grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el propio grupo. Un grupo que no es simple puede dividirse en dos grupos más pequeños, a saber, un subgrupo normal no trivial y el grupo de cociente correspondiente . Este proceso puede repetirse, y para los grupos finitos uno llega finalmente a grupos simples determinados de forma única, por el teorema de Jordan-Hölder .
La clasificación completa de grupos finitos simples , completada en 2004, es un hito importante en la historia de las matemáticas.
Ejemplos [ editar ]
Grupos simples finitos [ editar ]
El grupo cíclico G = Z / 3 Z de las clases de congruencia módulo 3 (ver aritmética modular ) es simple. Si H es un subgrupo de este grupo, su orden (el número de elementos) debe ser un divisor del orden de G, que es 3. Dado que 3 es primo, sus únicos divisores son 1 y 3, por lo que H es G , o H es el grupo trivial. Por otro lado, el grupo G = Z / 12 Z no es simple. El conjunto hde las clases de congruencia de 0, 4 y 8 módulo 12 es un subgrupo de orden 3, y es un subgrupo normal ya que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal. Del mismo modo, el grupo aditivo Z de enteros no es simple; el conjunto de enteros pares es un subgrupo normal propio no trivial. [1]
Uno puede usar el mismo tipo de razonamiento para cualquier grupo abeliano, para deducir que los únicos grupos abelianos simples son los grupos cíclicos de primer orden. La clasificación de los grupos simples no marianos es mucho menos trivial. El grupo simple no mariano más pequeño es el grupo alterno A 5 de orden 60, y cada grupo simple de orden 60 es isomorfo a A 5 . [2] El segundo grupo simple no marabelino más pequeño es el grupo lineal proyectivo especial PSL (2,7) de orden 168, y es posible demostrar que cada grupo simple de orden 168 es isomorfo a PSL (2,7) . [3] [4]
Grupos simples infinitos [ editar ]
El grupo alterno infinito, es decir, el grupo de permutaciones pares de los enteros, es simple. Este grupo puede definirse como la unión creciente de los grupos simples finitos Con respecto a las incrustaciones estándar . Otra familia de ejemplos de grupos infinitos simples es dada por, dónde es un campo y .
Es mucho más difícil construir grupos simples infinitos generados finamente . El primer ejemplo se debe a Graham Higman y es un cociente del grupo Higman . [5] Otros ejemplos incluyen las infinitas grupos Thompson Ty V . Burger-Mozes construyó finamente grupos infinitos simples sin torsión. [6]
Clasificación [ editar ]
Todavía no hay una clasificación conocida para grupos simples generales.
Grupos simples finitos [ editar ]
Los grupos simples finitos son importantes porque, en cierto sentido, son los "bloques de construcción básicos" de todos los grupos finitos, algo similar a la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los enteros . Esto se expresa mediante el teorema de Jordan-Hölder, que establece que cualquier serie de dos composiciones de un grupo dado tiene la misma longitud y los mismos factores, hasta la permutación y el isomorfismo . En un gran esfuerzo de colaboración, la clasificación de grupos finitos simples fue declarada realizada en 1983 por Daniel Gorenstein , aunque surgieron algunos problemas (específicamente en la clasificación degrupos de cuasitina , que fueron tapados en 2004).
Brevemente, los grupos simples finitos se clasifican como pertenecientes a una de las 18 familias, o como una de las 26 excepciones:
- Z p - grupo cíclico de primer orden
- A n - grupo alterno para
- Los grupos alternos se pueden considerar como grupos de tipo Mentira sobre el campo con un elemento , que une a esta familia con la siguiente, y por lo tanto, todas las familias de grupos finitos no abelianos simples pueden considerarse del tipo Mentira.
- Una de las 16 familias de grupos de tipo Lie.
- El grupo Tits generalmente se considera de esta forma, aunque estrictamente hablando no es del tipo Lie, sino que es el índice 2 en un grupo del tipo Lie.
- Una de las 26 excepciones, los grupos esporádicos , de los cuales 20 son subgrupos o subcotientes del grupo de monstruos y se conocen como la "Familia Feliz", mientras que los 6 restantes se conocen como parias .
Estructura de grupos finitos simples [ editar ]
El famoso teorema de Feit y Thompson afirma que cada grupo de orden impar tiene solución . Por lo tanto, cada grupo simple finito tiene un orden par, a menos que sea cíclico de primer orden.
La conjetura de Schreier afirma que el grupo de automorfismos externos de cada grupo simple finito es solucionable . Esto puede ser probado usando el teorema de clasificación.
