MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

producto semidirecto es una generalización de un producto directo. Hay dos conceptos estrechamente relacionados del producto semidirecto: un producto semidirect interno es una forma particular en la que un grupo puede construirse a partir de dos subgrupos , uno de los cuales es un subgrupo normal , mientras que un producto semidirect externo es un producto cartesiano como un conjunto. pero con una operación de multiplicación particular. Al igual que con los productos directos, existe una equivalencia natural entre los productos semidirectos internos y externos, y ambos se denominan comúnmente simplemente comoProductos semidirectos .

Para grupos finitos , el teorema de Schur-Zassenhaus proporciona una condición suficiente para la existencia de una descomposición como un producto semidirecto (también conocida como extensión de división ).

Definiciones internas de productos semidirectos [ editar ]

Dado un grupo G con elemento de identidad e , un subgrupo H y un subgrupo normal N ◁ G ; entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• G es el producto de los subgrupos, G = NH , donde los subgrupos tienen una intersección trivial,N ∩ H = { e } .
• Para cada g ∈ G , hay n ∈ N y h ∈ H únicos, tales que g = nh .
• Para cada g ∈ G , hay h ∈ H y n ∈ N únicos, tales que g = hn .
• La composición π ∘ i de la incrustación naturales i : H → G con la proyección naturales π : G → G / N es un isomorfismo entre H y el grupo cociente G / N .
• Existe un homomorfismo G → H que es la identidad en H y cuyo núcleo es N .

Si alguna de estas afirmaciones es válida (y, por lo tanto, todas lo son, por su equivalencia), decimos que G es el producto semidirecto de N y H , escrito

$${\ displaystyle G = N \ rtimes H,}

o que G se divide sobre N ; también se dice que G es un semidirecto producto de H que actúa sobre N , o incluso un producto semidirecto de H y N . Para evitar ambigüedades, es recomendable especificar cuál es el subgrupo normal.

Productos semidirectos externos [ editar ]

Deje que G sea un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H . Deje Aut ( N ) denota el grupo de todos los automorfismos de N . El mapa φ : H → Aut ( N ) definido por φ ( h ) = φ _h , donde φ _h es la conjugación de h , por lo tanto φ ( h ) ( n ) = φ _h ( n ) = hnh ⁻¹Para todas las h en H y n en N , es un homomorfismo grupal . (Tenga en cuenta que hnh ^-1 ∈ N desde N es normal en G ). Juntos N , H , y φdeterminar G hasta isomorfismo, como mostramos ahora.

Dado cualquier (incluso no relacionado) dos grupos N y H y un grupo homomorfismo varphi : H → Aut ( N ) , podemos construir un nuevo grupo N ⋊ _varphi H , llamado el producto semidirecto (exterior) de N y H con respecto a varphi , definido como sigue. ^[1]

• El conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H .
• La operación grupal, $${\ displaystyle \ bullet}, Se determina por el homomorfismo, φ :

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ bullet \ colon (N \ rtimes _ {\ varphi} H) \ times (N \ rtimes _ {\ varphi} H) & \ a N \ rtimes _ {\ varphi} H \ \ (n_ {1}, h_ {1}) \ bullet (n_ {2}, h_ {2}) & = (n_ {1} \ varphi (h_ {1}) (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2}) \ end {alineado}}}

  para n ₁ , n ₂ en N y h ₁ , h ₂ en H .

Esto define un grupo en el que el elemento de identidad es ( e _N , e _H ) y la inversa del elemento ( n , h ) es ( φ _h ⁻¹ ( n ⁻¹ ), h ⁻¹ ) . Los pares ( n , e _H ) forman un subgrupo normal isomorfo a N , mientras que los pares ( e _N , h ) forman un subgrupo isomorfo a H. El grupo completo es un producto semidirecto de esos dos subgrupos en el sentido dado anteriormente.

A la inversa, supongamos que se nos da un grupo G con un subgrupo normal N y un subgrupo H , de tal manera que cada elemento g de G se puede escribir únicamente en la forma g = NH donde n se encuentra en N y hradica en H . Sea hom : H → Aut ( N ) el homomorfismo (escrito φ ( h ) = φ _h ) dado por

$${\ displaystyle \ varphi _ {h} (n) = hnh ^ {- 1}}

para todos n ∈ N , h ∈ H .

