TEMAS DE FÍSICA

CINEMÁTICA , CONTINUACIÓN I

Trayectorias de partículas bajo aceleración constante [ editar ]

Para el caso de aceleración constante, la ecuación diferencial Eq 1) puede integrarse ya que el vector de aceleración A de un punto P es constante en magnitud y dirección. Se dice que tal punto se somete a un movimiento uniformemente acelerado ^{[ cita requerida ]} . En este caso, la velocidad V (t) y luego la trayectoria P (t) de la partícula se pueden obtener al integrar la ecuación de aceleración A con respecto al tiempo. ^[13]

Suponiendo que las condiciones iniciales de la posición, $${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {0}}, y la velocidad $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {0}} en el momento $${\ displaystyle t = 0} Como se sabe, la primera integración produce la velocidad de la partícula en función del tiempo.

$${\ displaystyle \ mathbf {V} (t) = \ mathbf {V} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {A} d \ tau = \ mathbf {V} _ {0} + \ mathbf {A} t.}

Una segunda integración cede su trayectoria (trayectoria),

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = \ mathbf {P} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {V} (\ tau) d \ tau = \ mathbf {P} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} (\ mathbf {V} _ {0} + \ mathbf {A} \ tau) d \ tau = \ mathbf {P} _ {0} + \ mathbf {V} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {A} t ^ {2}.}

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Dado que la aceleración es constante,

$${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {V}} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0}} {t }}} Puede ser sustituido en la ecuación anterior para dar:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = \ mathbf {P} _ {0} + \ left ({\ frac {\ mathbf {V} + \ mathbf {V} _ {0}} {2}} \ derecha) t.

Se puede tener una relación entre la velocidad, la posición y la aceleración sin una dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio por tiempo y sustituyendo y simplificando

$${\ displaystyle t = {\ frac {\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0}} {\ mathbf {A}}}}

$${\ displaystyle (\ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0}) \ circ \ mathbf {A} = \ left (\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0} \ right) circ {\ frac {\ mathbf {V} + \ mathbf {V} _ {0}} {2}} \,}

donde ∘ denota el producto de puntos , que es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores.

$${\ displaystyle 2 (\ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0}) \ circ \ mathbf {A} = | \ mathbf {V} | ^ {2} - | \ mathbf {V} _ {0 } | ^ {2}.}

El punto puede ser reemplazado por el coseno del ángulo. $${\ displaystyle \ alpha}entre los vectores ^{[ cita requerida ]} y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso:

$${\ displaystyle 2 | \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} | \ cdot | \ mathbf {A} | \ cdot \ cos \ alpha = | \ mathbf {V} | ^ {2} - | \ mathbf {V} _ {0} | ^ {2}.}

En el caso de la aceleración siempre en la dirección del movimiento, el ángulo entre los vectores ($${\ displaystyle \ alpha}) es 0, entonces $${\ displaystyle \ cos 0 = 1}y

$${\ displaystyle | \ mathbf {V} | ^ {2} = | \ mathbf {V} _ {0} | ^ {2} +2 | \ mathbf {A} | \ cdot | \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} |.}

Esto se puede simplificar usando la notación para las magnitudes de los vectores. $${\ displaystyle || \ mathbf {A} || = a, || \ mathbf {V} || = v, || \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} || = \ Delta x }^{[ cita requerida ]} donde$${\ displaystyle \ Delta x}puede ser cualquier camino curvilíneo tomado como la constante aceleración tangencial se aplica a lo largo de ese camino ^{[ cita requerida ]} , por lo que

$${\ displaystyle v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ cdot \ Delta x.}

Esto reduce las ecuaciones paramétricas de movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad frente a posición. Esta relación es útil cuando el tiempo es desconocido. Tambien sabemos que$${\ displaystyle \ Delta x = \ int (v) dt} o $${\ displaystyle \ Delta x}es el área debajo de av, t gráfica ^[14]

