TEMAS DE FÍSICA

La cinemática es una rama de la mecánica clásica que describe el movimiento de puntos, cuerpos (objetos) y sistemas de cuerpos (grupos de objetos) sin considerar las fuerzas que hacen que se muevan. ^{[1] [2] [3] La} cinemática, como campo de estudio, a menudo se conoce como la "geometría del movimiento" y en ocasiones se ve como una rama de las matemáticas. ^{[4] [5] [6]}Un problema de cinemática comienza describiendo la geometría del sistema y declarando las condiciones iniciales de cualquier valor conocido de posición, velocidad y / o aceleración de puntos dentro del sistema. Luego, utilizando argumentos de la geometría, se puede determinar la posición, la velocidad y la aceleración de cualquier parte desconocida del sistema. El estudio de cómo actúan las fuerzas sobre los cuerpos cae dentro de la cinética , no de la cinemática. Para más detalles, ver dinámica analítica .

La cinemática se utiliza en astrofísica para describir el movimiento de los cuerpos celestes y las colecciones de tales cuerpos. En ingeniería mecánica , robótica y biomecánica ^{[7], la} cinemática se utiliza para describir el movimiento de sistemas compuestos de partes unidas (sistemas de enlace múltiple) como un motor , un brazo robótico o el esqueleto humano .

Las transformaciones geométricas, también llamadas transformaciones rígidas , se utilizan para describir el movimiento de componentes en un sistema mecánico , simplificando la derivación de las ecuaciones de movimiento. También son fundamentales para el análisis dinámico .

El análisis cinemático es el proceso de medir las cantidades cinemáticas utilizadas para describir el movimiento. En ingeniería, por ejemplo, el análisis cinemático se puede usar para encontrar el rango de movimiento para un mecanismo dado y trabajar a la inversa, utilizando la síntesis cinemática para diseñar un mecanismo para un rango de movimiento deseado. ^[8] Además, la cinemática aplica la geometría algebraica al estudio de la ventaja mecánica de un sistema o mecanismo mecánico .

Etimología del término [ editar ]

El término cinemática es la versión en Inglés de AM Ampère 's Cinematique , ^[9] que construye a partir del griego κίνημα kinema ( 'movimiento, movimiento'), en sí deriva de κινεῖν kinein ( 'para mover'). ^[10] [11]

Cinemática y cinemática están relacionadas con la palabra francesa cinéma, pero ninguna de ellas se deriva directamente de ella. Sin embargo, comparten una palabra raíz en común, ya que cinéma proviene de la forma abreviada de cinematographe, "proyector de imágenes en movimiento y cámara", una vez más de la palabra griega para el movimiento y del griego γρᾰ́φω grapho ("escribir"). ^[12]

Cinemática de una trayectoria de partículas en un marco de referencia no giratorio [ editar ]

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

El vector de posición r , siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

El vector de aceleración a no es paralelo al movimiento radial, sino que se desplaza por las aceleraciones angular y de Coriolis, no es tangente a la trayectoria, sino que se desplaza por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2d, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

La cinemática de partículas es el estudio de la trayectoria de las partículas. La posición de una partícula se define como el vector de coordenadas desde el origen de un marco de coordenadas a la partícula. Por ejemplo, considere una torre a 50 m al sur de su casa, donde el marco de coordenadas está centrado en su casa, de manera que este está en la dirección del eje x y el norte está en la dirección del eje y, luego la coordenada el vector a la base de la torre es r = (0, −50, 0). Si la torre tiene 50 m de altura y esta altura se mide a lo largo del eje z, entonces el vector de coordenadas en la parte superior de la torre es r = (0, −50, 50) .

En el caso más general, se usa un sistema de coordenadas tridimensional para definir la posición de una partícula. Sin embargo, si la partícula está limitada a moverse dentro de un plano, un sistema de coordenadas bidimensional es suficiente. Todas las observaciones en física son incompletas sin ser descritas con respecto a un marco de referencia.

El vector de posición de una partícula es un vector dibujado desde el origen del marco de referencia a la partícula. Expresa tanto la distancia del punto desde el origen como su dirección desde el origen. En tres dimensiones, la posición del punto P se puede expresar como

$${\ displaystyle \ mathbf {P} = (x_ {P}, y_ {P}, z_ {P}) = x_ {P} {\ hat {\ imath}} + y_ {P} {\ hat {\ jmath} } + z_ {P} {\ hat {k}},}

dónde $${\ displaystyle x_ {P}}, $${\ displaystyle y_ {P}}y $${\ displaystyle z_ {P}}son las coordenadas cartesianas y$${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}}, $${\ displaystyle {\ hat {\ jmath}}} y $${\ displaystyle {\ hat {k}}} son los vectores unitarios a lo largo del $${\ displaystyle x}, $${\ displaystyle y}y $${\ displaystyle z}ejes de coordenadas, respectivamente. La magnitud del vector de posición.$${\ displaystyle \ left | \ mathbf {P} \ right |} da la distancia entre el punto $${\ displaystyle \ mathbf {P}} y el origen.

