MECÁNICA CLÁSICA

cuerpo libre se asocia generalmente con el movimiento de un diagrama de cuerpo libre , un dispositivo pictórico utilizado por físicos e ingenieros. En ese contexto, se dice que un cuerpo es "libre" cuando se lo separa de otros cuerpos para fines de análisis dinámico o estático. El objeto no tiene que ser "libre" en el sentido de no ser forzado, y puede o no estar en un estado de equilibrio; más bien, no está fijo en su lugar y, por lo tanto, es "libre" de moverse en respuesta a las fuerzas y pares que puede experimentar.

Ejemplo [ editar ]

La figura 1 muestra, a la izquierda, los widgets verde, rojo y azul apilados uno encima del otro y, por alguna razón, el cilindro rojo resulta ser el cuerpo de interés. (Puede ser necesario calcular la tensión a la que está sometido, por ejemplo). A la derecha, el cilindro rojo se ha convertido en el cuerpo libre. En la figura 2, el interés se ha desplazado a la mitad izquierda del cilindro rojo y ahora es el cuerpo libre de la derecha. El ejemplo ilustra la sensibilidad de contexto del término "cuerpo libre". Un cilindro puede ser parte de un cuerpo libre, puede ser un cuerpo libre por sí mismo y, como está compuesto de partes, cualquiera de esas partes puede ser un cuerpo libre en sí mismo.

Tenga en cuenta que las figuras 1 y 2 aún no son diagramas de cuerpo libre . En un diagrama de cuerpo libre completo, el cuerpo libre se mostraría con fuerzas que actúan sobre él. ^[1]

Cuerpo que cae libremente [ editar ]

Un cuerpo libre también debe distinguirse de un cuerpo que cae libremente . En la física newtoniana, este último término se refiere a un cuerpo que está cayendo bajo gravedad pura con todas las demás fuerzas siendo cero. ^[2]En la teoría general de la relatividad de Einstein, donde la gravedad se convierte en curvatura del espacio-tiempo, un cuerpo que cae libremente no está sujeto a ninguna fuerza y ​​es un cuerpo que se mueve a lo largo de una geodésica . ^[3] Un cuerpo libre en el contexto de este artículo puede no estar siguiendo una geodésica y puede estar sujeto a todo tipo de fuerzas, gravitacionales y otras.

 ecuación de movimiento libre es una ecuación diferencial que describe un sistema mecánico en ausencia de fuerzas externas, pero solo en presencia de una fuerza inercial que depende de la elección de un marco de referencia. En mecánica no autónoma sobre un espacio de configuración.$${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}}, una ecuación de movimiento libre se define como una ecuación dinámica no autónoma de segundo orden en$${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}} que es traído a la forma

$${\ displaystyle {\ overline {q}} _ {tt} ^ {i} = 0}

con respecto a algún marco de referencia $${\ displaystyle (t, {\ overline {q}} ^ {i})} en $${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}}. Dado un marco de referencia arbitrario$${\ displaystyle (t, q ^ {i})} en $${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}}, lee una ecuación de movimiento libre

$${\ displaystyle q_ {tt} ^ {i} = d_ {t} \ Gamma ^ {i} + \ parcial _ {j} \ Gamma ^ {i} (q_ {t} ^ {j} - \ Gamma ^ {j }) - {\ frac {\ partial q ^ {i}} {\ partial {\ overline {q}} ^ {m}}} {\ frac {\ partial {\ overline {q}} ^ {m}} { \ parcial q ^ {j} \ parcial q ^ {k}}} (q_ {t} ^ {j} - \ Gamma ^ {j}) (q_ {t} ^ {k} - \ Gamma ^ {k}) ,}

dónde $${\ displaystyle \ Gamma ^ {i} = \ parcial _ {t} q ^ {i} (t, {\ overline {q}} ^ {j})} es una conexión en $${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}} Se asocia con el marco de referencia inicial. $${\ displaystyle (t, {\ overline {q}} ^ {i})}. El lado derecho de esta ecuación se trata como una fuerza inercial .

