Una forma geométrica es la información geométrica que permanece cuando la ubicación , la escala , la orientación y la reflexión se eliminan de la descripción de un objeto geométrico . [1]Es decir, el resultado de mover una forma alrededor, agrandarla, girarla o reflejarla en un espejo es la misma forma que la original, y no una forma distinta.
Se dice que los objetos que tienen la misma forma son similares . Si también tienen la misma escala entre sí, se dice que son congruentes .
Muchas formas geométricas bidimensionales se pueden definir mediante un conjunto de puntos o vértices y líneas que conectan los puntos en una cadena cerrada, así como los puntos interiores resultantes. Tales formas se llaman polígonos e incluyen triángulos , cuadrados y pentágonos . Otras formas pueden estar delimitadas por curvas como el círculo o la elipse .
Muchas formas geométricas tridimensionales se pueden definir mediante un conjunto de vértices, líneas que conectan los vértices y carasbidimensionales encerradas por esas líneas, así como los puntos interiores resultantes. Dichas formas se denominan poliedros e incluyen cubos y pirámides como los tetraedros . Otras formas tridimensionales pueden estar delimitadas por superficies curvas, como el elipsoide y la esfera .
Se dice que una forma es convexa si todos los puntos en un segmento de línea entre cualquiera de sus dos puntos también forman parte de la forma.
La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría : los Elementos . El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas atractivos de manera intuitiva y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclid habían sido declarados por matemáticos anteriores, [1] Euclid fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podrían encajar en un sistema lógico y deductivo integral . [2] Los Elementos comienza con la geometría plana, todavía se enseña en la escuela secundaria (escuela secundaria) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de prueba formal . Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos enuncian resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de los números , explicados en lenguaje geométrico. [1]
Durante más de dos mil años, el adjetivo "Euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido ningún otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado paralelo ) que cualquier teorema probado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes , las primeras que se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einsteines que el espacio físico en sí no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza de la campo gravitacional ). [3]
La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos, como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos, todo sin el uso de coordenadaspara especificar esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , que utiliza coordenadas para traducir proposiciones geométricas en fórmulas algebraicas.
Los Elementos [ editar ]
Los Elementos es principalmente una sistematización del conocimiento anterior de la geometría. Su mejoría con respecto a los tratamientos anteriores fue reconocida rápidamente, con el resultado de que había poco interés en preservar los anteriores, y ahora casi todos están perdidos.
Hay 13 libros en los Elementos :
Los libros I – IV y VI discuten la geometría plana. Se han probado muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "en cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menos de dos ángulos rectos". (Proposición 17 del libro 1) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos en ángulo recto, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47)
Los libros V y VII – X tratan sobre la teoría de los números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones. Se introducen nociones tales como números primos y números racionales e irracionales . Está comprobado que hay infinitos números primos.
Los libros XI-XIII se refieren a la geometría sólida . Un resultado típico es la relación 1: 3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .
Axiomas [ editar ]
La geometría euclidiana es un sistema axiomático , en el que todos los teoremas ("afirmaciones verdaderas") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente verdaderos en el mundo físico, de modo que todos los teoremas serían igualmente verdaderos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides de los supuestos a las conclusiones sigue siendo válido independientemente de su realidad física. [4]
Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, expresados en términos de construcciones (según lo traducido por Thomas Heath): [5]
- Que se postule lo siguiente:
- Para dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
- Para producir (extender) una línea recta finita continuamente en una línea recta.
- Para describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
- Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- [El postulado paralelo ]: que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores en el mismo lado sean menos que dos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en ese lado en el que los ángulos son menos de dos angulos rectos.
Aunque Euclides solo afirma explícitamente la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento se supone que son únicos.
Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":
- Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí (la propiedad transitiva de una relación euclidiana ).
- Si se agregan iguales a iguales, entonces los wholes son iguales (propiedad de igualdad de adición).
- Si se restan los iguales de los iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de la resta de la igualdad).
- Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
- El todo es mayor que la parte.
Los estudiosos modernos están de acuerdo en que los postulados de Euclid no proporcionan la base lógica completa que Euclid necesitaba para su presentación. [6] Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos.
Postulado paralelo [ editar ]
Para los antiguos, el postulado paralelo parecía menos obvio que los otros. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas, y para ellos les parecía que el postulado de la línea paralela requería pruebas de afirmaciones más simples. Ahora se sabe que tal prueba es imposible, ya que uno puede construir sistemas consistentes de geometría (obedeciendo a los otros axiomas) en los cuales el postulado paralelo es verdadero, y otros en los que es falso. [7] El propio Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son aquellas que pueden probarse sin ella.
Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair dice:
- En un plano , a través de un punto que no está en una línea recta dada, como máximo se puede dibujar una línea que nunca se encuentra con la línea dada.
