita. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre (a continuación ) se puede usar para mostrar que cada grupo abeliano finamente generado se presenta de manera definitiva. Porque, si G está finitamente generado por un conjunto B , se trata de un cociente del grupo abeliano libre sobre B por un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los Relatores de la presentación de G . Pero puesto que este subgrupo es en sí mismo abeliano libre, también es finitamente generado, y su base (junto con los conmutadores más de B ) forma un conjunto finito de relatores para una presentación de G . ^[dieciséis]

Terminología [ editar ]

Cada grupo abeliano puede considerarse como un módulo sobre los enteros considerando la multiplicación escalar de un miembro del grupo por un entero definido de la siguiente manera: ^[17]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 \, x & = 0 \\ 1 \, x & = x \\ n \, x & = x + (n-1) \, x \ qquad {\ text {if}} \ quad n> 1 \\ n \, x & = - ((- n) \, x) \ qquad {\ text {if}} \ quad n <0 alineado="" end="" font="">

Un módulo gratuito es un módulo que se puede representar como una suma directa sobre su anillo base, por lo que los grupos abelianos libres y libres$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-módulos son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación anterior) un libre $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-módulo, y cada uno libre. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-Módulo proviene de un grupo abeliano libre de esta manera. ^[18]

A diferencia de los espacios vectoriales , no todos los grupos abelianos tienen una base, de ahí el nombre especial para aquellos que lo tienen. Por ejemplo, cualquier torsión. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-módulo, y por lo tanto cualquier grupo abeliano finito, no es un grupo abeliano libre, porque 0 puede descomponerse de varias maneras en cualquier conjunto de elementos que podrían ser candidatos para una base: $${\ displaystyle 0 = 0 \, b = n \, b}para algún entero positivo n . Por otro lado, muchas propiedades importantes de los grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos libres sobre un dominio ideal principal . ^[19]

Tenga en cuenta que un grupo abeliano libre no es un grupo libre, excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango 0, que da el grupo trivial ) o que tiene solo 1 elemento en la base (rango 1, que da el grupo cíclico infinito ). ^[5] [20] Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en grupos libres ab debe ser diferente de ba si a y b son elementos diferentes de la base, mientras que en grupos abelianos libres deben ser idénticos. Los grupos libres son los objetos libres en la categoría de grupos., es decir, los grupos "más generales" o "menos restringidos" con un número dado de generadores, mientras que los grupos abelianos libres son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos . ^[21] En la categoría general de grupos, es una restricción agregada para exigir que ab = ba , mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos.

Propiedades [ editar ]

Propiedad universal [ editar ]

Un grupo abeliano libre. $${\ displaystyle F} con base $${\ displaystyle B}Tiene la siguiente propiedad universal : para cada función.$${\ displaystyle f} desde $${\ displaystyle B} a un grupo abeliano $${\ displaystyle A}, existe un grupo único de homomorfismo de$${\ displaystyle F} a $${\ displaystyle A} que se extiende $${\ displaystyle f}. ^[5] Por una propiedad general de propiedades universales, esto demuestra que "el" grupo abeliano de base$${\ displaystyle B}Es único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal se puede usar como una definición del grupo abeliano libre de base$${\ displaystyle B}. La singularidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las demás definiciones son equivalentes. ^[11]

Rango [ editar ]

Cada dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma un invariante del grupo conocido como su rango. ^[22] [23] En particular, un grupo abeliano libre se genera de manera finita si y solo si su rango es un número finito n , en cuyo caso el grupo es isomorfo para$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}.

Esta noción de rango se puede generalizar, desde grupos abelianos libres a grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano G se define como el rango de un subgrupo abeliano libre Fde G para el cual el grupo cociente G / F es un grupo de torsión . De manera equivalente, es la cardinalidad de un subconjunto máximo de G lo que genera un subgrupo libre. De nuevo, este es un grupo invariante; no depende de la elección del subgrupo. ^[24]

Subgrupos [ editar ]

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind ^[25] fue un precursor del análogo teorema de Nielsen-Schreier de que cada subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que cada subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La prueba necesita el axioma de elección . ^[26] Una prueba que usa el lema de Zorn (uno de los muchos supuestos equivalentes al axioma de elección) se puede encontrar en el Álgebra de Serge Lang . ^[27] Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky han afirmado que el uso del principio de buen ordenamiento en lugar del lema de Zorn conduce a una prueba más intuitiva. ^[10]

