MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

 monoide es una estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y un elemento de identidad .

Los monoides se estudian en la teoría de semigrupos , porque son semigrupos con identidad. Los monoides ocurren en varias ramas de las matemáticas; por ejemplo, se pueden considerar como categorías con un solo objeto . Así, capturan la idea de la composición de la función dentro de un conjunto. De hecho, todas las funciones de un conjunto en sí mismas forman naturalmente un monoide con respecto a la composición de la función. Los monoides también se utilizan comúnmente en informática , tanto en sus aspectos fundamentales como en la programación práctica. El conjunto de cadenas construidas a partir de un conjunto dado de caracteres es un monoide libre . La transición monoide ylos monoides sintácticos se utilizan para describir las máquinas de estados finitos , mientras que los monoides traza y los monoides históricos proporcionan una base para los cálculos de procesos y la computación concurrente . Algunos de los resultados más importantes en el estudio de los monoides son el teorema de Krohn-Rhodes y el problema de la altura de la estrella . La historia de los monoides, así como una discusión de propiedades generales adicionales, se encuentran en el artículo sobre semigrupos .

Definición [ editar ]

Supongamos que S es un conjunto y • es una operación binaria S × S → S , luego S con • es un monoide si satisface los siguientes dos axiomas:

Asociatividad

Para todos un , b y c en S , la ecuación ( una • b ) • c = un • ( b • c ) se mantiene.

Elemento de identidad

Existe un elemento e en S de tal manera que para cada elemento a en S , las ecuaciones e • a = a • e = unaretención.

En otras palabras, un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad . También puede pensarse como un magma con asociatividad e identidad. El elemento de identidad de un monoide es único. ^[1] Por esta razón, la identidad se considera una operación constante , es decir, 0-aria (o nula). El monoide por lo tanto se caracteriza por la especificación del triple ( S , •, e ).

Dependiendo del contexto, el símbolo para la operación binaria se puede omitir, de modo que la operación se denota por yuxtaposición; por ejemplo, los axiomas monoides pueden ser escritos$${\ displaystyle (ab) c = a (bc)} y $${\ displaystyle ea = ae = a}. Esta notación no implica que se multipliquen los números.

Un monoide en el que cada elemento tiene un inverso es un grupo .

Estructuras monoides [ editar ]

Submonoides [ editar ]

A submonoide de un monoide ( M , •) es un subconjunto N de M que está cerrada bajo la operación monoid y contiene el elemento de identidad e de M . ^[2] [3] Simbólicamente, N es un submonoide de M si N ⊆ M , x • y ∈ Nsiempre que x , Y ∈ N , y e ∈ N . nortees por lo tanto un monoide bajo la operación binaria heredado de M .

Generadores [ editar ]

Un subconjunto S de M se dice que es un generador de M si M es el conjunto más pequeño que contiene S que está cerrada bajo la operación monoid, o equivalentemente M es el resultado de aplicar el operador de cierre finitista a S . Si hay un generador de M que tiene cardinalidad finita, entonces se dice que M se genera finitamente . No todos los conjuntos S generarán un monoide, ya que la estructura generada puede carecer de un elemento de identidad.

Monoide conmutativo [ editar ]

Un monoide cuya operación es conmutativa se llama un monoide conmutativo (o, menos comúnmente, un monoide abeliano ). Los monoides conmutativos a menudo se escriben de forma aditiva. Cualquier monoide conmutativo está dotado de su preordenación algebraica ≤, definida por x ≤ y si existe z tal que x + z = y . ^[4] Una unidad de orden de un monoide conmutativo M es un elemento u de M tal que para cualquier elemento x de M, existe un entero positivo n tal que x ≤ nu . Esto se utiliza a menudo en caso de que M es el cono positivo de un parcialmente ordenado grupo abeliano G , en cuyo caso se dice que u es una orden-unidad de G .

Monoide parcialmente conmutativo [ editar ]

Un monoide para el cual la operación es conmutativa para algunos, pero no todos los elementos es un monoide traza ; Los monoides traza ocurren comúnmente en la teoría de cómputo concurrente .