Gráfico de física del tiempo de velocidad

. Podemos tomar$${\ displaystyle \ Delta x}añadiendo el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo, y el área de un rectángulo es el rectángulo.$${\ displaystyle A \ cdot B} dónde $${\ displaystyle A} es el ancho y $${\ displaystyle B}es la altura. ^[15] En este caso$${\ displaystyle A = t} y $${\ displaystyle B = v_ {0}} (tenga en cuenta que la $${\ displaystyle A} Aquí es diferente de la aceleración. $${\ displaystyle a}). Esto significa que el área inferior es$${\ displaystyle tv_ {0}}. Ahora encontremos el área superior (un triángulo). El área de un trangle es$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} BH} dónde $${\ displaystyle B} es la base y $${\ displaystyle H}es la altura. ^[16] En este caso,$${\ displaystyle B = t} Y $${\ displaystyle H = at} o $${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {2}} att = {\ frac {1} {2}} en ^ {2} = {\ frac {at ^ {2}} {2}}}. Añadiendo$${\ displaystyle tv_ {0}} y $${\ displaystyle {\ frac {at ^ {2}} {2}}} resultados en la ecuación $${\ displaystyle \ Delta x} resultados en la ecuación $${\ displaystyle \ Delta x = tv_ {0} + {\ frac {at ^ {2}} {2}}}. ^[17]Esta ecuación es muy útil cuando la velocidad final$${\ displaystyle v} es desconocido.

Figura 2: velocidad y aceleración para el movimiento circular no uniforme: el vector de velocidad es tangencial a la órbita, pero el vector aceleración no es radialmente hacia dentro debido a su componente tangencial un _θ que aumenta la velocidad de rotación: d ω / d t = | un _theta | / R .

Trayectorias de partículas en coordenadas cilíndricas polares [ editar ]

Consulte también: Coordenadas generalizadas , Coordenadas curvilíneas , Coordenadas ortogonales y Frenet-Serret.

A menudo es conveniente formular la trayectoria de una partícula P(t) = (X (t), Y (t) y Z (t)) usando coordenadas polares en el plano X - Y. En este caso, su velocidad y aceleración toman una forma conveniente.

Recordemos que la trayectoria de una partícula P se define por su vector de coordenadas P medido en un marco de referencia fijo F . A medida que la partícula se mueve, su vector de coordenadas P (t) traza su trayectoria, que es una curva en el espacio, dada por:

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = X (t) {\ hat {\ imath}} + Y (t) {\ hat {\ jmath}} + Z (t) {\ hat {k} }

donde i , j y k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes X , Y y Z del marco de referencia F , respectivamente.

Considere una partícula P que se mueve solo en la superficie de un cilindro circular R (t) = constante, es posible alinear el eje Z del marco fijo F con el eje del cilindro. Luego, el ángulo θ alrededor de este eje en el plano X - Y se puede usar para definir la trayectoria como,

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = R \ cos \ theta (t) {\ hat {\ imath}} + R \ sin \ theta (t) {\ hat {\ jmath}} + Z ( t) {\ hat {k}}.}

Las coordenadas cilíndricas para P (t) se pueden simplificar introduciendo los vectores de unidades radiales y tangenciales,

$${\ displaystyle {\ textbf {e}} _ {r} = \ cos \ theta (t) {\ hat {\ imath}} + \ sin \ theta (t) {\ hat {\ jmath}}, \ quad { \ textbf {e}} _ {\ theta} = - \ sin \ theta (t) {\ hat {\ imath}} + \ cos \ theta (t) {\ hat {\ jmath}}.}

y sus derivados del tiempo del cálculo elemental:

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ textbf {e}} _ {r} = {\ dot {\ textbf {e}}} _ {r} = {\ dot {\ theta}} { \ textbf {e}} _ {\ theta}}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ dot {\ textbf {e}}} _ {r} = {\ ddot {\ textbf {e}}} _ {r} = {\ ddot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} - {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {r}}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} = {\ dot {\ textbf {e}}} _ {\ theta} = - {\ dot {\ theta }} {\ textbf {e}} _ {r}}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ dot {\ textbf {e}}} _ {\ theta} = {\ ddot {\ textbf {e}}} _ {\ theta} = - {\ ddot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {r} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ textbf {e}} _ {\ theta}}.

Usando esta notación, P (t) toma la forma,

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = R {\ textbf {e}} _ {r} + Z (t) {\ hat {k}},}

donde R es constante en el caso de la partícula que se mueve sólo en la superficie de un cilindro de radio R .