Entonces G es isomorfo al producto semidirecto N ⋊ _φ H ; y aplicando el isomorfismo al producto, nh , da la tupla, ( n , h ) . En G , tenemos

$${\ displaystyle (n_ {1} h_ {1}) (n_ {2} h_ {2}) = n_ {1} h_ {1} n_ {2} \ left (h_ {1} ^ {- 1} h_ { 1} \ derecha) h_ {2} = \ izquierda (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} \ izquierda (n_ {2} \ derecha) \ derecha) \ izquierda (h_ {1} h_ {2} \ right) = (n_ {1}, h_ {1}) \ bullet (n_ {2}, h_ {2})}

lo que demuestra que el mapa anterior es de hecho un isomorfismo y también explica la definición de la regla de la multiplicación en N ⋊ _varphi H .

El producto directo es un caso especial del producto semidirecto. Para ver esto, vamos φ ser el homomorfismo trivial (es decir, el envío de cada elemento de H a la automorphism identidad de N ), entonces N ⋊ _φ H es el producto directo N × H .

Una versión del lema de división para grupos indica que un grupo G es isomorfo a un producto semidirecto de los dos grupos N y H si y solo si existe una secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 1 \ longrightarrow N {\ overset {\ beta} {\ longrightarrow}} G {\ overset {\ alpha} {\ longrightarrow}} H \ longrightarrow 1}

y un grupo homomorfismo γ : H → G tal que alpha ∘ γ = id _H , el mapa de identidad en H . En este caso, φ : H → Aut ( N ) viene dada por φ ( h ) = φ _h , donde

$${\ displaystyle \ varphi _ {h} (n) = \ beta ^ {- 1} \ left (\ gamma (h) \ beta (n) \ gamma \ left (h ^ {- 1} \ right) \ right) .}

Ejemplos [ editar ]

El grupo diédrico D _2 n con 2 n elementos es isomorfo a un producto semidirecto de los grupos cíclicos C _n y C ₂. ^[2] Aquí, el elemento de no identidad de C ₂ actúa sobre C _n invirtiendo elementos; esto es un automorfismo ya que C _n es abeliano . La presentación para este grupo es:

$${\ displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {2} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ rangle.}

Más generalmente, un producto semidirecto de cualquiera de los dos grupos cíclicos C _m con el generador a y C _n con el generador b viene dado por una sola relación aba ⁻¹ = b ^k con k y n coprime ; Es decir, la presentación: ^[2]

$${\ displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {m} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {k} \; \ rangle.}

Si r y m son coprime, a _r es un generador de C _m y a ^r ba ^−r = b ^k r , de ahí la presentación:

$${\ displaystyle \ langle a, \; b \ mid a ^ {m} = e, \; b ^ {n} = e, \; aba ^ {- 1} = b ^ {k ^ {r}} \; \ rangle}

Da un grupo isomorfo al anterior.

El grupo fundamental de la botella de Klein se puede presentar en la forma

$${\ displaystyle \ langle a, \; b \ mid aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \; \ rangle}

y, por lo tanto, es un producto semidirecto del grupo de enteros, ℤ , con ℤ . El homomorfismo correspondiente φ : ℤ → Aut (ℤ) viene dado por φ ( h ) ( n ) = (−1) ^h n .

El grupo euclidiana de todos los movimientos rígidos ( isometrías ) del plano (mapas f : ℝ ² → ℝ ² tal que la distancia euclidiana entre x y y es igual a la distancia entre f ( x ) y f ( y ) para todos los x y y en ℝ ² ) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo abeliano ℝ ² (que describe las traducciones) y el grupo O (2) de ortogonal 2 × 2Matrices (que describen rotaciones y reflexiones que mantienen el origen fijo). Aplicar una traducción y luego una rotación o reflexión tiene el mismo efecto que aplicar la rotación o reflexión primero y luego una traducción por el vector de traducción girado o reflejado (es decir, aplicar el conjugado de la traducción original). Esto muestra que el grupo de traducciones es un subgrupo normal del grupo euclidiano, que el grupo euclidiano es un producto semidirecto del grupo de traducción y O (2) , y que el homomorfismo correspondiente φ : O (2) → Aut (ℝ ²⁾ ) viene dada por la multiplicación de matrices : φ ( h ) ( n ) = hn.