Historia para grupos finitos simples [ editar ]
Hay dos hilos en la historia de los grupos simples finitos: el descubrimiento y la construcción de grupos y familias simples y específicos, que tuvo lugar desde el trabajo de Galois en la década de 1820 hasta la construcción del Monstruo en 1981; y la prueba de que esta lista estaba completa, que comenzó en el siglo XIX, tuvo lugar de manera más significativa desde 1955 hasta 1983 (cuando inicialmente se declaró la victoria), pero en general solo se aceptó su finalización en 2004. A partir de 2010 , se trabajó en la mejora de las pruebas. y la comprensión continúa; Ver ( Silvestri 1979 ) para la historia del siglo XIX de grupos simples.
Construcción [ editar ]
Se han estudiado grupos simples, al menos desde la teoría de Galois , donde Évariste Galois se dio cuenta de que el hecho de que los grupos alternativos en cinco o más puntos son simples (y, por lo tanto, no pueden resolverse), lo cual demostró en 1831, fue la razón por la que no se pudo Resuelve la quíntica en radicales. Galois también construyó el grupo lineal especial proyectivo de un plano sobre un campo finito primario, PSL (2, p ), y observó que eran simples para p no 2 o 3. Esto está contenido en su última carta a Chevalier, [7] y son el siguiente ejemplo de grupos simples finitos. [8]
Los siguientes descubrimientos fueron hechos por Camille Jordan en 1870. [9] Jordan había encontrado 4 familias de grupos matriciales simples en campos finitos de primer orden, que ahora se conocen como los grupos clásicos .
Casi al mismo tiempo, se demostró que una familia de cinco grupos, llamados los grupos de Mathieu y descritos por primera vez por Émile Léonard Mathieu en 1861 y 1873, también eran simples. Dado que estos cinco grupos se construyeron con métodos que no ofrecían infinitas posibilidades, William Burnside los llamó " esporádicos " en su libro de texto de 1897.
Más tarde, los resultados de Jordan sobre los grupos clásicos fueron generalizados a campos finitos arbitrarios por Leonard Dickson , siguiendo la clasificación de álgebras de Lie simples complejas por Wilhelm Killing . Dickson también construyó grupos de excepción de tipo G 2 y E 6 también, pero no de los tipos F 4 , E 7 o E 8 ( Wilson 2009 , p. 2). En la década de 1950 se continuó el trabajo en grupos de tipo Lie, con Claude Chevalley.Dando una construcción uniforme de los grupos clásicos y los grupos de tipo excepcional en un artículo de 1955. Esto omitió ciertos grupos conocidos (los grupos unitarios proyectivos), que se obtuvieron al "torcer" la construcción de Chevalley. Los grupos restantes del tipo Lie fueron producidos por Steinberg, Tits y Herzig (quienes produjeron 3 D 4 ( q ) y 2 E 6 ( q )) y por Suzuki y Ree (los grupos Suzuki-Ree ).
Se creía que estos grupos (los grupos del tipo Lie, junto con los grupos cíclicos, los grupos alternos y los cinco grupos excepcionales de Mathieu) eran una lista completa, pero después de una pausa de casi un siglo desde el trabajo de Mathieu, en 1964 el primer grupo Janko fue descubierto, y los 20 grupos esporádicos restantes fueron descubiertos o conjeturados en 1965–1975, culminando en 1981, cuando Robert Griess anunció que había construido el " grupo de monstruos " de Bernd Fischer . El Monstruo es el mayor grupo simple esporádico que tiene un orden de 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. El Monstruo tiene una representación fiel de 196,883 dimensiones en el álgebra de Griess de 196,884., lo que significa que cada elemento del Monstruo se puede expresar como una matriz de 196,883 por 196,883.
Clasificación [ editar ]
Se acepta generalmente que la clasificación completa comienza con el teorema de Feit-Thompson de 1962/63, que dura en gran parte hasta 1983, pero solo se terminó en 2004.
Poco después de la construcción del Monstruo en 1981, se entregó una prueba, con un total de más de 10,000 páginas, de que los teóricos del grupo habían enumerado con éxito a todos los grupos finitos simples , con la victoria declarada en 1983 por Daniel Gorenstein. Esto fue prematuro: posteriormente se descubrieron algunas lagunas, especialmente en la clasificación de los grupos de cuasitina , que finalmente se reemplazaron en 2004 por una clasificación de 1.300 páginas de los grupos de cuasitina, que ahora generalmente se acepta como completa.
Pruebas de no simplicidad [ editar ]
Prueba de Sylow : Sea n un entero positivo que no sea primo, y sea p un divisor primo de n . Si 1 es el único divisor de n que es igual a 1 módulo p, entonces no existe un grupo simple de orden n .
