Aplicaciones [ editar ]
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Debido al estado fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar más que una muestra representativa de aplicaciones aquí.
Como sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés en la geometría se Topografía , [20] y ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana, tales como la propiedad de ángulo recto del triángulo 3-4-5, se utilizaron Mucho antes de que fueran probados formalmente. [21] Los tipos fundamentales de mediciones en la geometría euclidiana son las distancias y los ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias a menudo se medían mediante cadenas, como la cadena de Gunter , y los ángulos utilizando círculos graduados y, más tarde, el teodolito .
Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de los arreglos de empaque , como el problema de encontrar el empaque más eficiente de esferas en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores .
La óptica geométrica utiliza la geometría euclidiana para analizar el enfoque de la luz mediante lentes y espejos.
La geometría se puede utilizar para diseñar origami . Algunos problemas de construcción clásicos de la geometría son imposibles de usar con brújula y regla , pero se pueden resolver con origami . [22]
Bastante de CAD (diseño asistido por computadora) y CAM (fabricación asistida por computadora) se basa en la geometría euclidiana. El diseño geométrico consiste típicamente en formas delimitadas por planos, cilindros, conos, toros, etc. El CAD / CAM es esencial en el diseño de casi todo, hoy en día, incluyendo automóviles, aviones, barcos y el iPhone. Hace unas décadas, los dibujantes sofisticados aprendieron algo de geometría euclidiana bastante avanzada, incluyendo cosas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon. Pero ahora no tienen que hacerlo, porque todas las construcciones geométricas están hechas por programas CAD.
Como una descripción de la estructura del espacio [ editar ]
Euclides creía que sus axiomas eran declaraciones evidentes sobre la realidad física. Las pruebas de Euclid dependen de suposiciones que quizás no sean obvias en los axiomas fundamentales de Euclid, [23] en particular que ciertos movimientos de figuras no cambian sus propiedades geométricas, como las longitudes de los lados y los ángulos interiores, los llamados movimientos euclidianos , que incluyen traducciones, Reflexiones y rotaciones de figuras. [24] Tomado como una descripción física del espacio, el postulado 2 (extensión de una línea) afirma que el espacio no tiene orificios ni límites (en otras palabras, el espacio es homogéneo y no tiene límites ); El postulado 4 (igualdad de ángulos rectos) dice que el espacio es isotrópico.y las figuras se pueden mover a cualquier lugar manteniendo la congruencia ; y el postulado 5 (el postulado paralelo ) de que el espacio es plano (no tiene curvatura intrínseca ). [25]
Como se discute en más detalle a continuación, Einstein 's teoría de la relatividad modifica significativamente este punto de vista.
El carácter ambiguo de los axiomas tal como fue formulado originalmente por Euclid hace posible que diferentes comentaristas estén en desacuerdo sobre algunas de sus otras implicaciones para la estructura del espacio, como por ejemplo si es infinito [26] (ver más abajo) y cuál es su topología. es. Las reformulaciones modernas y más rigurosas del sistema [27] generalmente apuntan a una separación más limpia de estos problemas. Al interpretar los axiomas de Euclides en el espíritu de este enfoque más moderno, los axiomas 1-4 son consistentes con el espacio infinito o finito (como en la geometría elíptica ), y los cinco axiomas son consistentes con una variedad de topologías (por ejemplo, un plano, un cilindro). , o un toro para geometría euclidiana bidimensional).
Trabajo posterior [ editar ]
Arquímedes y Apolonio [ editar ]
Arquímedes (c. 287 aC - c. 212 aC), una figura colorida sobre la cual se registran muchas anécdotas históricas, es recordada junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos antiguos. Aunque los fundamentos de su trabajo fueron colocados por Euclid, su trabajo, a diferencia de Euclid, se cree que fue completamente original. [28]Demostró las ecuaciones para los volúmenes y áreas de varias figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad arquimediana de números finitos.
Apolonio de Perga (c. 262 aC - c. 190 aC) es conocido principalmente por su investigación de las secciones cónicas.
Siglo XVII: Descartes [ editar ]
René Descartes (1596–1650) desarrolló la geometría analítica , un método alternativo para formalizar la geometría que se enfocaba en convertir la geometría en álgebra. [29]
En este enfoque, un punto en un plano está representado por sus coordenadas cartesianas ( x , y ), una línea está representada por su ecuación, y así sucesivamente.
En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se sigue de los axiomas de Euclides. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los axiomas del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es una definición de uno de los términos en los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.
La ecuacion
la definición de la distancia entre dos puntos P = ( p x , p y ) y Q = ( q x , q y ) se conoce como la métricaeuclidiana , y otras métricas definen geometrías no euclidianas .