Una ecuación de movimiento libre no necesita existir en general. Se puede definir si y solo si un paquete de configuración $${\ displaystyle Q \ to \ mathbb {R}} De un sistema mecánico es un cilindro toroidal. $${\ displaystyle T ^ {m} \ times \ mathbb {R} ^ {k}}.

partícula libre es una partícula que, en cierto sentido, no está unida por una fuerza externa o, de manera equivalente, no en una región donde varía su energía potencial. En la física clásica, esto significa que la partícula está presente en un espacio "sin campo". En mecánica cuántica, significa una región de potencial uniforme, generalmente establecida en cero en la región de interés, ya que el potencial puede establecerse arbitrariamente en cero en cualquier punto (o superficie en tres dimensiones) en el espacio.

Partícula libre clásica [ editar ]

La partícula libre clásica se caracteriza simplemente por una velocidad fija v . El impulso está dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

y la energía cinética (igual a la energía total) por

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}

donde m es la masa de la partícula y v es la velocidad del vector de la partícula.

Partícula libre cuántica [ editar ]

Propagación de las ondas de Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto determinado x se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvaturadisminuye, por lo que la disminución nuevamente, y viceversa, el resultado es una amplitud alterna: una onda. Arriba: ola plana . Parte inferior: paquete de onda .

Descripción matemática [ editar ]

Artículos principales: Ecuación de Schrödinger y Onda de la materia.

Una partícula libre en mecánica cuántica no relativista se describe mediante la ecuación de Schrödinger libre :

$${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ \ psi (\ mathbf {r}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ parcial t}} \ psi (\ mathbf {r}, t)}

donde ψ es la función de onda de la partícula en la posición ry el tiempo t . La solución para una partícula con momento po vector de onda k , a una frecuencia angular ω o energía E , viene dada por la onda plana compleja :

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = Ae ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} = Ae ^ {i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}

con amplitud A . En cuanto a todas las partículas cuánticas libres o ligadas, los principios de incertidumbre de Heisenberg

$${\ displaystyle \ Delta p_ {x} \ Delta x \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}No hay incertidumbre de tiempo de energía a diferencia de lo presumido. [1]

(de manera similar para las direcciones y y z ), y las relaciones de De Broglie :

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}, \ quad E = \ hbar \ omega}

aplicar. Dado que la energía potencial es (establecida en) cero, la energía total E es igual a la energía cinética, que tiene la misma forma que en la física clásica:

$${\ displaystyle E = T \, \ rightarrow \, {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} = \ hbar \ omega}

Mediciones y cálculos [ editar ]

La integral de la función de densidad de probabilidad.

$${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ psi (\ mathbf {r}, t) = | \ psi (\ mathbf {r }, t) | ^ {2}}

donde * denota conjugado complejo , sobre todo el espacio es la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio, que debe ser la unidad si la partícula existe:

$${\ displaystyle \ int _ {\ mathrm {all \, space}} | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {r} = 1}

Esta es la condición de normalización para la función de onda. La función de onda no es normalizable para una onda plana, pero es para un paquete de ondas .

Cantidades cada vez mayores de localización de paquetes de ondas, lo que significa que la partícula se vuelve más localizada.

En el límite ħ → 0, la posición y el momento de la partícula se conocen exactamente.

Interpretación de la función de onda para una partícula spin-0 en una dimensión. Las funciones de onda mostradas son continuas, finitas, de un solo valor y normalizadas. La opacidad del color (%) de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad (que puede medir en%) de encontrar la partícula en los puntos del eje x.

La descomposición de Fourier [ editar ]

La función de onda de partícula libre puede representarse por una superposición de funciones propias del momento , con coeficientes dados por la transformada de Fourier de la función de onda inicial: ^[1]

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {({\ sqrt {2 \ pi}}) ^ {3}}} \ int _ {\ mathrm {all \, { \ textbf {k}} \, espacio}} {\ hat {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k}) e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} d ^ {3} \ mathbf {k}}

donde la integral es sobre todo k -space y$${\ displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k}) = {\ frac {\ hbar \ mathbf {k} ^ {2}} {2m}}}(para garantizar que el paquete de ondas sea una solución de la ecuación de Schrödinger de partículas libres). aquí$${\ displaystyle \ psi _ {0}} es el valor de la función de onda en el tiempo 0 y $${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {0}} es la transformada de Fourier de $${\ displaystyle \ psi _ {0}}. (La transformada de Fourier$${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k})}es esencialmente la función de onda de momento de la función de onda de posición$${\ displaystyle \ psi _ {0} (\ mathbf {r})}, pero escrito en función de $${\ displaystyle \ mathbf {k}} más bien que $${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}}.)