Ejemplos [ editar ]

• De los 16 posibles operadores booleanos binarios , cada uno de los cuatro que tiene una identidad de dos lados también es conmutativo y asociativo y, por lo tanto, hace que el conjunto {Falso, Verdadero] sea un monoide conmutativo. Bajo las definiciones estándar, AND y XNOR tienen la identidad True, mientras que XOR y OR tienen la identidad False. Los monoides de AND y OR también son idempotentes, mientras que los de XOR y XNOR no lo son.
• Los números naturales , N , forman un monoide conmutativo bajo adición (elemento de identidad cero ), o multiplicación (elemento de identidad uno ). Un submonoide de N bajo adición se llama un monoide numérico.
• Los enteros positivos , N ∖ {0} , forman un monoide conmutativo bajo multiplicación (elemento de identidad uno).
• Dado un conjunto A, todos los subconjuntos de A forman un monoide conmutativo en una operación de intersección (el elemento de identidad es A en sí mismo).
• Dado un conjunto A, todos los subconjuntos de A forman un monoide conmutativo bajo operación de unión (el elemento de identidad es el conjunto vacío).
• Generalizando el ejemplo anterior, cada semilattice delimitado es un monoide conmutativo idempotente .
  • En particular, cualquier acotada celosía puede estar dotado de un tanto se reúnen - y unirse a - estructura de monoide. Los elementos de identidad son la parte superior y la parte inferior de la celosía, respectivamente. Al ser celosías, las álgebras de Heyting y las álgebras booleanas están dotadas de estas estructuras monoideas.
• Cada conjunto de singleton { x } cerrado bajo una operación binaria • forma el monoide trivial (un elemento), que también es el grupo trivial .
• Cada grupo es un monoide y cada grupo abeliano es un monoide conmutativo.
• Cualquier semigrupo S puede ser convertido en un monoide simplemente un elemento contiguo correo no en S y definir e • s = s = s • e para todos es ∈ S . Esta conversión de cualquier semigrupo al monoide se realiza mediante el functor libre entre la categoría de semigrupos y la categoría de monoides . ^[5]
  • Por lo tanto, un monoid idempotente (a veces conocido como encontrar-primero ) puede estar formada por un elemento contiguo de identidad e a la izquierda semigrupo cero sobre un conjunto S . El monoide opuesto (a veces llamado hallazgo en último lugar ) se forma a partir del derecho semigrupo cero sobre S.
    • Adjuntar una identidad e al semigrupo cero izquierdo con dos elementos { lt ; gt }. Entonces el monoide idempotente resultante { lt ; e ; gt } modela el orden lexicográfico de una secuencia dados los órdenes de sus elementos, donde e representa la igualdad.
• Los elementos de cualquier anillo unital , con adición o multiplicación según la operación.
  • Los números enteros , números racionales , números reales o números complejos , con adición o la multiplicación como operación. ^[6]
  • El conjunto de todas las matrices n por n sobre un anillo dado, con la suma de la matriz o la multiplicación de la matriz como la operación.
• El conjunto de todas las cadenas finitas sobre un alfabeto fijo Σ forma un monoide con concatenación de cadenas como la operación. La cadena vacía sirve como elemento de identidad. Este monoide se denota como Σ ^∗ y se llama monoide libre sobre Σ.
• Dado cualquier monoide M , el opuesto monoid M ^op tiene el mismo conjunto de portador y elemento de identidad que M , y su operación está definida por x • ^op y = y • x . Cualquier monoide conmutativo es el monoide opuesto a sí mismo.
• Dados dos conjuntos M y N dotados de estructura monoide (o, en general, cualquier número finito de monoides, M ₁ , ..., M _k ), su producto cartesiano M × N también es un monoide (respectivamente, M ₁ ×. .. × M _k ). La operación asociativa y el elemento de identidad se definen por pares. ^[7]
• Fijar un monoide M . El conjunto de todas las funciones de un conjunto dado a M también es un monoide. El elemento de identidad es una función constante que mapea cualquier valor a la identidad de M ; La operación asociativa se define de manera puntual .
• Fijar un monoide M con la operación • elemento de identidad y correo , y considerar su conjunto potencia P ( M ) que consta de todos los subconjuntos de M . Una operación binaria para tales subconjuntos puede definirse por S • T = { s • t  : s ∈ S , t ∈ T } . Esto convierte P ( M ) en un monoide con el elemento de identidad { e }. De la misma manera, el conjunto de potencias de un grupo G es un monoide bajo laProducto de subconjuntos grupales .
• Sea S un conjunto. El conjunto de todas las funciones S → S forma un monoide en la composición de la función . La identidad es solo la función de identidad . También se le llama el monoide plena transformación de S . Si S es finito con n elementos, el monoide de funciones en S es finito con n ⁿelementos.
• Generalizando el ejemplo anterior, deje C sea una categoría y X un objeto en C . El conjunto de todos los endomorfismos de X , denotado como Fin _C ( X ), forma un monoide bajo la composición de los morfismos . Para más información sobre la relación entre la teoría de categorías y los monoides, vea a continuación.
• El conjunto de clases de homeomorfismo de superficies compactas con la suma conectada . Su elemento unitario es la clase de la esfera normal 2. Además, si a denota la clase del toro , y b denota la clase del plano proyectivo, entonces cada elemento c del monoide tiene una expresión única en la forma c = na + mb donde n es el número entero ≥ 0 ym = 0 , 1 o 2. Tenemos 3 b = a + b .
• Dejar $${\ displaystyle \ langle f \ rangle}ser un monoide cíclico de orden n , es decir,$${\ displaystyle \ langle f \ rangle = \ {f ^ {0}, f ^ {1}, \ dots, f ^ {n-1} \}}. Entonces$${\ displaystyle f ^ {n} = f ^ {k}} para algunos {\ displaystyle 0 \ leq k . De hecho, cada uno de estos k da un monoide distinto de orden n , y cada monoide cíclico es isomorfo a uno de estos.