En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a las construcciones de compás y rectas significa una restricción a las ecuaciones de primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea), o x 2 + y 2 = 7 ( un circulo).
También en el siglo XVII, Girard Desargues , motivado por la teoría de la perspectiva , introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado se puede considerar como un tipo de geometría generalizada, geometría proyectiva , pero también se puede utilizar para producir pruebas en la geometría euclidiana ordinaria en la que se reduce el número de casos especiales. [30]
Siglo XVIII [ editar ]
Geómetros del siglo XVIII lucharon por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano probar el quinto postulado de los primeros cuatro. Para 1763, se habían publicado al menos 28 pruebas diferentes, pero todas se encontraron incorrectas. [31]
Antes de este período, los geometristas también intentaron determinar qué construcciones podrían lograrse en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de triseccionar un ángulo con una brújula y regla no es algo que ocurre naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que pueden llevarse a cabo con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzelpublicó una prueba en 1837 de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que se probaron imposibles incluyen doblar el cubo y cuadrar el círculo. En el caso de duplicar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en el hecho de que el método de compás y regla no implica ecuaciones cuyo orden es una potencia integral de dos, [32] mientras que la duplicación de un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden .
Euler discutió una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín , que conserva el quinto postulado sin modificar al tiempo que debilita los postulados tres y cuatro de una manera que elimina las nociones de ángulo (por lo que los triángulos rectángulos no tienen sentido) y de la igualdad de longitud de los segmentos de líneas en general ( por lo que los círculos pierden su significado) al tiempo que se mantienen las nociones de paralelismo como una relación de equivalencia entre líneas, y la igualdad de longitud de los segmentos de líneas paralelas (de modo que los segmentos de líneas continúan teniendo un punto medio).
Siglo XIX y geometría no euclidiana [ editar ]
A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos y segmentos de línea con signo para simplificar y unificar los resultados. [33]
El desarrollo más significativo del siglo en geometría ocurrió cuando, alrededor de 1830, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado trabajos sobre geometría no euclidiana , en los que el postulado paralelo no es válido. [34] Dado que la geometría no euclidiana es relativamente consistente con la geometría euclidiana, el postulado paralelo no puede probarse a partir de los otros postulados.
En el siglo XIX, también se comprendió que los diez axiomas y las nociones comunes de Euclides no son suficientes para demostrar todos los teoremas enunciados en los Elementos . Por ejemplo, Euclid asumió implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no puede probarse a partir de los otros axiomas, y por lo tanto debe ser un axioma en sí mismo. La primera prueba geométrica en los Elementos, que se muestra en la figura de arriba, es que cualquier segmento de línea es parte de un triángulo; Euclid construye esto de la manera habitual, dibujando círculos alrededor de ambos puntos finales y tomando su intersección como el tercer vértice.. Sus axiomas, sin embargo, no garantizan que los círculos realmente se intersecten, porque no afirman la propiedad geométrica de la continuidad, que en términos cartesianos es equivalente a la integridad propiedad de de los números reales. Comenzando con Moritz Pasch en 1882, se han propuesto muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría, los más conocidos son los de Hilbert , [35]George Birkhoff , [36] y Tarski . [37]
Siglo 20 y la relatividad general [ editar ]
La teoría de la relatividad general de Einstein muestra que la verdadera geometría del espacio-tiempo no es la geometría euclidiana. [38]Por ejemplo, si un triángulo está formado por tres rayos de luz, entonces, en general, los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitatorio relativamente débil, como el de la Tierra o el del Sol, está representado por una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX, no había tecnología capaz de detectar las desviaciones de la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Posteriormente, se verificaron mediante observaciones como la leve flexión de la luz estelar por parte del Sol durante un eclipse solar en 1919, y esas consideraciones ahora son una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS . [39]Es posible objetar esta interpretación de la relatividad general basándose en que los rayos de luz podrían ser modelos físicos impropios de las líneas de Euclides, o que la relatividad podría reformularse para evitar las interpretaciones geométricas. Sin embargo, una de las consecuencias de la teoría de Einstein es que no hay ninguna prueba física que pueda distinguir entre un haz de luz como modelo de una línea geométrica y cualquier otro modelo físico. Por lo tanto, las únicas posibilidades lógicas son aceptar la geometría no euclidiana como físicamente real, o rechazar la noción completa de pruebas físicas de los axiomas de la geometría, que luego pueden imaginarse como un sistema formal sin ningún significado intrínseco del mundo real.