$${\ displaystyle | \ mathbf {P} | = {\ sqrt {x_ {P} ^ {\ 2} + y_ {P} ^ {\ 2} + z_ {P} ^ {\ 2}}}.}

Los cosenos de dirección del vector de posición proporcionan una medida cuantitativa de la dirección. Es importante tener en cuenta que el vector de posición de una partícula no es único. El vector de posición de una partícula dada es diferente en relación con diferentes marcos de referencia.

La trayectoria de una partícula es una función vectorial del tiempo.$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t)}, que define la curva trazada por la partícula en movimiento, dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = x_ {P} (t) {\ hat {\ imath}} + y_ {P} (t) {\ hat {\ jmath}} + z_ {P} (t ) {\ hat {k}},}

donde las coordenadas x _P , y _P , y z _P son funciones del tiempo.

La distancia recorrida es siempre mayor o igual al desplazamiento.

Velocidad y velocidad [ editar ]

La velocidad de una partícula es una cantidad escalar que describe la magnitud del movimiento de la partícula. Más matemáticamente, la velocidad de cambio del vector de posición de un punto, con respecto al tiempo, es la velocidad del punto. Considere la relación formada dividiendo la diferencia de dos posiciones de una partícula por el intervalo de tiempo. Esta relación se denomina velocidad promedio durante ese intervalo de tiempo y se define como Velocidad = desplazamiento / tiempo tomado

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {P}} {\ Delta t}} \,}

donde Δ P es el cambio en el vector de posición durante el intervalo de tiempo Δ t .

En el límite a medida que el intervalo de tiempo Δ t se hace cada vez más pequeño, la velocidad media se convierte en la derivada temporal del vector de posición,

$${\ displaystyle \ mathbf {V} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {P}} {\ Delta t}} = {\ frac {d \ mathbf {P}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {P}}} = {\ dot {x}} _ {p} {\ hat {\ imath}} + {\ dot {y}} _ {P} {\ hat {\ jmath}} + {\ dot {z}} _ {P} {\ hat {k}}.

Por lo tanto, la velocidad es la tasa de tiempo de cambio de posición de un punto, y el punto denota la derivada de esas funciones x, y y z con respecto al tiempo. Además, la velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en cada posición que ocupa la partícula a lo largo de su trayectoria. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de coordenadas no se consideran como sus direcciones y las magnitudes son constantes.

La velocidad de un objeto es la magnitud | V | de su velocidad. Es una cantidad escalar:

$${\ displaystyle | \ mathbf {V} | = | {\ dot {\ mathbf {P}}} | = {\ frac {ds} {dt}},}

donde s es la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria de la partícula. Esta longitud de arco recorrida por una partícula a lo largo del tiempo es una cantidad no decreciente. Por lo tanto, ds / dt no es negativo, lo que implica que la velocidad tampoco es negativa.

Aceleración [ editar ]

El vector de velocidad puede cambiar en magnitud y en dirección o ambos a la vez. Por lo tanto, la aceleración explica tanto la tasa de cambio de la magnitud del vector de velocidad como la tasa de cambio de dirección de ese vector. El mismo razonamiento utilizado con respecto a la posición de una partícula para definir la velocidad, se puede aplicar a la velocidad para definir la aceleración. La aceleración de una partícula es el vector definido por la velocidad de cambio del vector de velocidad. La aceleración media de una partícula en un intervalo de tiempo se define como la relación.

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {V}} {\ Delta t}} \,}

donde Δ V es la diferencia en el vector de velocidad y Δ t es el intervalo de tiempo.

La aceleración de la partícula es el límite de la aceleración promedio a medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero, que es la derivada del tiempo.

Ec. 1) $${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {V}} {\ Delta t}} = {\ frac {d \ mathbf {V}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {V}}} = {\ dot {v}} _ {x} {\ hat {\ imath}} + {\ dot {v}} _ {y} {\ hat {\ jmath}} + {\ dot {v}} _ {z} {\ hat {k}}}

o

$${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ ddot {\ mathbf {P}}} = {\ ddot {x}} _ {p} {\ hat {\ imath}} + {\ ddot {y}} _ { P} {\ hat {\ jmath}} + {\ ddot {z}} _ {P} {\ hat {k}}}

Por lo tanto, la aceleración es la primera derivada del vector de velocidad y la segunda derivada del vector de posición de esa partícula. Tenga en cuenta que en un marco de referencia no giratorio, las derivadas de las direcciones de coordenadas no se consideran como sus direcciones y las magnitudes son constantes.