Además, f puede considerarse como una función en los puntos.$${\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots, n-1 \}} dada por

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 & \ dots & n-2 & n-1 \\ 1 & 2 & 3 & \ dots & n-1 & k \ end {bmatrix}}}

o equivalente

{\ displaystyle f (i): = {\ begin {cases} i + 1, & {\ mbox {if}} 0 \ leq i

Multiplicación de elementos en $${\ displaystyle \ langle f \ rangle} Entonces es dada por la composición de la función.

Tenga en cuenta también que cuando $${\ displaystyle k = 0}entonces la función f es una permutación de$${\ displaystyle \ {0,1,2, \ dots, n-1 \}} y da el único grupo cíclico de orden n .

Propiedades [ editar ]

En un monoide, uno puede definir potencias enteras positivas de un elemento x  : x ¹ = x , y x ⁿ = x • ... • x ( nveces) para n > 1. La regla de los poderes x ^n + p = x ⁿ • x ^p es obvia.

De la definición de un monoide, uno puede mostrar que el elemento de identidad e es único. Entonces, para cualquier x , uno puede establecer x ⁰ = e y la regla de los poderes sigue siendo verdadera con exponentes no negativos.

Es posible definir elementos invertibles : un elemento x se llama invertible si existe un elemento y tal que x • y = ey y • x = e . El elemento y se llama el inverso de x . Si y y z son inversos de x , entonces por asociatividad y = ( zx ) y = z ( xy ) = z . Así, los inversos, si existen, son únicos. ^[8]

Si y es el inverso de x , uno puede definir las potencias negativas de x configurando x ⁻¹ = y y x ^- n = y • ... • y ( nveces) para n > 1 . Y la regla de los exponentes todavía se verifica para todos los enteros n , p . Es por esto que la inversa de x generalmente se escribe x ⁻¹ . El conjunto de todos los elementos invertibles en un monoide M , junto con la operación, forman un grupo. En ese sentido, cada monoide contiene un grupo (posiblemente solo el grupo trivial que consiste solo en la identidad).

Sin embargo, no todos los monoides se sientan dentro de un grupo. Por ejemplo, es perfectamente posible tener un monoide en el que existan dos elementos a y b , de manera que a • b = a sea válido aunque b no sea el elemento de identidad. Un monoide de este tipo no puede integrarse en un grupo, porque en el grupo podríamos multiplicar ambos lados con la inversa de a y obtendríamos que b = e , lo que no es cierto. Un monoide ( M , •)tiene la propiedad de cancelación (o es cancellativo ) si para todos a , b yc en M , a • b = a • c siempre implica b = c y b • a = c • a siempre implica b = c . Un monoide conmutativo con la propiedad de cancelación siempre se puede incrustar en un grupo a través de la construcción Grothendieck. Así es como el grupo aditivo de los enteros (un grupo con operación +) se construye a partir del monoide aditivo de los números naturales (un monoide conmutativo con operación + y propiedad de cancelación). Sin embargo, un monoide canceroso no conmutativo no necesita ser integrado en un grupo.