El valor esperado del momento p para la onda plana compleja es

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left | -i \ hbar \ nabla \ right | \ psi \ right \ rangle = \ hbar \ mathbf {k}},

y para el paquete de onda general es

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ int _ {\ mathrm {all \, espacio}} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) (- i \ hbar \ nabla) \ psi (\ mathbf {r}, t) d ^ {3} \ mathbf {r} = \ int _ {\ mathrm {all \, {\ textbf {k}} \, espacio}} \ hbar \ mathbf {k} | {\ hat {\ psi}} _ {0} (\ mathbf {k}) | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {k}}.

El valor esperado de la energía E es

$${\ displaystyle \ langle E \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left | - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ int _ {\ mathrm {all \, space}} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ derecha) \ psi (\ mathbf {r}, t) d ^ {3} \ mathbf {r}.

Velocidad de grupo y velocidad de fase [ editar ]

Propagación de un paquete de ondas, con el movimiento de un solo pico sombreado en púrpura. Los picos se mueven a la velocidad de fase, mientras que el paquete global se mueve a la velocidad de grupo.

La velocidad de fase se define como la velocidad a la que se propaga una solución de onda plana, es decir,

$${\ displaystyle v_ {p} = {\ frac {\ omega} {k}} = {\ frac {\ hbar k} {2m}} = {\ frac {p} {2m}}}.

Tenga en cuenta que $${\ displaystyle {\ frac {p} {2m}}}No es la velocidad de una partícula clásica con impulso.$${\ displaystyle p}; más bien, es la mitad de la velocidad clásica.

Mientras tanto, supongamos que la función de onda inicial $${\ displaystyle \ psi _ {0}}es un paquete de onda cuya transformada de Fourier$${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {0}} se concentra cerca de un vector de onda particular $${\ displaystyle \ mathbf {k}}. Entonces la velocidad de grupo de la onda plana se define como

$${\ displaystyle v_ {g} = \ nabla \ omega (\ mathbf {k}) = {\ frac {\ hbar \ mathbf {k}} {m}} = {\ frac {\ mathbf {p}} {m} }},

lo que concuerda con la fórmula para la velocidad clásica de la partícula. La velocidad de grupo es la velocidad (aproximada) a la que se propaga todo el paquete de ondas, mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que se mueven los picos individuales en el paquete de ondas. ^[2] La figura ilustra este fenómeno, con los picos individuales dentro del paquete de onda propagándose a la mitad de la velocidad del paquete general.

Spread del paquete de ondas [ editar ]

La noción de velocidad de grupo se basa en una aproximación lineal a la relación de dispersión $${\ displaystyle \ omega (k)} cerca de un valor particular de $${\ displaystyle k}. ^[3] En esta aproximación, la amplitud del paquete de ondas se mueve a una velocidad igual a la velocidad del grupo sin cambiar de forma . Este resultado es una aproximación que no logra captar ciertos aspectos interesantes de la evolución de una partícula cuántica libre. En particular, el ancho del paquete de onda, medido por la incertidumbre en la posición, crece linealmente en el tiempo por grandes tiempos. Este fenómeno se llama la propagación del paquete de onda para una partícula libre.

Específicamente, no es difícil calcular una fórmula exacta para la incertidumbre $${\ displaystyle \ Delta _ {\ psi (t)} X} en función del tiempo, donde $${\ displaystyle X}es el operador de posición. Trabajando en una dimensión espacial por simplicidad, tenemos: ^[4]

$${\ displaystyle (\ Delta _ {\ psi (t)} X) ^ {2} = {\ frac {t ^ {2}} {m ^ {2}}} (\ Delta _ {\ psi _ {0} } P) ^ {2} + {\ frac {2t} {m}} \ left (\ left \ langle {\ frac {XP + PX} {2}} \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} - \ left \ langle X \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} \ left \ langle P \ right \ rangle _ {\ psi _ {0}} \ right) + (\ Delta _ {\ psi _ { 0}} X) ^ {2}},

dónde $${\ displaystyle \ psi _ {0}}Es la función de onda del tiempo cero. La expresión entre paréntesis en el segundo término en el lado derecho es la covarianza cuántica de$${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle P}.