En general, la trayectoria P (t) no está limitada a un cilindro circular, por lo que el radio R varía con el tiempo y la trayectoria de la partícula en coordenadas cilíndricas-polares se convierte en:

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = R (t) {\ textbf {e}} _ {r} + Z (t) {\ hat {k}}.}

Donde R, theta y Z pueden ser funciones de tiempo continuamente diferenciables y la notación de función se descarta para simplificar. El vector de velocidad V _P es la derivada temporal de la trayectoria P (t), que produce:

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} (R {\ textbf {e}} _ {r} + Z {\ hat {k}}) = { \ dot {R}} {\ textbf {e}} _ {r} + R {\ dot {\ textbf {e}}} _ {r} + {\ dot {Z}} {\ hat {k}} = {\ dot {R}} {\ textbf {e}} _ {r} + R {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} + {\ dot {Z}} {\ sombrero {k}}}.

De forma similar, la aceleración A _P , que es la derivada en el tiempo de la velocidad V _P , viene dada por:

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} ({\ dot {R}} {\ textbf {e}} _ {r} + R {\ dot { \ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} + {\ dot {Z}} {\ hat {k}}) = ({\ ddot {R}} - R {\ dot {\ theta} } ^ {2}) {\ textbf {e}} _ {r} + (R {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {R}} {\ dot {\ theta}}) {\ textbf { e}} _ {\ theta} + {\ ddot {Z}} {\ hat {k}}.}

El termino $${\ displaystyle -R {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ textbf {e}} _ {r}Actúa hacia el centro de curvatura de la trayectoria en ese punto de la trayectoria, comúnmente se denomina aceleración centrípeta. El termino$${\ displaystyle 2 {\ dot {R}} {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta}} Se llama la aceleración de Coriolis.

Radio constante [ editar ]

Si la trayectoria de la partícula está limitada a un cilindro, entonces el radio R es constante y los vectores de velocidad y aceleración se simplifican. La velocidad de V _P es la derivada temporal de la trayectoria P (t),

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} (R {\ textbf {e}} _ {r} + Z {\ hat {k}}) = R {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} + {\ dot {Z}} {\ hat {k}}.}

El vector de aceleración se convierte en:

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} (R {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} + {\ punto {Z}} {\ hat {k}}) = - R {\ punto {\ theta}} ^ {2} {\ textbf {e}} _ {r} + R {\ ddot {\ theta}} { \ textbf {e}} _ {\ theta} + {\ ddot {Z}} {\ hat {k}}.}

Trayectorias circulares planas [ editar ]

Cada partícula en la rueda se desplaza en una trayectoria circular plana (Kinematics of Machinery, 1876). ^[18]

Un caso especial de una trayectoria de partículas en un cilindro circular ocurre cuando no hay movimiento a lo largo del eje Z :

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = R {\ textbf {e}} _ {r} + Z_ {0} {\ hat {k}},}

donde R y Z ₀ son constantes. En este caso, la velocidad V _P viene dada por:

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} (R {\ textbf {e}} _ {r} + Z_ {0} {\ hat {k}} ) = R {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta} = R \ omega {\ textbf {e}} _ {\ theta},}

dónde

$${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ theta}},}

es la velocidad angular del vector unitario e _θ alrededor del eje z del cilindro.

La aceleración A _P de la partícula P ahora viene dada por:

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} (R {\ dot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta}) = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ textbf {e}} _ {r} + R {\ ddot {\ theta}} {\ textbf {e}} _ {\ theta}.}

Los componentes

$${\ displaystyle a_ {r} = - R {\ dot {\ theta}} ^ {2}, \ quad a _ {\ theta} = R {\ ddot {\ theta}},}

Se llaman, respectivamente, los componentes radiales y tangenciales de la aceleración.