El grupo ortogonal O ( n ) de todas las matrices ortogonales reales n × n (intuitivamente, el conjunto de todas las rotaciones y reflexiones del espacio n -dimensional que mantiene el origen fijo) es isomorfo a un producto semidirecto del grupo SO ( n ) (que consiste en de todas las matrices ortogonales con determinante 1 , intuitivamente las rotaciones del espacio n -dimensional) y C ₂ . Si representamos C ₂ como el grupo multiplicativo de matrices { I , R } , donde Res un reflejo del espacio n -dimensional que mantiene el origen fijo (es decir, una matriz ortogonal con un determinante –1 que representa una involución ), entonces φ : C ₂ → Aut (SO ( n )) viene dado por φ ( H ) ( N ) = HNH ⁻¹ para todo H en C ₂ y N en SO ( n ) . En el caso no trivial ( H no es la identidad) esto significa que φ ( H ) Es la conjugación de operaciones por la reflexión (un eje de rotación y la dirección de rotación son reemplazados por su "imagen de espejo").

El grupo de transformaciones semilineales en un espacio vectorial V sobre un campo 𝕂 , a menudo denotado ΓL ( V ) , es isomorfo a un producto semidirecto del grupo lineal GL ( V ) (un subgrupo normal de ΓL ( V ) ), y el automorfismo grupo de 𝕂 .

En la cristalografía, el grupo espacial de un cristal se divide como el producto semidirecto del grupo de puntos y el grupo de traducción si, y solo el grupo espacial es simbólico. Los grupos espaciales no simétricos tienen grupos de puntos que ni siquiera están contenidos como un subconjunto del grupo espacial, que es responsable de gran parte de la complicación en su análisis. ^[3]

Propiedades [ editar ]

Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H , y ambos N y H son finitos, entonces el orden de G es igual al producto de las órdenes de N y H . Esto se deduce del hecho de que G es del mismo orden que el producto semidirecto exterior de N y H , cuyo conjunto subyacente es el producto cartesiano N × H.

Relación con productos directos [ editar ]

Supongamos que G es un producto semidirecto del subgrupo normal N y el subgrupo H . Si H también es normal en G , o de manera equivalente, si existe un homomorfismo G → N que es la identidad en N , entonces G es el producto directo de N y H .

El producto directo de dos grupos N y H se puede considerar como el producto semidirecto de N y H con respecto a phi ( h ) = id _N para todos h en H .

Tenga en cuenta que en un producto directo, el orden de los factores no es importante, ya que N × H es isomorfo a H × N . Este no es el caso de los productos semidirectos, ya que los dos factores desempeñan roles diferentes.

Además, el resultado de un producto semidirect (apropiado) por medio de un homomorfismo no trivial nunca es un grupo abeliano , incluso si los grupos de factores son abelianos.

No unicidad de los productos semidirectos (y otros ejemplos) [ editar ]

A diferencia del caso con el producto directo , un producto semidirecto de dos grupos no es, en general, único; si G y G ' son dos grupos que contienen copias isomorfas de N como un subgrupo normal y H como un subgrupo, y ambos son un producto semidirecto de N y H , entonces no sigue que G y G' sean isomorfos porque producto semidirecto también depende de la elección de una acción de H en N .

Por ejemplo, hay cuatro grupos no isomorfos de orden 16 que son productos [semi] directos de C ₈ y C ₂ ; C ₈ es necesariamente un subgrupo normal en este caso porque tiene el índice 2 en un grupo de orden 16. Uno de estos cuatro productos [semi] directos es el producto directo, mientras que los otros tres son grupos no abelianos:

• El grupo diedro de orden 16.
• el grupo quasidihedral de orden 16
• el grupo Iwasawa de orden 16 ( M16 )

Para los diagramas comparativos de Cayley de estos, consulte el Ejemplo 3 en [1] .