Si un monoide tiene la propiedad de cancelación y es finito , entonces es un grupo. Prueba: arregla un elemento x en el monoide. Como el monoide es finito, x ⁿ = x ^m para algunos m > n > 0 . Pero luego, por cancelación tenemos que x ^m - n = e donde e es la identidad. Por lo tanto, x • x ^{m - n - 1} = e , entonces x tiene un inverso.

Los elementos relativos a la derecha y la izquierda de un monoide forman, a su vez, una submonoide (es decir, obviamente incluyen la identidad y, obviamente, no se cierran durante la operación). Esto significa que los elementos cancelativos de cualquier monoide conmutativo pueden extenderse a un grupo.

Resulta que no se requiere que la propiedad cancelativa requerida en un monoide realice la construcción de Grothendieck; la conmutación es suficiente. Sin embargo, si el monoide original tiene un elemento absorbente,entonces su grupo Grothendieck es el grupo trivial. De ahí que el homomorfismo sea, en general, no inyectivo.

Un monoide inverso es un monoide en el que para cada a en M , existe un único a ⁻¹ en M tal que a = a • a ⁻¹ • a y a ⁻¹ = a ⁻¹ • a • a ⁻¹ . Si un monoide inverso es cancelativo, entonces es un grupo.

En la dirección opuesta, un monoide libre de ceroso es un monoide escrito de forma aditiva en el que a + b = 0implica que a = 0 y b = 0 : ^{[9] de manera} equivalente, que ningún elemento distinto de cero tiene un inverso aditivo.

Actos y monoides del operador [ editar ]

Artículo principal: acto monoide

Sea M un monoide, con la operación binaria denotada por • y el elemento de identidad denotado por e . A continuación, un (izquierda) M -act (o acto de sobra M ) es un conjunto X junto con una operación ⋅: M × X → Xque es compatible con la estructura monoid como sigue:

• para todas las x en X : e ⋅ x = x ;
• para todas a , b en M y x en X : a ⋅ ( b ⋅ x ) = ( a • b ) ⋅ x .

Este es el análogo en la teoría de los monoides de una acción grupal (izquierda) . Los M -actos correctos se definen de manera similar. Un monoide con un acto también se conoce como un monoide operador . Ejemplos importantes incluyen sistemas de transición de semiautomata . Un semigrupo de transformación se puede convertir en un operador monoide al lado de la transformación de identidad.

Homomorfismos monoides [ editar ]

Ejemplo de homomorfismo monoide x x 2 ^x de ( N , +, 0) a ( N , ×, 1) . Es inyectivo, pero no subjetivo.

Un homomorfismo entre dos monoides ( M , ∗) y ( N , •) es una función f  : M → Ntal que

• f ( x ∗ y ) = f ( x ) • f ( y ) para todo x , y en M
• f ( e _M ) = e _N ,

donde e _M y e _N son las identidades en M y N respectivamente. Los homomorfismos monoides a veces se llaman simplemente morfismos monoides.

No todo homomorfismo semigrupo es un homomorfismo monoide, ya que puede no asignar la identidad a la identidad del monoide objetivo, incluso aunque el elemento al que asigne la identidad será una identidad de la imagen del mapeo. En contraste, un homomorfismo semigrupo entre grupos es siempre un homomorfismo grupal , ya que necesariamente preserva la identidad. Dado que para los monoides esto no siempre es cierto, es necesario establecer esto como un requisito separado.

Un homomorfismo monoide biyectivo se llama isomorfismo monoide . Se dice que dos monoides son isomorfos si hay un isomorfismo monoide entre ellos.

Presentación equational [ editar ]

Artículo principal: Presentación de un monoide.

A los monoides se les puede dar una presentación , de la misma manera que los grupos se pueden especificar por medio de una presentación grupal . Uno hace esto especificando un conjunto de generadores Σ, y un conjunto de relaciones en el monoide libre Σ ^∗ . Uno hace esto extendiendo las relaciones binarias (finitas) en con ^∗ a las congruencias monoides, y luego construyendo el cociente monoide, como anteriormente.

