MECÁNICA CLÁSICA

El espacio y el tiempo absolutos es un concepto en física y filosofía sobre las propiedades del universo. En física, el espacio y el tiempo absolutos pueden ser un marco preferido .

Antes de Newton [ editar ]

Una versión del concepto de espacio absoluto (en el sentido de un marco preferido ^{[ aclaración necesaria ]} ) puede verse en la física aristotélica . ^[1] Robert S. Westman escribe que se puede observar una "bocanada" de espacio absoluto en la obra clásica de Copernicus De revolutionibus orbium coelestium , donde Copernicus usa el concepto de una esfera inmóvil de estrellas. ^{[2] [ aclaración necesaria ]}

Newton [ editar ]

Originalmente introducido por Sir Isaac Newton en Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , los conceptos de tiempo y espacio absolutos proporcionaron una base teórica que facilitó la mecánica newtoniana . ^[3] Según Newton, el tiempo y el espacio absolutos, respectivamente, son aspectos independientes de la realidad objetiva: ^[4]

El tiempo absoluto, verdadero y matemático, de sí mismo, y de su propia naturaleza fluye equitativamente sin importar nada externo, y con otro nombre se llama duración: tiempo relativo, aparente y común, es una medida sensible y externa (ya sea precisa o no) de la duración por medio del movimiento, que se usa comúnmente en lugar del tiempo verdadero ...

Según Newton, el tiempo absoluto existe independientemente de cualquier perceptor y progresa a un ritmo constante en todo el universo. A diferencia del tiempo relativo, Newton creía que el tiempo absoluto era imperceptible y solo podía entenderse matemáticamente. Según Newton, los humanos solo son capaces de percibir el tiempo relativo, que es una medida de los objetos perceptibles en movimiento (como la Luna o el Sol). De estos movimientos, inferimos el paso del tiempo.

El espacio absoluto, en su propia naturaleza, sin tener en cuenta nada externo, permanece siempre similar e inamovible. El espacio relativo es una dimensión o medida móvil de los espacios absolutos; lo que nuestros sentidos determinan por su posición respecto de los cuerpos: y que se toma vulgarmente por un espacio inamovible ... El movimiento absoluto es la traducción de un cuerpo de un lugar absoluto a otro: y el movimiento relativo, la traducción de un lugar relativo a otro. .

-  Isaac Newton

Estas nociones implican que el espacio y el tiempo absolutos no dependen de los eventos físicos, sino que son un escenario o escenario en el que ocurren los fenómenos físicos. Por lo tanto, cada objeto tiene un estado de movimiento absoluto en relación con el espacio absoluto, de modo que un objeto debe estar en un estado de reposo absoluto o moverse a una velocidad absoluta . ^[5] Para apoyar sus puntos de vista, Newton proporcionó algunos ejemplos empíricos: según Newton, se puede inferir que una esfera giratoria solitaria gira alrededor de su eje en relación con el espacio absoluto observando el abultamiento de su ecuador, y un par de esferas solitarias atadas por se puede inferir que una cuerda está en rotación absoluta alrededor de su centro de gravedad ( baricentro)) Observando la tensión en la cuerda.

El tiempo y el espacio absolutos continúan usándose en la mecánica clásica , pero las formulaciones modernas de autores como Walter Noll y Clifford Truesdell van más allá del álgebra lineal de módulos elásticos para usar la topología y el análisis funcional para las teorías de campo no lineales . ^[6]

Diferentes vistas [ editar ]

Dos esferas en órbita alrededor de un eje. Las esferas son lo suficientemente distantes como para ignorar sus efectos mutuos, y se mantienen unidas por una cuerda. La cuerda está bajo tensión si los cuerpos giran en relación con el espacio absoluto según Newton , o porque giran en relación con el universo en sí según Mach , o porque giran en relación con las geodésicas locales según la relatividad general .

Históricamente, ha habido opiniones diferentes sobre el concepto de espacio y tiempo absolutos. Gottfried Leibniz opinaba que el espacio no tenía sentido, excepto como la ubicación relativa de los cuerpos, y el tiempo no tenía sentido, excepto como el movimiento relativo de los cuerpos. ^[7]George Berkeley sugirió que, al carecer de un punto de referencia, una esfera en un universo por lo demás vacío no podría concebirse para rotar, y un par de esferas podrían concebirse para rotar entre sí, pero no para girar alrededor de su centro de gravedad, ^[8] un ejemplo más tarde planteado por Albert Einstein en su desarrollo de la relatividad general.