En el caso de grupos abelianos libres generados de manera definitiva, la prueba es más fácil, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si$${\ displaystyle G} es un subgrupo de un grupo abeliano libre finamente generado $${\ displaystyle F}, entonces $${\ displaystyle G} Es gratis y existe una base. $${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})} de $${\ displaystyle F} y enteros positivos $${\ displaystyle d_ {1} | d_ {2} | \ ldots | d_ {k}} (es decir, cada uno divide al siguiente) de tal manera que $${\ displaystyle (d_ {1} e_ {1}, \ ldots, d_ {k} e_ {k})} es una base de $${\ displaystyle G.}Por otra parte, la secuencia. $${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {k}} depende solo de $${\ displaystyle F} y $${\ displaystyle G} y no sobre la base particular $${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}Eso resuelve el problema. ^[28] Cualquier algoritmo que calcule la forma normal de Smith de una matriz de enteros proporciona una prueba constructiva de la existencia del teorema . ^{[29] La} singularidad se deriva del hecho de que, para cualquier$${\ displaystyle r \ leq k}, el mayor divisor común de los menores de rango.$${\ displaystyle r} de la matriz no se cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto $${\ displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {r}}Al final del cómputo. ^[30]

Como cada grupo abeliano finamente generado es el cociente de un grupo abeliano libre finamente generado por un submódulo, el teorema fundamental de los grupos abelianos finamente generados es un corolario del resultado anterior.

Torsión y divisibilidad [ editar ]

Todos los grupos abelianos libres están libres de torsión , lo que significa que no hay ningún elemento de grupo (no identidad)$${\ displaystyle x} y entero distinto de cero $${\ displaystyle n} tal que $${\ displaystyle nx = 0}. Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finamente son abelianos libres. ^[5] [31] Lo mismo se aplica a la planitud , ya que un grupo abeliano no tiene torsión si y solo si es plano.

El grupo aditivo de los números racionales. $${\ displaystyle \ mathbb {Q}}proporciona un ejemplo de un grupo abeliano que no es libre de torsión (pero no se genera de manera definitiva) que no es abeliano libre. ^[32] Una razón por la que$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}no es libre abeliano es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Q}} y cada entero distinto de cero $${\ displaystyle n}, es posible expresar $${\ displaystyle x} como un escalar múltiple $${\ displaystyle ny} de otro elemento $${\ displaystyle y = x / n}. En contraste, los grupos abelianos libres que no son cero nunca son divisibles, ya que es imposible que cualquiera de sus elementos de base sean múltiplos enteros no triviales de otros elementos. ^[33]

Relación con otros grupos abelianos [ editar ]

Dado un grupo abeliano arbitrario $${\ displaystyle A}, siempre existe un grupo abeliano libre. $${\ displaystyle F}y una sobreyectiva grupo homomorfismo de$${\ displaystyle F} a $${\ displaystyle A}. Una forma de construir una proyección en un grupo dado$${\ displaystyle A} es dejar $${\ displaystyle F = \ mathbb {Z} ^ {(A)}} ser el grupo abeliano libre sobre $${\ displaystyle A}, representado como sumas formales. Entonces se puede definir una proyección mediante la asignación de sumas formales en$${\ displaystyle F} a las sumas correspondientes de miembros de $${\ displaystyle A}. Es decir, los mapas de proyección.

$${\ displaystyle \ sum _ {\ {x \ mid a_ {x} \ neq 0 \}} a_ {x} e_ {x} \ mapsto \ sum _ {\ {x \ mid a_ {x} \ neq 0 \} } a_ {x} x,}

dónde $${\ displaystyle a_ {x}} es el coeficiente entero del elemento base $${\ displaystyle e_ {x}} en una suma formal dada, la primera suma esta en $${\ displaystyle F}, y la segunda suma esta en $${\ displaystyle A}. ^[23] [34] Esta saliente es el único homomorfismo de grupo que extiende la función$${\ displaystyle e_ {x} \ mapsto x}, y así su construcción puede verse como una instancia de la propiedad universal.