La magnitud de la aceleración de un objeto es la magnitud | Un | de su vector de aceleración. Es una cantidad escalar:

$${\ displaystyle | \ mathbf {A} | = | {\ dot {\ mathbf {V}}} | = {\ frac {dv} {dt}},}

Vector de posición relativa [ editar ]

Un vector de posición relativa es un vector que define la posición de un punto con respecto a otro. Es la diferencia de posición de los dos puntos. La posición de un punto A en relación con otro punto B es simplemente la diferencia entre sus posiciones

$${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {A / B} = \ mathbf {P} _ {A} - \ mathbf {P} _ {B}}

Cuál es la diferencia entre los componentes de sus vectores de posición.

Si el punto A tiene componentes de posición $${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {A} = \ left (X_ {A}, Y_ {A}, Z_ {A} \ right)}

Si el punto B tiene componentes de posición $${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {B} = \ left (X_ {B}, Y_ {B}, Z_ {B} \ right)}

entonces la posición del punto A en relación con el punto B es la diferencia entre sus componentes: $${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {A / B} = \ mathbf {P} _ {A} - \ mathbf {P} _ {B} = \ left (X_ {A} -X_ {B}, Y_ { A} -Y_ {B}, Z_ {A} -Z_ {B} \ derecha)}

Velocidad relativa [ editar ]

Artículo principal: Velocidad relativa.

Velocidades relativas entre dos partículas en la mecánica clásica.

La velocidad de un punto en relación con otro es simplemente la diferencia entre sus velocidades.

$${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {A / B} = \ mathbf {V} _ {A} - \ mathbf {V} _ {B}}

Cuál es la diferencia entre los componentes de sus velocidades.

Si el punto A tiene componentes de velocidad $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {A} = \ left (V_ {A_ {x}}, V_ {A_ {y}}, V_ {A_ {z}} \ right)}

y el punto B tiene componentes de velocidad $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {B} = \ left (V_ {B_ {x}}, V_ {B_ {y}}, V_ {B_ {z}} \ right)}

entonces la velocidad del punto A en relación con el punto B es la diferencia entre sus componentes: $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {A / B} = \ mathbf {V} _ {A} - \ mathbf {V} _ {B} = \ left (V_ {A_ {x}} - V_ {B_ { x}}, V_ {A_ {y}} - V_ {B_ {y}}, V_ {A_ {z}} - V_ {B_ {z}} \ derecha)}

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse mediante el cálculo de la derivada temporal de la posición relativa vector R _{B / A} .

En el caso de que la velocidad sea cercana a la velocidad de la luz c (generalmente dentro del 95%), otro esquema de velocidad relativa llamado velocidad , que depende de la relación de V a c, se usa en la relatividad especial .

Aceleración relativa [ editar ]

La aceleración de un punto C en relación con otro punto B es simplemente la diferencia entre sus aceleraciones.

$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {C / B} = \ mathbf {A} _ {C} - \ mathbf {A} _ {B}}

Cuál es la diferencia entre los componentes de sus aceleraciones.

Si el punto C tiene componentes de aceleración $${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {C} = \ left (A_ {C_ {x}}, A_ {C_ {y}}, A_ {C_ {z}} \ right)}

y el punto B tiene componentes de aceleración $${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {B} = \ left (A_ {B_ {x}}, A_ {B_ {y}}, A_ {B_ {z}} \ right)}

entonces la aceleración del punto C en relación con el punto B es la diferencia entre sus componentes: $${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {C / B} = \ mathbf {A} _ {C} - \ mathbf {A} _ {B} = \ left (A_ {C_ {x}} - A_ {B_ { x}}, A_ {C_ {y}} - A_ {B_ {y}}, A_ {C_ {z}} - A_ {B_ {z}} \ right)}

Alternativamente, este mismo resultado podría obtenerse mediante el cálculo de la segunda derivada temporal de la posición relativa vector P _{B / A} .

Trayectorias de partículas bajo aceleración constante [ editar ]

Para el caso de aceleración constante, la ecuación diferencial Eq 1) puede integrarse ya que el vector de aceleración A de un punto P es constante en magnitud y dirección. Se dice que tal punto se somete a un movimiento uniformemente acelerado ^{[ cita requerida ]} . En este caso, la velocidad V (t) y luego la trayectoria P (t) de la partícula se pueden obtener al integrar la ecuación de aceleración A con respecto al tiempo. ^[13]

Suponiendo que las condiciones iniciales de la posición, $${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {0}}, y la velocidad $${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {0}} en el momento $${\ displaystyle t = 0} Como se sabe, la primera integración produce la velocidad de la partícula en función del tiempo.

$${\ displaystyle \ mathbf {V} (t) = \ mathbf {V} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {A} d \ tau = \ mathbf {V} _ {0} + \ mathbf {A} t.}