Si un grupo dado es un producto semidirecto, no hay garantía de que esta descomposición sea única. Por ejemplo, hay un grupo de orden 24 (el único que contiene seis elementos de orden 4 y seis elementos de orden 6) que se puede expresar como producto semidirecto de las siguientes maneras: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≃ (C ₂ ⋉ Q ₁₂ ) ≃ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≃ (D ₆ ⋉ V ) . ^[4]

Existencia [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Schur-Zassenhaus.

En general, no existe una caracterización conocida (es decir, una condición necesaria y suficiente) para la existencia de productos semidirectos en grupos. Sin embargo, se conocen algunas condiciones suficientes, que garantizan la existencia en ciertos casos. Para grupos finitos, el teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de un producto semidirecto cuando el orden del subgrupo normal es coprime al orden del grupo de cocientes .

Por ejemplo, el teorema de Schur-Zassenhaus implica la existencia de un producto semi-directo entre grupos de orden 6; Hay dos productos de este tipo, uno de los cuales es un producto directo y el otro un grupo diedro. En contraste, el teorema de Schur-Zassenhaus no dice nada sobre grupos de orden 4 o grupos de orden 8, por ejemplo.

Generalizaciones [ editar ]

Dentro de la teoría de grupos, la construcción de productos semidirectos puede ser empujada mucho más lejos. El producto de grupos Zappa – Szep es una generalización que, en su versión interna, no supone que ninguno de los subgrupos sea normal.

También hay una construcción en la teoría de anillos , el producto cruzado de anillos . Esto se construye de forma natural a partir del anillo de grupo para un producto semidirecto de grupos. El enfoque de la teoría de anillos puede generalizarse aún más a la suma semidirecta de las álgebras de Lie .

Para la geometría, también hay un producto cruzado para acciones de grupo en un espacio topológico ; desafortunadamente, en general no es conmutativo, incluso si el grupo es abeliano. En este contexto, el producto semidirecto es el espacio de las órbitas de la acción de grupo. Este último enfoque ha sido defendido por Alain Connes como un sustituto de las técnicas topológicas convencionales; cf geometría no conmutativa .

También hay generalizaciones de gran alcance en la teoría de categorías . Muestran cómo construir categorías de fibra a partir de categorías indexadas . Esta es una forma abstracta de la construcción del producto semidirect exterior.

Groupoids [ editar ]

Otra generalización es para los groupoids. Esto ocurre en la topología porque si un grupo G actúa sobre un espacio X también actúa sobre el groupoid fundamental π ₁ ( X ) del espacio. El producto semidirecto π ₁ ( X ) ⋊ G es entonces relevante para encontrar el groupoid fundamental del espacio órbita X / G . Para obtener más información, consulte el Capítulo 11 del libro al que se hace referencia a continuación, y también algunos detalles en el producto semidirecto ^[5] en ncatlab .

Categorías abelianas [ editar ]

Los productos semidirectos no triviales no surgen en categorías abelianas , como la categoría de módulos . En este caso, el lema de división muestra que cada producto semidirecto es un producto directo. Por lo tanto, la existencia de productos semidirectos refleja un fracaso de la categoría para ser abelian.

Notación [ editar ]

Por lo general, el producto semidirecto de un grupo H que actúa sobre un grupo N (en la mayoría de los casos por conjugación como subgrupos de un grupo común) se denota por N ⋊ H o H ⋉ N . Sin embargo, algunas fuentes pueden usar este símbolo con el significado opuesto. En caso de que la acción φ : H → Aut ( N ) debe ser explícita, se escribe también N ⋊ _φ H . Una manera de pensar acerca de la N ⋊ H símbolo es como una combinación del símbolo para el subgrupo normal ( ◁ ) y el símbolo para el producto ( ×). Barry Simon , en su libro sobre la teoría de la representación de grupos, ^[6] emplea la notación inusual$${\ displaystyle N \ circuncedS _ {\ varphi} H} Para el producto semidirecto.