La cláusula "a lo más" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.
Métodos de prueba [ editar ]
La geometría euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y singularidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con No más que una brújula y una regla no marcada . [8] En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos, como la teoría de conjuntos , que a menudo afirma la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirma la existencia de objetos que no pueden construirse dentro de la teoría. . [9] Estrictamente hablando, las líneas en el papel son modelos.de los objetos definidos dentro del sistema formal, en lugar de instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea real dibujada lo hará. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran los métodos no constructivos tan sanos como los constructivos, las pruebas constructivas de Euclides a menudo sustituyeron a las falaces no constructivas, por ejemplo, algunas de las pruebas de los pitagóricos que involucraban números irracionales, que generalmente requerían una afirmación como "Encuentre la medida más común" de ... " [10]
Euclides utiliza a menudo la prueba por contradicción . La geometría euclidiana también permite el método de superposición, en el que una figura se transfiere a otro punto en el espacio. Por ejemplo, la proposición I.4, congruencia de triángulos en el lado del ángulo lateral, se demuestra moviendo uno de los dos triángulos de modo que uno de sus lados coincida con el lado igual del otro triángulo, y luego demuestre que los otros lados también coinciden. . Algunos tratamientos modernos agregan un sexto postulado, la rigidez del triángulo, que puede usarse como una alternativa a la superposición. [11]
Sistema de medición y aritmética [ editar ]
La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia . La escala del ángulo es absoluta, y Euclid usa el ángulo recto como su unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 gradosse denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno escoge arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La adición de distancias se representa por una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para extender su longitud, y de manera similar para la resta.
Las mediciones de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y una longitud de 4 tiene un área que representa el producto, 12. Debido a que esta interpretación geométrica de la multiplicación se limitó a tres dimensiones, no había una manera directa de interpretar el producto de cuatro o más números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la prueba del libro IX, proposición 20.
Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales, respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura completa tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una puede moverse sobre la otra para que coincida exactamente con ella. (Se permite voltearlo). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen reflejada. Las figuras que serían congruentes, excepto por sus diferentes tamaños, se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de formas similares son congruentes yLos lados correspondientes son proporcionales entre sí.
Notación y terminología [ editar ]
Nombramiento de puntos y figuras [ editar ]
Los puntos se nombran habitualmente usando letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando un número suficiente de puntos para seleccionarlos de manera inequívoca de la figura relevante, por ejemplo, el triángulo ABC normalmente sería un triángulo con vértices en los puntos A, B y C .
Ángulos complementarios y suplementarios [ editar ]
Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se llaman complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.
Los ángulos cuya suma es un ángulo recto son suplementarios . Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que se encuentra entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.
Versiones modernas de la notación de Euclides [ editar ]
Los libros de texto de las escuelas modernas a menudo definen figuras separadas llamadas líneas (infinitas), rayos (semi-infinitas) y segmentos de líneas (de longitud finita). Euclides, en lugar de hablar de un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente usaría locuciones como "si la línea se extiende a una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refirió a "líneas infinitas". Una "línea" en Euclides podría ser recta o curva, y usó el término más específico "línea recta" cuando fue necesario.
Algunos resultados importantes o bien conocidos [ editar ]
Pons Asinorum [ editar ]
El Puente de los Asnos ( Pons Asinorum ) establece que en los triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y, si se producen líneas rectas iguales, los ángulos debajo de la base son iguales entre sí. [12] Su nombre puede atribuirse a su frecuente papel como la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como un puente a las proposiciones más difíciles que siguieron. También podría llamarse así por el parecido de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro con los pies seguros podría cruzar. [13]
Congruencia de triángulos [ editar ]
Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (SSS), dos lados y el ángulo entre ellos igual (SAS), o dos ángulos y un lado igual (ASA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son similares, pero no necesariamente congruentes. Además, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales o congruentes.
Ángulo del triángulo suma [ editar ]
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo recto (180 grados). [14] Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos internos de 60 grados. Además, hace que cada triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto .
Teorema de Pitágoras [ editar ]
El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son Las dos piernas (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).
El teorema de Thales [ editar ]
El teorema de Thales , llamado así por Thales of Miletus, establece que si A, B y C son puntos en un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Thales probó su teorema por medio del Libro I de Euclides, Prop. 32 a la manera del Libro III de Euclides, Propuesta de 31. [15] [16]
Escalado de área y volumen [ editar ]
En la terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, , y el volumen de un sólido al cubo, . Euclid demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo [17] y el volumen de un sólido paralelepípedo. [18] Euclides determinó algunas, pero no todas, de las constantes relevantes de proporcionalidad. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro circunscrito.
No hay comentarios:
Publicar un comentario