Así, para grandes tiempos positivos, la incertidumbre en $${\ displaystyle X} Crece linealmente, con el coeficiente de $${\ displaystyle t} igual a $${\ displaystyle (\ Delta _ {\ psi _ {0}} P) / m}. Si el impulso de la función de onda inicial$${\ displaystyle \ psi _ {0}}está muy localizado, el paquete de ondas se propagará lentamente y la aproximación de velocidad de grupo permanecerá en buen estado durante mucho tiempo. Intuitivamente, este resultado dice que si la función de onda inicial tiene un impulso muy definido, entonces la partícula tiene una velocidad claramente definida y se propagará (a una buena aproximación) a esta velocidad durante un largo tiempo.

 modelo Frenkel-Kontorova , también conocido como modelo FK , es un modelo fundamental de la física no lineal de baja dimensión . ^[1]

El modelo de FK generalizado describe una cadena de partículas clásicas con interacciones vecinas más cercanas y sujetas a un potencial periódico de sustrato en el sitio. ^[2] En su forma original y más simple, las interacciones se consideran armónicas y el potencial de ser sinusoidal con una periodicidad proporcional a la distancia de equilibrio de las partículas. Las diferentes opciones para la interacción y los potenciales de sustrato y la inclusión de una fuerza motriz pueden describir una amplia gama de situaciones físicas diferentes.

Originalmente introducido por Yakov Frenkel y Tatiana Kontorova en 1938 para describir la estructura y la dinámica de una red cristalina cerca de un núcleo de dislocación, el modelo FK se ha convertido en uno de los modelos estándar en la física de la materia condensada debido a su aplicabilidad para describir muchos fenómenos físicos. Los fenómenos físicos que pueden modelarse mediante el modelo FK incluyen dislocaciones, la dinámica de las capas de adsorbato en las superficies, multitudes, paredes de dominio en estructuras ordenadas magnéticamente, largas uniones de Josephson , cadenas con enlaces de hidrógeno y cadenas de tipo ADN. ^[3] [4] Una modificación del modelo FK, el modelo Tomlinson, juega un papel importante en el campo de la tribología .

Las ecuaciones para las configuraciones estacionarias del modelo FK se reducen a las del mapa estándar o del mapa de la teoría estocástica Chirikov-Taylor . ^[1]

En la aproximación de límites continuos, el modelo FK se reduce a la ecuación de seno o Gordon exactamente integrable o ecuación de SG que permite soluciones de solitón . Por esta razón, el modelo FK también se conoce como la ecuación 'sine-Gordon discreta' o 'periódica de Klein-Gordon'.

Historia [ editar ]

Ulrich Dehlinger propuso un modelo simple de una cadena armónica en un potencial de sustrato periódico en 1928. Dehlinger derivó una expresión analítica aproximada para las soluciones estables de este modelo, que denominó Verhakungen, que corresponde a lo que hoy se conoce como pares de torceduras . Un modelo esencialmente similar fue desarrollado por Ludwig Prandtl en 1912/13, pero no se publicó hasta 1928. ^[5]

El modelo fue propuesto independientemente por Yakov Frenkel y Tatiana Kontorova en su artículo de 1938 Sobre la teoría de la deformación plástica y el hermanamiento para describir la dinámica de una red cristalina cerca de una dislocación y para describir el hermanamiento de cristales . ^[4] En la cadena armónica lineal estándar, cualquier desplazamiento de los átomos resultará en ondas y la única configuración estable será la trivial. Para la cadena no lineal de Frenkel y Kontorova existen configuraciones estables junto a la trivial. Para pequeños desplazamientos atómicos, la situación se asemeja a la cadena lineal, sin embargo, para grandes desplazamientos, es posible crear una dislocación única en movimiento para la cual Frenkel y Kontorova derivaron una solución analítica.^[6] La forma de estas dislocaciones se define solo por los parámetros del sistema, como la masa y la constante elástica de los resortes.