Unicode enumera cuatro variantes: ^[7]

	Valor	MathML	Descripción de Unicode
⋉	U + 22C9	tiempos	PRODUCTO SEMIDIRECTO DE FACTOR NORMAL IZQUIERDO
⋊	U + 22CA	horarios	FACTOR NORMAL FACTOR SEMIDIRECTO PRODUCTO
⋋	U + 22CB	tres	PRODUCTO SEMIDIRECTO IZQUIERDO
⋌	U + 22CC	tres	PRODUCTO SEMIDIRECTO DERECHO

Aquí, la descripción de Unicode del símbolo rtimes dice "factor normal correcto", en contraste con su significado habitual en la práctica matemática.

En LaTeX , los comandos \ rtimes y \ ltimes producen los caracteres correspondientes.

producto corona de la teoría de grupos es un producto especializado de dos grupos, basado en un producto semidirecto . Los productos Wreath se utilizan en la clasificación de grupos de permutación y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.

Dados dos grupos A y H , existen dos variaciones del producto guirnalda: el producto guirnalda sin restricciones A  Wr  H (también escrito A ≀ H ) y el producto guirnalda restringido A wr H . Dado un conjunto Ω con una acción H, existe una generalización del producto de corona que se denota por A  Wr _Ω  H o A  wr _Ω  H respectivamente.

La noción generaliza a los semigrupos y es una construcción central en la teoría de la estructura de Krohn-Rhodes de los semigrupos finitos.

Definición [ editar ]

Sean A y H grupos y set un conjunto con H actuando sobre él. Sea K el producto directo

$${\ displaystyle K \ equiv \ prod _ {\ omega \, \ in \, \ Omega} A _ {\ omega}}

de copias de A _ω  : = A indexadas por el conjunto Ω. Los elementos de K pueden ser vistos como secuencias arbitrarias ( un _omega ) de los elementos de A indexados por Ω con la multiplicación componente a componente. Entonces, la acción de H en se extiende de forma natural a una acción de H en el grupo K mediante

$${\ displaystyle h (a _ {\ omega}) \ equiv (a_ {h ^ {- 1} \ omega})}.

A continuación, el producto guirnalda sin restricciones A  Wr _Ω  H de A por H es el producto semidirecto K  ⋊  H . El subgrupo K de A  Wr _Ω  H se llama la base del producto corona.

El producto de corona restringida A  wr _Ω  H se construye de la misma manera que el producto de corona sin restricciones, excepto que se usa la suma directa

$${\ displaystyle K \ equiv \ bigoplus _ {\ omega \, \ in \, \ Omega} A _ {\ omega}}

como la base del producto corona. En este caso los elementos de K son secuencias ( un _omega ) de los elementos en A indexado por Ω de los cuales todos menos un número finito de un _ω son el elemento de identidadde A .

En el caso más común, uno toma Ω: =  H , donde H actúa de forma natural sobre sí mismo mediante la multiplicación de la izquierda. En este caso, el producto Wreath no restringido y restringido puede ser denotado por A  Wr  H y A  wr  H respectivamente. Esto se llama el producto de corona regular .

Notación y convenciones [ editar ]

La estructura del producto de corona de A por H depende del H- set Ω y, en caso de que Ω sea infinito, también depende de si uno utiliza el producto de corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura, la notación utilizada puede ser deficiente y hay que prestar atención a las circunstancias.

• En la literatura A ≀ _Ω H puede representar el producto guirnalda sin restricciones A  Wr _Ω  H o el producto guirnalda restringido A  wr _Ω  H .
• Del mismo modo, A ≀ H puede representar el producto guirnalda normal sin restricciones A  Wr  H o el producto guirnalda regulares restringido A  wr  H .
• En la literatura, el H- set puede omitirse de la notación incluso si if ≠ H.
• En el caso especial de que H  =  S _n es el grupo simétrico de grado n , es común en la literatura asumir que Ω = {1, ..., n } (con la acción natural de S _n ) y luego omitir Ω en la notación Es decir, A ≀ S _n comúnmente denota A ≀ _{{1, ..., n }} S _{n en} lugar del producto de corona de flores regular A ≀ _S n S _n . En el primer caso, el grupo base es el producto de n copias de A, en este último es el producto de n ! copias de Una .