Una forma más reciente de estas objeciones fue hecha por Ernst Mach . El principio de Mach propone que la mecánica tiene que ver completamente con el movimiento relativo de los cuerpos y, en particular, la masa es una expresión de tal movimiento relativo. Entonces, por ejemplo, una sola partícula en un universo sin otros cuerpos tendría una masa cero. Según Mach, los ejemplos de Newton simplemente ilustran la rotación relativa de las esferas y la mayor parte del universo. ^[9]

Cuando, en consecuencia, decimos que un cuerpo conserva sin cambios su dirección y velocidad en el espacio , nuestra afirmación no es más ni menos que una referencia abreviada a todo el universo . 
—Ernst Mach; según lo citado por Ciufolini y Wheeler : gravitación e inercia , p. 387

Estos puntos de vista opuestos al espacio y al tiempo absolutos pueden verse desde una postura moderna como un intento de introducir definiciones operacionales para el espacio y el tiempo, una perspectiva explicitada en la teoría especial de la relatividad.

Incluso dentro del contexto de la mecánica newtoniana, la visión moderna es que el espacio absoluto es innecesario. En cambio, la noción de marco de referencia inercial ha tenido prioridad, es decir, un conjuntopreferido de marcos de referencia que se mueven uniformemente entre sí. Las leyes de la física se transforman de un marco inercial a otro según la relatividad galileana , lo que lleva a las siguientes objeciones al espacio absoluto, tal como lo describe Milutin Blagojević: ^[10]

• La existencia del espacio absoluto contradice la lógica interna de la mecánica clásica, ya que, según el principio de relatividad de Galileo, ninguno de los marcos inerciales puede distinguirse.
• El espacio absoluto no explica las fuerzas inerciales, ya que están relacionadas con la aceleración con respecto a cualquiera de los marcos inerciales.
• El espacio absoluto actúa sobre los objetos físicos al inducir su resistencia a la aceleración, pero no se puede actuar sobre ellos.

El mismo Newton reconoció el papel de los marcos inerciales. ^[11]

Los movimientos de los cuerpos incluidos en un espacio dado son los mismos entre sí, ya sea que el espacio esté en reposo o se mueva uniformemente hacia adelante en una línea recta.

Como cuestión práctica, los marcos inerciales a menudo se toman como marcos que se mueven uniformemente con respecto a las estrellas fijas . ^[12] Ver Marco de referencia inercial para más información sobre esto.

La relatividad especial [ editar ]

Los conceptos de espacio y tiempo estaban separados en la teoría física antes del advenimiento de la teoría de la relatividad especial , que conectaba los dos y mostraba que ambos dependían del movimiento del marco de referencia. En las teorías de Einstein, las ideas de tiempo y espacio absolutos fueron superadas por la noción de espacio-tiempo en la relatividad especial y el espacio-tiempo curvo en la relatividad general .

La simultaneidad absoluta se refiere a la concurrencia de eventos en el tiempo en diferentes ubicaciones en el espacio de una manera acordada en todos los marcos de referencia. La teoría de la relatividad no tiene un concepto de tiempo absoluto porque existe una relatividad de la simultaneidad . Un evento que es simultáneo con otro evento en un marco de referencia puede estar en el pasado o futuro de ese evento en un marco de referencia diferente, ^[7] : 59 que niega la simultaneidad absoluta.

Einstein [ editar ]

Artículo principal: Las opiniones de Einstein sobre el éter.