Prueba: si n es una potencia principal, entonces un grupo de orden n tiene un centro no trivial [10] y, por lo tanto, no es simple. Si n no es una potencia principal, entonces cada subgrupo de Sylow es adecuado y, según el Tercer Teorema de Sylow , sabemos que el número de subgrupos p de Sylow de un grupo de orden n es igual a 1 módulo p y divide n . Dado que 1 es el único número de este tipo, el subgrupo p de Sylow es único y, por lo tanto, es normal. Dado que es un subgrupo propio, sin identidad, el grupo no es simple.
Burnside : Un grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres números primos distintos. Esto se deduce del teorema pq de Burnside .
En álgebra abstracta , un grupo finito es un grupo matemático con un número finito de elementos . Un grupo es un conjunto de elementos junto con una operación que asocia, a cada par de elementos ordenados, un elemento del conjunto. [1] En el caso de un grupo finito, el conjunto es finito.
Historia [ editar ]
Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron algunos aspectos de la teoría de los grupos finitos en gran profundidad, especialmente la teoría local de los grupos finitos y la teoría de los grupos no solubles y solubles . [2] [3] Como consecuencia, se logró la clasificación completa de grupos finitos simples , lo que significa que ahora se conocen todos aquellos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.
Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de estas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre campos finitos .
Los grupos finitos a menudo ocurren cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que se puede considerar que trata con " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados . Estos son grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Las propiedades de los grupos finitos pueden jugar un papel en temas como la física teórica y la química . [4]
Ejemplos [ editar ]
Grupos de permutación [ editar ]
El grupo simétrico S n en un conjunto finito de nsímbolos es el grupo cuyos elementos son todas las permutaciones de los n símbolos, y cuya operación de grupo es la composición de dichas permutaciones, que se tratan como funciones biyectivas del conjunto de símbolos a sí mismo. . [5] ¡ Ya que hay n ! ( n factorial ) posibles permutaciones de un conjunto de n símbolos, se deduce que el orden (el número de elementos) del grupo simétrico S nes n !.
Grupos cíclicos [ editar ]
Un grupo cíclico Z n es un grupo cuyos elementos son poderes de un elemento particular a donde a = n = a 0 = e , la identidad. Una realización típica de este grupo es como el complejo n º raíces de la unidad . Enviar una a una raíz primitiva de la unidad da un isomorfismo entre los dos. Esto se puede hacer con cualquier grupo cíclico finito.
Grupos abelianos finitos [ editar ]
Un grupo abeliano , también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos de grupo no depende de su orden (el axioma de conmutatividad ). Se nombran después de Niels Henrik Abel . [6]
Un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de poder primario, y estos órdenes se determinan de manera única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismo de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría se desarrolló por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger, y luego se simplificó y generalizó a los módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo del álgebra lineal .
Grupos de tipo Lie [ editar ]
Un grupo de tipo Lie es un grupo estrechamente relacionado con el grupo G ( k ) de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductor G con valores en el campo k . Los grupos finitos de tipo Mentira dan la mayor parte de grupos simples finitos no marabianos . Los casos especiales incluyen los grupos clásicos , los grupos Chevalley , los grupos Steinberg y los grupos Suzuki-Ree.
Los grupos finitos de tipo Lie se encontraban entre los primeros grupos que se consideraron en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos primos, PSL (2, p ), construido por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL (2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones más altas y da una importancia importante. familia infinita PSL ( n , q) De grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación apropiada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos sobre un campo arbitrario k , lo que lleva a la construcción de lo que ahora se llaman grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi simples como grupos abstractos ( teorema de la simplicidad de Tits ). Aunque se sabía desde el siglo XIX que existen otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse por las extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con los grupos cíclicos y alternos. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos del tipo Lie, y en particular, se pueden construir y caracterizar en función de su geometría en el sentido de Tits.
La creencia ahora se ha convertido en un teorema: la clasificación de grupos finitos simples . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos del tipo Lie en un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternativos, el grupo Tits y los 26 grupos simples esporádicos .
Principales teoremas [ editar ]
El teorema de Lagrange [ editar ]
Para cualquier grupo finito G , el orden (número de elementos) de cada subgrupo H de G divide el orden de G . El teorema lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange .
Teoremas de Sylow [ editar ]
Esto proporciona una converse parcial a teorema dar información de Lagrange sobre el número de subgrupos de un orden dado están contenidos en G .