El tratamiento del infinito [ editar ]
Objetos infinitos [ editar ]
Euclides a veces se distinguía explícitamente entre "líneas finitas" (por ejemplo, Postulado 2) y " líneas infinitas " (libro I, proposición 12). Sin embargo, típicamente no hizo tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, la existencia de un círculo con cualquier radio, lo que implica que el espacio es infinito. [26]
La noción de cantidades infinitesimales había sido previamente discutida ampliamente por la Escuela Eleatica , pero nadie había podido ponerlas sobre una base lógica firme, con paradojas como la paradoja de Zenón. que no se habían resuelto a satisfacción universal. Euclides utilizó el método del agotamiento en lugar de los infinitesimales. [40]
Comentaristas antiguos posteriores, tales como Proclus (410–485 CE), trataron muchas preguntas sobre el infinito como cuestiones que demandan pruebas y, por ejemplo, Proclus afirmó probar la divisibilidad infinita de una línea, basada en una prueba por contradicción en la que consideró los casos. De números pares e impares de puntos que lo constituyen. [41]
A comienzos del siglo XX, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese y otros produjeron un trabajo controvertido sobre modelos no arquimedianos de geometría euclidiana, en los cuales la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el Newton. - Sentido leibniz . [42] Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese. [43]
Procesos infinitos [ editar ]
Una razón por la que los antiguos consideraron el postulado paralelo como algo menos seguro que los otros es que verificarlo físicamente nos obligaría a inspeccionar dos líneas para verificar que nunca se cruzaron, incluso en un punto muy lejano, y esta inspección podría potencialmente tomar una cantidad infinita de tiempo. [44]
La formulación moderna de prueba por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores lo consideran implícito en algunas de las pruebas de Euclides, por ejemplo, la prueba de la infinitud de los números primos.[45]
Las supuestas paradojas que involucran series infinitas, como la paradoja de Zenón , son anteriores a Euclides. Euclid evitó tales discusiones, dando, por ejemplo, la expresión de las sumas parciales de la series geométricasen IX.35 sin comentar sobre la posibilidad de permitir que el número de términos se vuelva infinito.
Bases logicas [ editar ]
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Este artículo necesita la atención de un experto en matemáticas . ( Diciembre 2010 )
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Lógica clásica [ editar ]
Euclid utilizó con frecuencia el método de prueba por contradicción y, por lo tanto, la presentación tradicional de la geometría euclidiana supone la lógica clásica , en la que cada proposición es verdadera o falsa, es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera .
Las normas modernas de rigor [ editar ]
La colocación de la geometría euclidiana sobre una sólida base axiomática fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. [46] El papel de las nociones primitivas , o conceptos no definidos, fue claramente expuesto por Alessandro Padoa de la delegación de Peano en la conferencia de París de 1900: [46] [47]
Es decir, las matemáticas son conocimiento independiente del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell : [48]
Formulaciones axiomáticas [ editar ]
- Los axiomas de Euclides: en su disertación en el Trinity College de Cambridge, Bertrand Russell resumió el papel cambiante de la geometría de Euclides en la mente de los filósofos hasta ese momento. [49] Era un conflicto entre cierto conocimiento, independiente del experimento, y empirismo, que requería aportaciones experimentales. Este problema quedó claro cuando se descubrió que el postulado paralelo no era necesariamente válido y su aplicabilidad era un asunto empírico, decidiendo si la geometría aplicable era euclidiana o no euclídea .
- Axiomas de Hilbert : axiomas de Hilbert tenían el objetivo de identificar una sencilla y completa serie de independientes axiomas partir de los cuales se podrían deducir los teoremas geométricos más importantes. Los objetivos sobresalientes fueron hacer que la geometría euclidiana fuera rigurosa (evitando supuestos ocultos) y aclarar las ramificaciones del postulado paralelo.
- Los axiomas de Birkhoff: Birkhoff propuso cuatro postulados para la geometría euclidiana que pueden confirmarse experimentalmente con escala y transportador. Este sistema se basa en gran medida en las propiedades de los números reales . [50] [51] [52] Las nociones de ángulo y distancia se convierten en conceptos primitivos. [53]
- Los axiomas de Tarski : Alfred Tarski (1902–1983) y sus estudiantes definieron la geometría euclidiana elemental como la geometría que puede expresarse en la lógica de primer orden y no depende de la teoría de conjuntos por su base lógica, [54] en contraste con los axiomas de Hilbert. que implican conjuntos de puntos. [55] Tarski demostró que su formulación axiomática de la geometría euclidiana elemental es consistente y completa en cierto sentido : hay un algoritmo que, para cada proposición, puede mostrarse verdadero o falso. [37] (Esto no viola el teorema de Gödel, porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente aritméticapara que el teorema se aplique. [56] ) Esto es equivalente a la decidibilidad de los campos cerrados reales , de los cuales la geometría euclidiana elemental es un modelo.
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