Las dislocaciones, también llamadas solitones , se distribuyen por defectos no locales y, matemáticamente, son un tipo de defecto topológico . La característica definitoria de las solitones / dislocaciones es que se comportan de manera muy similar a las partículas estables, pueden moverse mientras mantienen su forma general. Dos solitones de orientación igual y opuesta pueden cancelarse en caso de colisión, pero un solo solitón no puede aniquilarse espontáneamente.

Modelo generalizado [ editar ]

El modelo de FK generalizado trata una cadena unidimensional de átomos con la interacción del vecino más cercano en el potencial periódico en el sitio, el Hamiltoniano para este sistema es

$${\ displaystyle {\ cal {H}} = {\ frac {m_ {a}} {2}} \ sum _ {n} {\ bigg (} {\ frac {dx_ {n}} {dt}} {\ bigg)} ^ {2} + U}

( 1 )

donde el primer término es la energía cinética de la $${\ displaystyle n} átomos de masa $${\ displaystyle m_ {a}} y la energía potencial $${\ displaystyle U} es una suma de la energía potencial debida a la interacción del vecino más cercano y la del potencial del sustrato $${\ displaystyle U = U_ {sub} + U_ {int}}

El potencial del sustrato es periódico, es decir $${\ displaystyle U_ {sub} (x + a_ {s}) = U_ {sub} (x)} para algunos $${\ displaystyle a_ {s}}.

Para las interacciones no armónicas y / o el potencial no sinusoidal, el modelo FK dará lugar a una transición de fase proporcional e inconmensurable.

El modelo FK se puede aplicar a cualquier sistema que pueda tratarse como dos subsistemas acoplados donde un subsistema puede aproximarse como una cadena lineal y el segundo subsistema como un potencial de sustrato inmóvil. ^[1]

Un ejemplo sería la adsorción de una capa sobre una superficie de cristal, aquí la capa de adsorción puede aproximarse como la cadena y la superficie de cristal como un potencial en el sitio.

Modelo clásico [ editar ]

En esta sección examinamos en detalle la forma más simple del modelo FK. Una versión detallada de esta derivación se puede encontrar en el siguiente documento. ^[2] El modelo, que se muestra esquemáticamente en la figura 1, describe una cadena unidimensional de átomos con una interacción armónica del vecino más cercano y sujeta a un potencial sinusoidal. El movimiento transversal de los átomos se ignora, es decir, los átomos solo pueden moverse a lo largo de la cadena. El hamiltoniano para esta situación está dado por$${\ displaystyle (1)} donde especificamos el potencial de interacción para ser

$${\ displaystyle U_ {int} = {\ frac {g} {2}} \ sum _ {n} (x_ {n + 1} -x_ {n} -a_ {0}) ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle g} es la constante elástica y $${\ displaystyle a_ {0}}Es la distancia de equilibrio interatómico. El potencial del sustrato es

$${\ displaystyle U_ {sub} = {\ frac {\ epsilon _ {s}} {2}} \ sum _ {n} {\ bigg [} 1- \ cos {\ bigg (} {\ frac {2 \ pi x_ {n}} {a_ {s}}} {\ bigg)} {\ bigg]}}

con $${\ displaystyle \ epsilon _ {s}} la amplitud y $${\ displaystyle a_ {s}} el período.

Las siguientes variables adimensionales se introducen para volver a escribir el Hamiltoniano:

$${\ displaystyle x_ {n} \ rightarrow {\ bigg (} {\ frac {2 \ pi} {a_ {s}}} {\ bigg)} x_ {n}, \ qquad t \ rightarrow {\ bigg (} { \ frac {2 \ pi} {a_ {s}}} {\ bigg)} {\ sqrt {\ frac {\ epsilon _ {s}} {2m_ {a}}}} t, \ qquad a_ {0} \ rightarrow {\ frac {2 \ pi} {a_ {s}}}, \ qquad g \ rightarrow g {\ frac {a_ {s} / 2 \ pi ^ {2}} {\ epsilon _ {s} / 2} }}

En forma adimensional el hamiltoniano es

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ cal {H}} {\ epsilon _ {s} / 2}} = \ sum _ {n} {\ bigg [} {\ frac {1} {2}} {\ frac {dx_ {n}} {dt}} ^ {2} + (1- \ cos x_ {n} + {\ frac {1} {2}} g (x_ {n + 1} -x_ {n} - a_ {0}) ^ {2} {\ bigg]}}

que describe una cadena armónica de átomos de masa unitaria en un potencial sinusoidal de periodo $${\ displaystyle a_ {s} = 2 \ pi}con amplitud $${\ displaystyle \ epsilon _ {s} = 2}. La ecuación de movimiento para este hamiltoniano es