La notación para la velocidad angular y la aceleración angular a menudo se define como

$${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ theta}}, \ quad \ alpha = {\ ddot {\ theta}},}

por lo que los componentes de aceleración radial y tangencial para trayectorias circulares también se escriben como

$${\ displaystyle a_ {r} = - R \ omega ^ {2}, \ quad a _ {\ theta} = R \ alpha.}

Trayectorias de puntos en un cuerpo que se mueve en el plano [ editar ]

El movimiento de los componentes de un sistema mecánico se analiza adjuntando un marco de referencia a cada parte y determinando cómo se mueven los distintos marcos de referencia entre sí. Si la rigidez estructural de las piezas es suficiente, entonces se puede descuidar su deformación y se pueden usar transformaciones rígidas para definir este movimiento relativo. Esto reduce la descripción del movimiento de las diversas partes de un sistema mecánico complicado a un problema de describir la geometría de cada parte y la asociación geométrica de cada parte en relación con otras partes.

La geometría es el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen iguales mientras que el espacio se transforma de varias maneras; más técnicamente, es el estudio de invariantes bajo un conjunto de transformaciones. ^[19] Estas transformaciones pueden causar el desplazamiento del triángulo en el plano, mientras que el ángulo del vértice y las distancias entre los vértices no cambian. La cinemática a menudo se describe como geometría aplicada, donde el movimiento de un sistema mecánico se describe mediante las rígidas transformaciones de la geometría euclidiana.

Las coordenadas de los puntos en un plano son vectores bidimensionales en R ² (espacio bidimensional). Las transformaciones rígidas son aquellas que preservan la distancia entre dos puntos cualesquiera. El conjunto de transformaciones rígidas en un espacio n -dimensional se llama el grupo euclidiano especial en R ⁿ , y se denota SE (n) .

Desplazamientos y movimiento [ editar ]

El movimiento de cada uno de los componentes del motor de vapor Boulton & Watt (1784) se modela mediante un conjunto continuo de desplazamientos rígidos.

La posición de un componente de un sistema mecánico en relación con otro se define introduciendo un marco de referencia , digamos M , en uno que se mueve en relación con un marco fijo, F, en el otro. La transformación rígida, o desplazamiento, de M en relación con F define la posición relativa de los dos componentes. Un desplazamiento consiste en la combinación de una rotación y una traslación.

El conjunto de todos los desplazamientos de M en relación con F se denomina espacio de configuración de M. Una curva suave de una posición a otra en este espacio de configuración es un conjunto continuo de desplazamientos, denominado movimiento de M en relación con F. El movimiento de a El cuerpo consiste en un conjunto continuo de rotaciones y traslaciones.

Representación de la matriz [ editar ]

La combinación de una rotación y una traslación en el plano R ² se puede representar mediante un cierto tipo de matriz 3x3 conocida como una transformada homogénea. La transformada homogénea de 3x3 se construye a partir de una matriz de rotación A () de 2x2 y el vector de traslación 2x1 d = (d _x , d _y ), como:

{\ displaystyle [T (\ phi, \ mathbf {d})] = {\ begin {bmatrix} A (\ phi) & \ mathbf {d} \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & d_ {x} \\\ sin \ phi & \ cos \ phi & d_ {y} \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Estas transformaciones homogéneas realizan transformaciones rígidas en los puntos en el plano z = 1, es decir, en puntos con coordenadas p = (x, y, 1).

En particular, permita que p defina las coordenadas de los puntos en un marco de referencia M coincidentes con un marco fijo F. Luego, cuando el origen de M se desplaza por el vector de traslación d en relación con el origen de F y se gira por el ángulo φ con respecto a El eje x de F , las nuevas coordenadas en F de los puntos en Mvienen dadas por:

{\ displaystyle {\ textbf {P}} = [T (\ phi, \ mathbf {d})] {\ textbf {p}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & d_ { x} \\\ sin \ phi & \ cos \ phi & d_ {y} \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {Bmatrix}}.}

Las transformaciones homogéneas representan transformaciones afines . Esta formulación es necesaria porque una traducción no es una transformación lineal de R ² . Sin embargo, al utilizar la geometría proyectiva, de modo que R ² se considera un subconjunto de R ³ , las traducciones se convierten en transformaciones lineales afines. ^[20]

Traducción pura [ editar ]