Dada una relación binaria R ⊂ ^∗ × Σ ^∗ , uno define su cierre simétrico como R ∪ R ⁻¹ . Esto se puede extender a una relación simétrica E ⊂ ^∗ × Σ ^∗ definiendo x ~ _E y si y solo si x = sut y y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ^∗ con ( u , v ) ∈ R∪ R ⁻¹ . Finalmente, se toma el cierre reflexivo y transitivo de E , que es entonces una congruencia monoide.

En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que$${\ displaystyle R = \ {u_ {1} = v_ {1}, \ cdots, u_ {n} = v_ {n} \}}. Así, por ejemplo,

$${\ displaystyle \ langle p, q \, \ vert \; pq = 1 \ rangle}

es la presentación ecuacional del monoide bicíclico , y

$${\ displaystyle \ langle a, b \, \ vert \; aba = baa, bba = bab \ rangle}

Es el monoide plactico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plactic pueden escribirse como$${\ displaystyle a ^ {i} b ^ {j} (ba) ^ {k}}para los enteros i , j , k , ya que las relaciones muestran que ba conmuta con a y b .

Relación con la teoría de categorías [ editar ]

Estructuras tipo grupo
	Totalidad α	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	Conmutatividad
Semigroupoid	Innecesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Magma	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Necesario	Innecesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Lazo	Necesario	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Semigrupo	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigrupo Inverso	Necesario	Necesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Monoide	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Grupo	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Grupo abeliano	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario
^ El cierre α , que se usa en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Los monoides se pueden ver como una clase especial de categorías . De hecho, los axiomas requeridos de una operación monoide son exactamente los requeridos de la composición del morfismocuando están restringidos al conjunto de todos los morfismos cuyo origen y objetivo es un objeto dado. ^[10] Es decir,

Un monoide es, esencialmente, lo mismo que una categoría con un solo objeto.

Más precisamente, dado un monoide ( M , •) , se puede construir una pequeña categoría con sólo un objeto y cuya morfismos son los elementos de M . La composición de los morfismos viene dada por la operación monoide.

De la misma manera, los homomorfismos monoides son solo funtores entre categorías de objetos individuales. ^[10] Por lo tanto, esta construcción proporciona una equivalencia entre la categoría de monoides (pequeños) Mony una subcategoría completa de la categoría de categorías (pequeñas) Nº de cat . Del mismo modo, la categoría de grupos es equivalente a otra subcategoría completa de Cat .

En este sentido, la teoría de categorías se puede considerar como una extensión del concepto de un monoide. Muchas definiciones y teoremas sobre los monoides pueden generalizarse a pequeñas categorías con más de un objeto. Por ejemplo, un cociente de una categoría con un objeto es solo un cociente monoide.

Los monoides, al igual que otras estructuras algebraicas, también forman su propia categoría, Mon , cuyos objetos son monoides y cuyos morfismos son homomorfismos de monoides. ^[10]

También hay una noción de objeto monoide que es una definición abstracta de lo que es un monoid en una categoría. Un objeto monoide en Set es solo un monoide.

Monoides en informática [ editar ]

En informática, muchos tipos de datos abstractos pueden estar dotados de una estructura monoide. En un patrón común, una secuencia de elementos de un monoide se " dobla " o "acumula" para producir un valor final. Por ejemplo, muchos algoritmos iterativos necesitan actualizar algún tipo de "total acumulado" en cada iteración; este patrón puede expresarse elegantemente mediante una operación monoide. Alternativamente, la asociatividad de las operaciones monoides asegura que la operación se pueda paralelizar empleando una suma de prefijos o un algoritmo similar, para utilizar eficientemente múltiples núcleos o procesadores.

Dada una secuencia de valores de tipo M con elemento de identidad.$${\ displaystyle \ varepsilon} y operación asociativa $${\ displaystyle \ bullet}, la operación de plegado se define de la siguiente manera:

{\ displaystyle \ mathrm {fold}: M ^ {*} \ rightarrow M = l \ mapsto {\ begin {cases} \ varepsilon & {\ mbox {if}} l = \ mathrm {nil} \\ m \ bullet \ mathrm {fold} \, l '& {\ mbox {if}} l = \ mathrm {contras} \, m \, l' \ end {cases}}}

Además, cualquier estructura de datos puede ser "plegada" de una manera similar, dada una serialización de sus elementos. Por ejemplo, el resultado de "plegar" un árbol binario puede diferir según el recorrido del árbol deorden anticipada y de orden posterior .