Una segunda integración cede su trayectoria (trayectoria),

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = \ mathbf {P} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {V} (\ tau) d \ tau = \ mathbf {P} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} (\ mathbf {V} _ {0} + \ mathbf {A} \ tau) d \ tau = \ mathbf {P} _ {0} + \ mathbf {V} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {A} t ^ {2}.}

Se pueden derivar relaciones adicionales entre desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. Dado que la aceleración es constante,

$${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {V}} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0}} {t }}} Puede ser sustituido en la ecuación anterior para dar:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} (t) = \ mathbf {P} _ {0} + \ left ({\ frac {\ mathbf {V} + \ mathbf {V} _ {0}} {2}} \ derecha) t.

Se puede tener una relación entre la velocidad, la posición y la aceleración sin una dependencia explícita del tiempo resolviendo la aceleración promedio por tiempo y sustituyendo y simplificando

$${\ displaystyle t = {\ frac {\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0}} {\ mathbf {A}}}}

$${\ displaystyle (\ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0}) \ circ \ mathbf {A} = \ left (\ mathbf {V} - \ mathbf {V} _ {0} \ right) circ {\ frac {\ mathbf {V} + \ mathbf {V} _ {0}} {2}} \,}

donde ∘ denota el producto de puntos , que es apropiado ya que los productos son escalares en lugar de vectores.

$${\ displaystyle 2 (\ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0}) \ circ \ mathbf {A} = | \ mathbf {V} | ^ {2} - | \ mathbf {V} _ {0 } | ^ {2}.}

El punto puede ser reemplazado por el coseno del ángulo. $${\ displaystyle \ alpha}entre los vectores ^{[ cita requerida ]} y los vectores por sus magnitudes, en cuyo caso:

$${\ displaystyle 2 | \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} | \ cdot | \ mathbf {A} | \ cdot \ cos \ alpha = | \ mathbf {V} | ^ {2} - | \ mathbf {V} _ {0} | ^ {2}.}

En el caso de la aceleración siempre en la dirección del movimiento, el ángulo entre los vectores ($${\ displaystyle \ alpha}) es 0, entonces $${\ displaystyle \ cos 0 = 1}y

$${\ displaystyle | \ mathbf {V} | ^ {2} = | \ mathbf {V} _ {0} | ^ {2} +2 | \ mathbf {A} | \ cdot | \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} |.}

Esto se puede simplificar usando la notación para las magnitudes de los vectores. $${\ displaystyle || \ mathbf {A} || = a, || \ mathbf {V} || = v, || \ mathbf {P} - \ mathbf {P} _ {0} || = \ Delta x }^{[ cita requerida ]} donde$${\ displaystyle \ Delta x}puede ser cualquier camino curvilíneo tomado como la constante aceleración tangencial se aplica a lo largo de ese camino ^{[ cita requerida ]} , por lo que

$${\ displaystyle v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ cdot \ Delta x.}

Esto reduce las ecuaciones paramétricas de movimiento de la partícula a una relación cartesiana de velocidad frente a posición. Esta relación es útil cuando el tiempo es desconocido. Tambien sabemos que$${\ displaystyle \ Delta x = \ int (v) dt} o $${\ displaystyle \ Delta x}es el área debajo de av, t gráfica ^[14]

Gráfico de física del tiempo de velocidad

. Podemos tomar$${\ displaystyle \ Delta x}añadiendo el área superior y el área inferior. El área inferior es un rectángulo, y el área de un rectángulo es el rectángulo.$${\ displaystyle A \ cdot B} dónde $${\ displaystyle A} es el ancho y $${\ displaystyle B}es la altura. ^[15] En este caso$${\ displaystyle A = t} y $${\ displaystyle B = v_ {0}} (tenga en cuenta que la $${\ displaystyle A} Aquí es diferente de la aceleración. $${\ displaystyle a}). Esto significa que el área inferior es$${\ displaystyle tv_ {0}}. Ahora encontremos el área superior (un triángulo). El área de un trangle es$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} BH} dónde $${\ displaystyle B} es la base y $${\ displaystyle H}es la altura. ^[16] En este caso,$${\ displaystyle B = t} Y $${\ displaystyle H = at} o $${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {2}} att = {\ frac {1} {2}} en ^ {2} = {\ frac {at ^ {2}} {2}}}. Añadiendo$${\ displaystyle tv_ {0}} y $${\ displaystyle {\ frac {at ^ {2}} {2}}} resultados en la ecuación $${\ displaystyle \ Delta x} resultados en la ecuación $${\ displaystyle \ Delta x = tv_ {0} + {\ frac {at ^ {2}} {2}}}. ^[17]Esta ecuación es muy útil cuando la velocidad final$${\ displaystyle v} es desconocido.