Citado a continuación en sus artículos posteriores, Einstein identificó el término éter con "propiedades del espacio", una terminología que no se usa ampliamente. Einstein declaró que en la relatividad general el "éter" ya no es absoluto, ya que la geodésica y, por lo tanto, la estructura del espacio-tiempo depende de la presencia de materia. ^[13]

Negar el éter es, en última instancia, suponer que el espacio vacío no tiene cualidades físicas. Los hechos fundamentales de la mecánica no concuerdan con esta visión. Para el comportamiento mecánico de un sistema corpóreo flotando libremente en el espacio vacío.depende no solo de las posiciones relativas (distancias) y las velocidades relativas, sino también de su estado de rotación, que físicamente puede tomarse como una característica que no pertenece al sistema en sí mismo. Para poder ver la rotación del sistema, al menos formalmente, como algo real, Newton objetiva el espacio. Como él clasifica su espacio absoluto junto con cosas reales, para él la rotación en relación con un espacio absoluto también es algo real. Newton podría no menos bien haber llamado a su espacio absoluto "Éter"; lo esencial es simplemente que, además de los objetos observables, otra cosa, que no es perceptible, debe considerarse real, para permitir que la aceleración o rotación se considere algo real.

-  Albert Einstein, Éter y la teoría de la relatividad (1920) ^[14]

Como ya no era posible hablar, en ningún sentido absoluto, de estados simultáneos en diferentes ubicaciones en el éter, el éter se convirtió, por así decirlo, en cuatro dimensiones, ya que no había una forma objetiva de ordenar sus estados solo por el tiempo. También según la relatividad especial, el éter era absoluto, ya que se pensaba que su influencia en la inercia y la propagación de la luz eran independientes de la influencia física ... La teoría de la relatividad resolvió este problema estableciendo el comportamiento de lo eléctricamente neutral. masa puntual según la ley de la línea geodésica, según la cual los efectos inerciales y gravitacionales ya no se consideran separados. Al hacerlo, adjuntó características al éter que varían de un punto a otro, determinando la métrica y el comportamiento dinámico de los puntos materiales, y determinó, a su vez, por factores físicos, a saber, la distribución de masa / energía. Por lo tanto, el éter de la relatividad general difiere de los de la mecánica clásica y de la relatividad especial en que no es "absoluto" sino que está determinado, en sus características localmente variables, por la materia medible.

-  Albert Einstein, Über den Äther (1924) ^[15]

La relatividad general [ editar ]

La relatividad especial elimina el tiempo absoluto (aunque Gödel y otros sospechan que el tiempo absoluto puede ser válido para algunas formas de relatividad general) ^[16] y la relatividad general reduce aún más el alcance físico del espacio y el tiempo absolutos a través del concepto de geodésicos . ^{[7] : 207–223} Parece que hay espacio absoluto en relación con las estrellas distantes porque las geodésicas locales eventualmente canalizan la información de estas estrellas, pero no es necesario invocar el espacio absoluto con respecto a la física de ningún sistema, ya que las geodésicas locales Son suficientes para describir su espacio-tiempo. 

la mecánica clásica , las coordenadas de ángulo de acción son un conjunto de coordenadas canónicasútiles para resolver muchos sistemas integrables . El método de los ángulos de acción es útil para obtener las frecuencias de movimiento oscilatorio o rotatorio sin resolver las ecuaciones de movimiento . Las coordenadas del ángulo de acción se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables. (Por lo tanto, el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, es decir, la energía se conserva). Las variables de ángulo de acción definen un toro invariante, así llamado porque mantener la constante de acción define la superficie de un toro , mientras que las variables de ángulo parametrizan las coordenadas en el toro.

Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld , utilizadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del advenimiento de la mecánica de ondas , establecen que la acción debe ser un múltiplo integral de la constantede Planck ; de manera similar, la percepción de Einstein sobre la cuantificación de EBK y la dificultad de cuantificar sistemas no integrables se expresaron en términos de los toros invariantes de las coordenadas del ángulo de acción.

Las coordenadas del ángulo de acción también son útiles en la teoría de la perturbación de la mecánica hamiltoniana , especialmente en la determinación de invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para las perturbaciones no lineales de los sistemas dinámicos con un pequeño número de grados de libertad, es el teorema de KAM , que establece que los toros invariantes son estables en pequeñas perturbaciones.

El uso de variables de ángulo de acción fue fundamental para la solución de la celosía de Toda y para la definición de pares laxos , o más generalmente, la idea de la evolución isospectral de un sistema.