MapReduce [ editar ]

Una aplicación de monoides en la informática es el llamado modelo de programación MapReduce (ver Codificación del mapa-Reducir como un monoide con plegado a la izquierda ). MapReduce, en informática, consta de dos o tres operaciones. Dado un conjunto de datos, "Mapa" consiste en asignar datos arbitrarios a elementos de un monoide específico. "Reducir" consiste en plegar esos elementos, de modo que al final solo producimos un elemento.

Por ejemplo, si tenemos un conjunto múltiple , en un programa se representa como un mapa de elementos a sus números. Los elementos se llaman claves en este caso. El número de claves distintas puede ser demasiado grande y, en este caso, el multiset se está fragmentando. Para finalizar correctamente la reducción, la etapa "Aleatorio" reagrupa los datos entre los nodos. Si no necesitamos este paso, todo el Mapa / Reducir consiste en mapear y reducir; ambas operaciones son paralelizables, la primera debido a su naturaleza de elementos, y la segunda debido a la asociatividad del monoide.

Monoides completos [ editar ]

Un monoide completo es un monoide conmutativo equipado con una operación de suma infinita$${\ displaystyle \ Sigma _ {I}}para cualquier conjunto de índice I tal que: ^{[11] [12] [13] [14]}

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ emptyset} {m_ {i}} = 0; \ quad \ sum _ {i \ in \ {j \}} {m_ {i}} = m_ {j}; \ quad \ sum _ {i \ in \ {j, k \}} {m_ {i}} = m_ {j} + m_ {k} \ quad {\ textrm {for}} \; j \ neq k}

y

$${\ displaystyle \ sum _ {j \ in J} {\ sum _ {i \ in I_ {j}} {m_ {i}}} = \ sum _ {i \ in I} (m_ {i}) \; {\ textrm {if}} \ bigcup _ {j \ in J} I_ {j} = I \; {\ textrm {and}} \; I_ {j} \ cap I_ {j '} = \ emptyset \; { \ textrm {for}} \; j \ neq j '}

Un monoide continuo es un monoide conmutativo ordenado en el que cada conjunto dirigido tiene un límite superior menos compatible con la operación monoide:

$${\ displaystyle a + \ sup S = \ sup (a + S) \.}

Estos dos conceptos están estrechamente relacionados: un monoide continuo es un monoide completo en el que la suma infinita se puede definir como

$${\ displaystyle \ sum _ {I} a_ {i} = \ sup \ sum _ {E} a_ {i}}

donde el supremo a la derecha se extiende sobre todos los subconjuntos finitos E de I y cada suma a la derecha es una suma finita en el monoide.

semigrupo aperiodic es un semigrupo S tal que cada elemento x ∈ S es aperiodic, es decir, para cada x existe un entero positivo n tal que x ⁿ = x ^{n + 1} . ^[1] Un monoide aperiódico es un semigrupo aperiódico que es un monoide .

Semigrupos aperiódicos finitos [ editar ]

Un semigrupo finito es aperiódico si y solo si no contiene subgrupos no triviales , por lo que un sinónimo utilizado (solo?) En tales contextos es un semigrupo sin grupo . En términos de las relaciones de Green , un semigrupo finito es aperiódico si y solo si su relación H es trivial. Estas dos caracterizaciones se extienden a los semigrupos agrupados . ^{[ cita requerida ]}

Un célebre resultado de la teoría de los autómatas algebraicos debida a Marcel-Paul Schützenberger afirma que un lenguaje está libre de estrellas si y solo si su monoide sintáctico es finito y aperiódico. ^[2]

Una consecuencia del teorema de Krohn-Rhodes es que cada monoide aperiódico finito divide un producto de corona de copias del monoide flip-flop de tres elementos , que consiste en un elemento de identidad y dos ceros a la derecha. El teorema de Krohn-Rhodes de dos caras alternativamente caracteriza a los monoides aperiódicos finitos como divisores de productos de bloques iterados de copias de la semilattice de dos elementos .