Si un cuerpo rígido se mueve para que su marco de referencia M no gire (∅ = 0) en relación con el marco fijo F , el movimiento se denomina traducción pura. En este caso, la trayectoria de cada punto del cuerpo es un desplazamiento de la trayectoria d (t) del origen de M, es decir:

$${\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = [T (0, {\ textbf {d}} (t))] {\ textbf {p}} = {\ textbf {d}} (t) + {\ textbf {p}}.}

Por lo tanto, para los cuerpos en traducción pura, la velocidad y la aceleración de cada punto P en el cuerpo están dadas por:

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = {\ dot {\ textbf {P}}} (t) = {\ dot {\ textbf {d}}} (t) = {\ textbf {V }} _ {O}, \ quad {\ textbf {A}} _ {P} = {\ ddot {\ textbf {P}}} (t) = {\ ddot {\ textbf {d}}} (t) = {\ textbf {A}} _ {O},}

donde el punto representa la derivada con respecto al tiempo y V _O y A _O son la velocidad y la aceleración, respectivamente, del origen del bastidor móvil M . Recuerde que el vector de coordenadas p en M es constante, por lo que su derivada es cero.

Rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo [ editar ]

Artículo principal: Movimiento circular.

Figura 1: El vector de velocidad angular Ω apunta hacia arriba para rotación hacia la izquierda y hacia abajo para rotación hacia la derecha, según lo especificado por la regla de la mano derecha . La posición angular θ ( t ) cambia con el tiempo a una velocidad ω ( t ) = d θ / d t .

La cinemática rotacional o angular es la descripción de la rotación de un objeto. ^[21] La descripción de la rotación requiere algún método para describir la orientación. Las descripciones comunes incluyen los ángulos de Euler y la cinemática de los giros inducidos por productos algebraicos.

En lo que sigue, la atención se limita a la rotación simple sobre un eje de orientación fija. El eje z ha sido elegido por conveniencia.

Posición 

Esto permite la descripción de una rotación como la posición angular de un marco de referencia planar M con respecto a una F fija sobre este eje z compartido . Las coordenadas p = ( x , y ) en M están relacionadas con las coordenadas P = (X, Y) en Fmediante la ecuación de matriz:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = [A (t)] \ mathbf {p},}

dónde

{\ displaystyle [A (t)] = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta (t) & - \ sin \ theta (t) \\\ sin \ theta (t) & \ cos \ theta (t) \ fin {bmatrix}}

es la matriz de rotación que define la posición angular de M en relación con F en función del tiempo.

Velocidad 

Si el punto p no se mueve en M , su velocidad en F viene dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {P} = {\ dot {\ mathbf {P}}} = [{\ dot {A}} (t)] \ mathbf {p}.}

Es conveniente eliminar las coordenadas p y escribir esto como una operación en la trayectoria P (t),

$${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {P} = [{\ dot {A}} (t)] [A (t) ^ {- 1}] \ mathbf {P} = [\ Omega] \ mathbf {P }

donde la matriz

{\ displaystyle [\ Omega] = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ omega \\\ omega & 0 \ end {bmatrix}},}

que se conoce como la matriz de velocidad angular de M con respecto a F . El parámetro ω es la derivada temporal del ángulo θ, es decir:

$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}.}

Aceleración 

La aceleración de P (t) en F se obtiene como la derivada del tiempo de la velocidad,

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ ddot {P}} (t) = [{\ dot {\ Omega}}] \ mathbf {P} + [\ Omega] {\ dot {\ mathbf {PAG} }},}

que se convierte

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = [{\ dot {\ Omega}}] \ mathbf {P} + [\ Omega] [\ Omega] \ mathbf {P},}

dónde

{\ displaystyle [{\ dot {\ Omega}}] = {\ begin {bmatrix} 0 & - \ alpha \\\ alpha & 0 \ end {bmatrix}},}

es la matriz de aceleración angular de M en F , y

$${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}.}

La descripción de la rotación implica estas tres cantidades:

• Posición angular  : la distancia orientada desde un origen seleccionado en el eje de rotación hasta un punto de un objeto es un vector r ( t ) que ubica el punto. El vector r ( t ) tiene alguna proyección (o, de manera equivalente, algún componente) r _⊥ ( t ) en un plano perpendicular al eje de rotación. Luego, la posición angular de ese punto es el ángulo θ desde un eje de referencia (típicamente el eje x positivo ) al vector r _⊥ ( t ) en un sentido de rotación conocido (típicamente dado por la regla de la mano derecha ).
• Velocidad angular  : la velocidad angular ω es la velocidad a la que la posición angular θ cambia con respecto al tiempo t:

$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}

La velocidad angular está representada en la Figura 1 por un vector Ω que apunta a lo largo del eje de rotación con magnitud ω y el sentido está determinado por la dirección de rotación dada por la regla de la mano derecha .