El teorema de Cayley [ editar ]
El teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , indica que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico actúa sobre G . [7] Esto se puede entender como un ejemplo de la acción de grupode G en los elementos de G . [8]
Burnside teorema [ editar ]
donde p y q son números primos , y a y b son enteros no negativos , entonces G es solucionable . Por lo tanto, cada grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres primos distintos.
Feit-Thompson teorema [ editar ]
El teorema de Feit-Thompson , o teorema de orden impar , establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución . Fue probado por Walter Feit y John Griggs Thompson ( 1962 , 1963 ).
Clasificación de grupos simples finitos [ editar ]
La Clasificación de grupos simples finitos es un teorema que establece que cada grupo simple finito pertenece a una de las siguientes familias:
- Un grupo cíclico de primer orden;
- Un grupo alterno de grado al menos 5;
- Un simple grupo de tipo Lie ;
- Uno de los 26 grupos simples esporádicos ;
- El grupo de tetas (a veces considerado como un grupo esporádico número 27).
Los grupos simples finitos pueden verse como los bloques de construcción básicos de todos los grupos finitos, de una manera que recuerda la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de afirmar este hecho acerca de los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa con respecto al caso de la factorización de enteros es que tales "bloques de construcción" no necesariamente determinan de manera única a un grupo, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composiciones o, dicho de otra manera, el problema de extensión no tiene una solución única.
La prueba del teorema consiste en decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por aproximadamente 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004. Gorenstein (d.1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.
Número de grupos de un orden dado [ editar ]
Dado un entero n positivo , no es en absoluto una cuestión de rutina determinar cuántos tipos de grupos de orden n hay isomorfismo . Cada grupo de primer orden es cíclico , porque el teorema de Lagrange implica que el subgrupo cíclico generado por cualquiera de sus elementos de no identidad es el grupo completo. Si n es el cuadrado de un primo, entonces hay exactamente dos tipos posibles de isomorfismo de grupo de orden n , ambos de los cuales son abelianos. Si n es un poder superior de un primo, entonces los resultados de Graham Higman y Charles Sims proporcione estimaciones asintóticamente correctas para el número de tipos de isomorfismo de los grupos de orden n , y el número crece muy rápidamente a medida que aumenta la potencia.
Dependiendo de la factorización prima de n, se pueden colocar algunas restricciones en la estructura de grupos de orden n, como consecuencia, por ejemplo, de resultados como los teoremas de Sylow . Por ejemplo, cada grupo de orden pq es cíclico cuando q < p son primos con p -1 no divisibles por q . Para una condición necesaria y suficiente, ver número cíclico .
Si n es squarefree , entonces cualquier grupo de orden n es solucionable. El teorema de Burnside , probado utilizando caracteres de grupo , establece que cada grupo de orden n puede resolverse cuando n es divisible por menos de tres primos distintos, es decir, si n = p a q b , donde p y q son números primos, y a y b son enteros no negativos. Por el teorema de Feit-Thompson , que tiene una prueba larga y complicada, cada grupo de orden nes solucionable cuando n es impar.
Para cada entero positivo n , la mayoría de los grupos de orden n son solucionables . Por lo general, ver esto para cualquier orden no es difícil (por ejemplo, existe, hasta el isomorfismo, un grupo no solucionable y 12 grupos solubles de orden 60), pero la prueba de esto para todas las órdenes utiliza la clasificación de grupos simples finitos. . Para cualquier entero positivo n, hay como máximo dos grupos simples de orden n , y hay infinitos enteros positivos n para los cuales hay dos grupos simples no isomorfos de orden n .
Tabla de distintos grupos de orden n [ editar ]
| Orden n | # Grupos [9] | Abeliano | No abeliano |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 5 | 3 | 2 |
| 9 | 2 | 2 | 0 |
| 10 | 2 | 1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 |
| 12 | 5 | 2 | 3 |
| 13 | 1 | 1 | 0 |
| 14 | 2 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 0 |
| dieciséis | 14 | 5 | 9 |
| 17 | 1 | 1 | 0 |
| 18 | 5 | 2 | 3 |
| 19 | 1 | 1 | 0 |
| 20 | 5 | 2 | 3 |
| 21 | 2 | 1 | 1 |
| 22 | 2 | 1 | 1 |
| 23 | 1 | 1 | 0 |
| 24 | 15 | 3 | 12 |
| 25 | 2 | 2 | 0 |
| 26 | 2 | 1 | 1 |
| 27 | 5 | 3 | 2 |
| 28 | 4 | 2 | 2 |
| 29 | 1 | 1 | 0 |
| 30 | 4 | 1 | 3 |
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