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {n}} {dt ^ {2}}} + \ sin x_ {n} -g (x_ {n + 1} + x_ {n-1} -2x_ {n}) = 0}

Solo consideramos el caso donde $${\ displaystyle a_ {0}} y $${\ displaystyle a_ {s}} son proporcionales, por simplicidad tomamos $${\ displaystyle a_ {0} = a_ {s}}. Así, en el estado fundamental de la cadena, cada mínimo del potencial del sustrato está ocupado por un átomo. Introducimos la variable.$${\ displaystyle u_ {n}} para los desplazamientos atómicos que se define por

$${\ displaystyle x_ {n} = na_ {s} + u_ {n}}

Para pequeños desplazamientos. $${\ displaystyle u_ {n} \ ll a_ {s}} La ecuación de movimiento puede ser linealizada y toma la siguiente forma.

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u_ {n}} {dt ^ {2}}} + u_ {n} -g (u_ {n + 1} + u_ {n-1} -2u_ {n }) = 0}

Esta ecuación de movimiento describe fonones con$${\ displaystyle u_ {n} \ propto \ exp [i (\ omega _ {ph} (\ kappa) t- \ kappa n)]} con la relación de dispersión de fonones $${\ displaystyle \ omega _ {ph} ^ {2} (\ kappa) = \ omega _ {min} ^ {2} + 2g (1- \ cos \ kappa)} con $${\ displaystyle | \ kappa | \ leq \ pi}el número de orden de las dimensiones. Esto demuestra que el espectro de frecuencias de la cadena tiene un intervalo de banda. $${\ displaystyle \ omega _ {min} \ equiv \ omega _ {ph} (0) = 1} con frecuencia de corte $${\ displaystyle \ omega _ {max} \ equiv \ omega _ {ph} (\ pi) = {\ sqrt {\ omega _ {min} ^ {2} + 4g}}}.

La ecuación de movimiento linealizada no es válida cuando los desplazamientos atómicos no son pequeños y se debe usar la ecuación de movimiento no lineal. Las ecuaciones no lineales pueden admitir nuevos tipos de excitaciones localizadas que se iluminan mejor considerando la aproximación de límite continuo del modelo FK. La aplicación del procedimiento estándar de Rosenau ^[7] para derivar ecuaciones de límite continuo a partir de una red discreta produce la ecuación de sine-Gordon perturbada $${\ displaystyle u_ {tt} + \ sin u- (a_ {s} ^ {2} g) u_ {xx} = \ epsilon f (u)} aquí la función $${\ displaystyle \ epsilon f (u)} Describe en primer orden los efectos debidos a la discreción de la cadena.

$${\ displaystyle \ epsilon f (u) = {\ frac {1} {12}} a_ {s} ^ {2} (u_ {xxtt} + u_ {x} ^ {2} \ sin u-u_ {xx} \ cos u)}

Descuidando los efectos de discreción e introduciendo $${\ displaystyle x \ rightarrow {\ frac {x} {a_ {s} {\ sqrt {g}}}}} reduce la ecuación de movimiento a la ecuación de sine-Gordon (SG) en su forma estándar.

$${\ displaystyle u_ {tt} -u_ {xx} + \ sin u = 0}

La ecuación SG da lugar a tres excitaciones / soluciones elementales: torceduras, respiradores y fonones. Las torceduras, o solitones topológicos, pueden entenderse como la solución que conecta dos mínimos idénticos más cercanos del potencial periódico de sustrato, por lo que son el resultado de la degeneración del estado fundamental.