• Aceleración angular  : la magnitud de la aceleración angular α es la velocidad a la que la velocidad angular ω cambia con respecto al tiempo t:

$${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d \ omega} {dt}}}

Las ecuaciones de la cinemática traslacional pueden extenderse fácilmente a la cinemática rotacional plana para una aceleración angular constante con intercambios de variables simples:

$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {f}} = \ omega _ {\ mathrm {i}} + \ alpha t \!}

$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}} = \ omega _ {\ mathrm {i}} t + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2}}

$${\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}} = {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {\ mathrm {f}} + \ omega _ {\ mathrm {i}}) t}

$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {f}} ^ {2} = \ omega _ {\ mathrm {i}} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta _ {\ mathrm {f}} - \ theta _ {\ mathrm {i}}).}

Aquí θ _i y θ _f son, respectivamente, las posiciones angulares inicial y final, ω _i y ω _f son, respectivamente, las velocidades angulares inicial y final, y α es la aceleración angular constante. Aunque la posición en el espacio y la velocidad en el espacio son ambos vectores verdaderos (en términos de sus propiedades bajo rotación), al igual que la velocidad angular, el ángulo en sí no es un vector verdadero.

Trayectorias de puntos en el cuerpo moviéndose en tres dimensiones [ editar ]

Las fórmulas importantes en la cinemática definen la velocidad y la aceleración de los puntos en un cuerpo en movimiento al trazar trayectorias en el espacio tridimensional. Esto es particularmente importante para el centro de masa de un cuerpo, que se utiliza para derivar ecuaciones de movimiento utilizando la segunda ley de Newtono las ecuaciones de Lagrange .

Posición [ editar ]

Para definir estas fórmulas, el movimiento de un componente B de un sistema mecánico se define por el conjunto de rotaciones [A (t)] y las traducciones d (t) ensambladas en la transformación homogénea [T (t)] = [A (t), d (t)]. Si p es las coordenadas de un punto P en B medido en el marco de referencia móvil M , entonces la trayectoria de este punto trazado en F viene dada por:

{\ displaystyle {\ textbf {P}} (t) = [T (t)] {\ textbf {p}} = {\ begin {Bmatrix} {\ textbf {P}} \\ 1 \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A (t) & {\ textbf {d}} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} {\ textbf {p}} \\ 1 \ end { Matriz}}.}

Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1) y P = (X, Y, Z), lo que se espera que sea claro en el contexto.

Esta ecuación para la trayectoria de P se puede invertir para calcular el vector de coordenadas p en M como:

{\ displaystyle {\ textbf {p}} = [T (t)] ^ {- 1} {\ textbf {P}} (t) = {\ begin {Bmatrix} {\ textbf {p}} \\ 1 \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A (t) ^ {T} & - A (t) ^ {T} {\ textbf {d}} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} { \ begin {Bmatrix} {\ textbf {P}} (t) \\ 1 \ end {Bmatrix}}.}

Esta expresión usa el hecho de que la transposición de una matriz de rotación también es su inversa, es decir:

$${\ displaystyle [A (t)] ^ {T} [A (t)] = I. \!}

Velocidad [ editar ]

La velocidad del punto P a lo largo de su trayectoria P (t) se obtiene como la derivada temporal de este vector de posición,

{\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = [{\ dot {T}} (t)] {\ textbf {p}} = {\ begin {Bmatrix} {\ textbf {V}} _ { P} \\ 0 \ end {Bmatrix}} = {\ dot {\ begin {bmatrix} A (t) & {\ textbf {d}} (t) \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}} {\ begin { Bmatrix} {\ textbf {p}} \\ 1 \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dot {A}} (t) & {\ dot {\ textbf {d}}} (t) \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} {\ textbf {p}} \\ 1 \ end {Bmatrix}}.