Cuando $${\ displaystyle F} y $${\ displaystyle A}son como los anteriores, el kernel $${\ displaystyle G} de la proyección de $${\ displaystyle F} a $${\ displaystyle A} También es gratis abelian, ya que es un subgrupo de $${\ displaystyle F}(El subgrupo de elementos mapeados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 0 \ to G \ to F \ to A \ to 0}

en el cual $${\ displaystyle F} y $${\ displaystyle G} son abelianos libres y $${\ displaystyle A}Es isomorfo al grupo factorial. $${\ displaystyle F / G}. Esta es una resolución libre de$${\ displaystyle A}. ^[35] Además, asumiendo el axioma de elección , ^[36] los grupos abelianos libres son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos . ^[37]

Aplicaciones [ editar ]

Algebraica topología [ editar ]

Artículo principal: Cadena (topología algebraica)

En la topología algebraica , una suma formal de$${\ displaystyle k}dimensionales simplices se llama$${\ displaystyle k}-cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de $${\ displaystyle k}-simplices como base se llama un grupo de cadena. Las simplicidades generalmente se toman de algún espacio topológico, por ejemplo, como el conjunto de$${\ displaystyle k}-simplices en un complejo simplicial , o el conjunto de singular $${\ displaystyle k}- Sencillos en un colector . Alguna$${\ displaystyle k}simplex tridimensional tiene un límite que se puede representar como una suma formal de $${\ displaystyle (k-1)}Las simplicidades tridimensionales y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permiten que este operador de límites se extienda a un grupo de homomorfismos desde$${\ displaystyle k}-cadenas a $${\ displaystyle (k-1)}-cadenas El sistema de grupos de cadenas unidos por operadores de límites de esta manera forma un complejo de cadenas , y el estudio de los complejos de cadenas constituye la base de la teoría de la homología . ^[38]

La geometría algebraica y análisis complejo [ editar ]

Artículo principal: Divisor (geometría algebraica)

La funcion racional $${\ displaystyle z ^ {4} / (z ^ {4} -1)} tiene un cero de orden cuatro en 0 (el punto negro en el centro de la gráfica) y polos simples en los cuatro números complejos $${\ displaystyle \ pm 1} y $${\ displaystyle \ pm i}(Los puntos blancos en los extremos de los cuatro pétalos). Puede ser representado (hasta un escalar ) por el divisor$${\ displaystyle 4e_ {0} -e_ {1} -e _ {- 1} -e_ {i} -e _ {- i}} dónde $${\ displaystyle e_ {z}} es el elemento base para un número complejo $${\ displaystyle z} en un grupo abeliano libre sobre los números complejos.

Cada función racional sobre los números complejos puede asociarse con un conjunto múltiple de números complejos firmados$${\ displaystyle c_ {i}}, los ceros y polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad$${\ displaystyle m_ {i}}de un punto en este conjunto múltiple es su orden como un cero de la función, o la negación de su orden como un polo. Luego, la función en sí puede recuperarse de estos datos, hasta un factor escalar , como

$${\ displaystyle f (q) = \ prod (q-c_ {i}) ^ {m_ {i}}.}

Si estos conjuntos múltiples se interpretan como miembros de un grupo abeliano libre sobre los números complejos, entonces el producto o cociente de dos funciones racionales corresponde a la suma o diferencia de dos miembros del grupo. Por lo tanto, el grupo multiplicativo de funciones racionales puede ser factorizado en el grupo multiplicativo de números complejos (los factores escalares asociados para cada función) y el grupo abeliano libre sobre los números complejos. Las funciones racionales que tienen un valor límite distinto de cero en el infinito (las funciones meromórficas en la esfera de Riemann ) forman un subgrupo de este grupo en el que la suma de las multiplicidades es cero. ^[39]

Esta construcción ha sido generalizada, en geometría algebraica , a la noción de un divisor . Existen diferentes definiciones de los divisores, pero en general forman una abstracción de una subvariedad de una variedad algebraica de codimensionamiento uno , el conjunto de puntos de solución de un sistema de ecuaciones polinomiales. En el caso donde el sistema de ecuaciones tiene un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann).), una subvariedad tiene una dimensión de código cuando consta de puntos aislados, y en este caso, un divisor es nuevamente un conjunto de puntos de la variedad con signo. Las funciones meromorfas en una superficie compacta de Riemann tienen finamente muchos ceros y polos, y sus divisores pueden representarse nuevamente como elementos de un grupo abeliano libre, con multiplicación o división de funciones correspondientes a la suma o resta de elementos grupales. Sin embargo, en este caso, existen restricciones adicionales en el divisor, además de tener una suma cero de multiplicidades.