$${\ displaystyle u_ {k} (x, t) = 4 \ tan ^ {- 1} (\ exp [- \ sigma \ gamma (v) (x-vt)])}

dónde $${\ displaystyle \ sigma = \ pm 1} es la carga topologica, para $${\ displaystyle \ sigma = 1} La solución se llama torcedura y para $${\ displaystyle \ sigma = -1}es un antikink. La anchura de la torcedura$${\ displaystyle \ gamma} está determinada por la velocidad de torsión $${\ displaystyle v} dónde $${\ displaystyle v} Se mide en unidades de la velocidad del sonido. $${\ displaystyle c} y es $${\ displaystyle \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}. Para movimiento de pliegue con$${\ displaystyle v ^ {2} \ ll c ^ {2}} el ancho se aproxima a 1. La energía de la torcedura en unidades adimensionales es

$${\ displaystyle E_ {k} = mc ^ {2} \ gamma (v) \ approx mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

a partir de la cual la masa del resto de la torcedura sigue como $${\ displaystyle m = {\ frac {2} {\ pi ^ {2} {\ sqrt {g}}}}} y los pliegues descansan energía como $${\ displaystyle \ epsilon _ {k} = mc ^ {2} = 8 {\ sqrt {g}}}.

Dos torceduras estáticas vecinas con la distancia. $${\ displaystyle R} Tendrá energía de repulsión $${\ displaystyle v_ {int} \ approx \ epsilon _ {k} \ sinh ^ {- 2} {\ bigg (} {\ frac {R} {2a_ {s} {\ sqrt {g}}}} {\ bigg )}}

mientras que el kink y el antikink atraerán con la interacción $${\ displaystyle v_ {int} (R) \ approx - \ epsilon _ {k} \ cosh ^ {- 2} {\ bigg (} {\ frac {R} {2a_ {s} {\ sqrt {g}}} } {\ bigg)}}

Un respiro es

$${\ displaystyle u_ {br} (x, t) = 4 \ tan ^ {- 1} {\ bigg [} {\ bigg (} {\ frac {\ sqrt {1- \ Omega ^ {2}}} {\ Omega}} {\ bigg)} {\ frac {\ sin (\ Omega t)} {\ cosh (x {\ sqrt {1- \ Omega ^ {2}}}}} {\ bigg]}}

que describe la oscilación no lineal con frecuencia $${\ displaystyle \ Omega} y {\ displaystyle 0 <\ Omega <\ omega _ {min}}

$${\ displaystyle \ epsilon _ {br} = 2 \ epsilon _ {k} {\ sqrt {1- \ Omega ^ {2}}}}

para bajas frecuencias $${\ displaystyle \ Omega \ ll 1}El respiradero puede verse como un par acoplado kink-antikink. Las torceduras y los respiradores pueden moverse a lo largo de la cadena sin ninguna pérdida de energía disipativa. Además, cualquier colisión entre todas las excitaciones de la ecuación SG dará como resultado solo un cambio de fase. Por lo tanto, las torceduras y los respiradores pueden considerarse cuasi partículas no lineales del modelo SG. Para modificaciones casi integrables de la ecuación SG, como la aproximación continua del modelo FK, las torceduras pueden considerarse cuasi partículas deformables , siempre que los efectos de discreción sean pequeños. ^[2]

El potencial de Peierls-Nabarro [ editar ]

En la sección anterior, las excitaciones del modelo FK se derivaron considerando el modelo en una aproximación de límite continuo. Dado que las propiedades de las torceduras solo se modifican ligeramente por la discreción del modelo primario, la ecuación SG puede describir adecuadamente la mayoría de las características y la dinámica del sistema.

La red discreta, sin embargo, influye en el movimiento de la torsión de una manera única con la existencia del potencial de Peierls-Nabarro (PN) $${\ displaystyle V_ {PN} (X)}. Aquí,$${\ displaystyle X}Es la posición del centro de la torcedura. La existencia del potencial de PN se debe a la falta de invariancia de la traducción en una cadena discreta. En el límite continuo, el sistema es invariante para cualquier traducción de la torcedura a lo largo de la cadena. Para una cadena discreta solo aquellas traducciones que son un múltiplo entero del espaciado de la red$${\ displaystyle a_ {s}}dejar el sistema invariante. La barrera de la PN,$${\ displaystyle E_ {PN}}, es la barrera de energía más pequeña que una torcedura debe superar para que pueda moverse a través de la celosía. El valor de la barrera PN es la diferencia entre la energía potencial de la torsión para una configuración estacionaria estable e inestable. ^[2] Las configuraciones estacionarias se muestran esquemáticamente en la figura 2.