El punto denota la derivada con respecto al tiempo; Porque p es constante, su derivada es cero.

Esta fórmula puede ser modificado para obtener la velocidad de P mediante la operación en su trayectoria P (t) medida en el marco fijo F . Sustituyendo la transformada inversa de p en los rendimientos de la ecuación de velocidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&{\textbf {d}}\\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-{\textbf {d}}\\0&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}{\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{T}&-{\dot {A}}A^{T}{\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}(t)\\1\end{Bmatrix}}\\{\textbf {V}}_{P}&=[S]{\textbf {P}}.\end{aligned}}}$

La matriz [S] está dada por:

{\ displaystyle [S] = {\ begin {bmatrix} \ Omega & - \ Omega {\ textbf {d}} + {\ dot {\ textbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

dónde

$${\ displaystyle [\ Omega] = {\ dot {A}} A ^ {T},}

Es la matriz de velocidad angular.

Al multiplicar por el operador [S], la fórmula para la velocidad V _P toma la forma:

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {P} = [\ Omega] ({\ textbf {P}} - {\ textbf {d}}) + {\ dot {\ textbf {d}}} = \ omega \ times {\ textbf {R}} _ {P / O} + {\ textbf {V}} _ {O},}

donde el vector ω es el vector de velocidad angular obtenido de los componentes de la matriz [Ω]; el vector

$${\ displaystyle {\ textbf {R}} _ {P / O} = {\ textbf {P}} - {\ textbf {d}},}

es la posición de P con respecto al origen O del marco móvil M ; y

$${\ displaystyle {\ textbf {V}} _ {O} = {\ dot {\ textbf {d}}},}

es la velocidad del origen O .

Aceleración [ editar ]

La aceleración de un punto P en un cuerpo móvil B se obtiene como la derivada temporal de su vector de velocidad:

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} {\ textbf {V}} _ {P} = {\ frac {d} {dt}} {\ big (} [S] {\ textbf {P}} {\ big)} = [{\ dot {S}}] {\ textbf {P}} + [S] {\ dot {\ textbf {P}}} = [{\ dot {S}}] {\ textbf {P}} + [S] [S] {\ textbf {P}}.}

Esta ecuación se puede expandir primero calculando

{\ displaystyle [{\ dot {S}}] = {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ Omega}} & - {\ dot {\ Omega}} {\ textbf {d}} - \ Omega {\ dot {\ textbf {d}}} + {\ ddot {\ textbf {d}}} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dot {\ Omega}} & - {\ dot { \ Omega}} {\ textbf {d}} - \ Omega {\ textbf {V}} _ {O} + {\ textbf {A}} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

y

{\ displaystyle [S] ^ {2} = {\ begin {bmatrix} \ Omega & - \ Omega {\ textbf {d}} + {\ textbf {V}} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} } ^ {2} = {\ begin {bmatrix} \ Omega ^ {2} & - \ Omega ^ {2} {\ textbf {d}} + \ Omega {\ textbf {V}} _ {O} \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}

La fórmula para la aceleración A _P ahora se puede obtener como:

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = {\ dot {\ Omega}} ({\ textbf {P}} - {\ textbf {d}}) + {\ textbf {A}} _ { O} + \ Omega ^ {2} ({\ textbf {P}} - {\ textbf {d}}),}

o

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {P} = \ alpha \ times {\ textbf {R}} _ {P / O} + \ omega \ times \ omega \ times {\ textbf {R}} _ { P / O} + {\ textbf {A}} _ {O},}

donde α es el vector de aceleración angular obtenido de la derivada de la matriz de velocidad angular;

$${\ displaystyle {\ textbf {R}} _ {P / O} = {\ textbf {P}} - {\ textbf {d}},}

es el vector de posición relativa (la posición de P en relación con el origen O del marco móvil M ); y

$${\ displaystyle {\ textbf {A}} _ {O} = {\ ddot {\ textbf {d}}}}

es la aceleración del origen del bastidor móvil M .