Derivación [ editar ]

Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton $${\ displaystyle W (\ mathbf {q})}( No es la función principal de Hamilton$${\ displaystyle S}). Dado que el Hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo Hamiltoniano$${\ displaystyle K (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})} es simplemente el viejo hamiltoniano $${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como$${\ displaystyle \ mathbf {w}}(Los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados.$${\ displaystyle \ mathbf {J}}. No necesitaremos resolver aquí para la función generadora.$${\ displaystyle W}sí mismo; en su lugar, lo utilizaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas .

En lugar de definir los ángulos de acción. $${\ displaystyle \ mathbf {w}}Directamente, en lugar de eso, definimos sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original.

$${\ displaystyle J_ {k} \ equiv \ oint p_ {k} \, dq_ {k}}

donde la ruta de integración está implícitamente dada por la función de energía constante $${\ displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}. Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados$${\ displaystyle J_ {k}} son constantes de la moción, lo que implica que el Hamiltoniano transformado $${\ displaystyle K}No depende de las coordenadas generalizadasconjugadas. $${\ displaystyle w_ {k}}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} J_ {k} = 0 = {\ frac {\ parcial K} {\ parcial w_ {k}}}}

donde el $${\ displaystyle w_ {k}}vienen dados por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2

$${\ displaystyle w_ {k} \ equiv {\ frac {\ partial W} {\ partial J_ {k}}}}

De ahí, el nuevo hamiltoniano. $${\ displaystyle K = K (\ mathbf {J})} Depende solo de los nuevos momentos generalizados. $${\ displaystyle \ mathbf {J}}.

La dinámica de los ángulos de acción está dada por las ecuaciones de Hamilton.

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} w_ {k} = {\ frac {\ parcial K} {\ parcial J_ {k}}} \ equiv \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) }

El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todas las $${\ displaystyle J}son). Por lo tanto, la solución está dada por

$${\ displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

dónde $${\ displaystyle \ beta _ {k}}Es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período$${\ displaystyle T}, el ángulo de acción correspondiente $${\ displaystyle w_ {k}} cambios por $${\ displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}.

Estas $${\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J})}son las frecuencias de oscilación / rotación para las coordenadas generalizadas originales $${\ displaystyle q_ {k}}. Para mostrar esto, integramos el cambio neto en el ángulo de acción.$${\ displaystyle w_ {k}}sobre exactamente una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas $${\ displaystyle q_ {k}}

$${\ displaystyle \ Delta w_ {k} \ equiv \ oint {\ frac {\ partial w_ {k}} {\ partial q_ {k}}} \, dq_ {k} = \ oint {\ frac {\ partial ^ { 2} W} {\ parcial J_ {k} \, \ parcial q_ {k}}} \, dq_ {k} = {\ frac {d} {dJ_ {k}}} \ oint {\ frac {\ parcial W } {\ parcial q_ {k}}} \, dq_ {k} = {\ frac {d} {dJ_ {k}}} \ oint p_ {k} \, dq_ {k} = {\ frac {dJ_ {k }} {dJ_ {k}}} = 1}

Configurando las dos expresiones para $${\ displaystyle \ Delta w_ {k}} Igual, obtenemos la ecuación deseada.

$${\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ frac {1} {T}}}

Los angulos de accion $${\ displaystyle \ mathbf {w}}Son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Así, en el caso general, cada coordenada generalizada original.$${\ displaystyle q_ {k}}Se puede expresar como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción.

$${\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}

dónde $${\ displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}Es el coeficiente de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos prácticos, sin embargo, una coordenada generalizada original$${\ displaystyle q_ {k}}Será expresable como una serie de Fourier en sus propios ángulos de acción.$${\ displaystyle w_ {k}}

$${\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}

Resumen del protocolo básico [ editar ]

El procedimiento general tiene tres pasos:

1. Calcula el nuevo momento generalizado. $${\ displaystyle J_ {k}}
2. Exprese el hamiltoniano original completamente en términos de estas variables.
3. Tomar los derivados del hamiltoniano con respecto a estos momentos para obtener las frecuencias. $${\ displaystyle \ nu _ {k}}

Degeneración [ editar ]

En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir,$${\ displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}para $${\ displaystyle k \ neq l}. En tales casos, el movimiento se denomina degenerado .

El movimiento degenerado indica que hay cantidades conservadas generales adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .

El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable en coordenadas esféricas y parabólicas .