Propiedades [ editar ]

• Dado que el producto directo finito es igual a la suma directa finita de grupos, se deduce que el A  Wr _Ω  H norestringido y el producto de corona de flores A  wr _Ω  H no concuerdan si el H -set Ω es finito. En particular, esto es cierto cuando Ω = H es finito.
• A  wr _Ω  H es siempre un subgrupo de A  Wr _Ω  H .
• Universal Embedding Teorema: Si G es una extensión de A por H , entonces existe un subgrupo del producto guirnalda sin restricciones A ≀ H que es isomorfo a G . ^[1] Esto también se conoce como el teorema de incrustación de Krasner-Kaloujnine . El teorema de Krohn-Rhodes involucra lo que es básicamente el equivalente de semigrupo de esto. ^[2]
• Si A , H y Ω son finitos, entonces

| A ≀ _Ω H | = | Un | ^{| Ω |} | H |. ^[3]

Acciones canónicas de productos de corona [ editar ]

Si el grupo A actúa sobre un conjunto Λ, hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de Λ y en las que A  Wr _Ω  H (y, por lo tanto, también A  wr _Ω  H ) puede actuar.

• La acción del producto corona imprimitiva en Λ × Ω.

Si (( a _ω ), h ) ∈ A  Wr _Ω  H y (λ, ω ') ∈Λ × Ω, entonces

$${\ displaystyle ((a _ {\ omega}), h) \ cdot (\ lambda, \ omega '): = (a_ {h (\ omega')} \ lambda, h \ omega ')}.

• La acción del producto corona primitiva en Λ ^Ω .

Un elemento en Λ ^Ω es una secuencia (λ _ω ) indexada por el H- set. Dado un elemento (( a _ω ), h ) ∈ A  Wr _Ω H, su funcionamiento en (λ _ω ) ∈Λ ^Ω viene dado por

$${\ displaystyle ((a _ {\ omega}), h) \ cdot (\ lambda _ {\ omega}): = (a_ {h ^ {- 1} \ omega} \ lambda _ {h ^ {- 1} \ omega})}.

Ejemplos [ editar ]

• El grupo Lamplighter es el producto de corona restringida ℤ ₂ ≀ℤ.
• ℤ _m ≀ S _n ( Grupo simétrico generalizado ).

La base de este producto de corona es el producto directo n veces

ℤ _m ⁿ = ℤ _m × ... × ℤ _m

de copias de ℤ _m donde la acción φ:  S _n → Aut (ℤ _m ⁿ ) del grupo simétrico S _n de grado n viene dada por

φ (σ) (α ₁ , ..., α _n ): = (α _{σ (1)} , ..., α _{σ ( n )} ). ^[4]

• S ₂ ≀ S _n ( grupo hiperoctaédrico ).

La acción de S _n en {1, ..., n } es la anterior. Como el grupo simétrico S ₂ de grado 2 es isomorfo a ℤ _2, el grupo hiperoctaédrico es un caso especial de un grupo simétrico generalizado. ^[5]

• El producto de guirnalda no trivial más pequeño es ℤ ₂ ≀ℤ ₂ , que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaédrico anterior. Es el grupo de simetría del cuadrado, también llamado Dih ₄ , el grupo diédrico de orden 8.
• Sea p un primo y sea n ≥1. Deje que P sea un Sylow p -subgroup de la simétrica grupo S _p ⁿ de grado p ⁿ . Entonces P es isomorfo al producto de la corona regular iterado W _n = ℤ _p ≀ ℤ _p ≀ ... ≀ℤ _p de n copias de ℤ _p . Aquí W ₁  : = ℤ _p y W _k  : = W _k -1≀ℤ _p para todo k ≥2. ^[6] [7] Por ejemplo, el subgrupo Sylow 2 de S ₄ es el grupo ℤ ₂ ≀ℤ _{2 anterior} .
• El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo del índice 12 en el producto de productos de corona, (ℤ ₃ ≀ S ₈ ) × (ℤ ₂ ≀ S ₁₂ ), los factores correspondientes a las simetrías de las 8 esquinas y 12 bordes.