geometría no euclidiana consiste en dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionadas con aquellas que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge cuando se relaja el requisito de la métrica, o se sustituye el postulado paralelo por uno alternativo. En este último caso, se obtiene una geometría hiperbólica y una geometría elíptica , las geometrías tradicionales no euclidianas. Cuando se relaja el requisito de la métrica, entonces hay planos afines asociados con las álgebras planasque dan lugar a geometrías cinemáticas que también se han llamado geometría no euclidiana.
La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas . El quinto postulado de Euclides, el postulado paralelo , es equivalente al postulado de Playfair , que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada ℓ y un punto A , que no está en ℓ , hay exactamente una línea a través de A que no se interseca ℓ . En la geometría hiperbólica, en contraste, hay infinitas líneas a través de A que no se intersecan ℓ , mientras que en la geometría elíptica, cualquier línea a través de A se intersecaℓ .
Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas extendidas indefinidamente en un plano bidimensional que son perpendiculares a una tercera línea:
- En la geometría euclidiana, las líneas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea trazada perpendicular a una línea en cualquier punto se intersecará con la otra línea y la longitud del segmento de línea que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelos.
- En la geometría hiperbólica, se "curvan" entre sí, aumentando la distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; Estas líneas a menudo se llaman ultraparallels.
- En la geometría elíptica, las líneas se "curvan" entre sí y se intersecan.
Historia [ editar ]
Fondo [ editar ]
La geometría euclidiana , llamada así por el matemático griego Euclides , incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaron de esta no fueron aceptadas como legítimas hasta el siglo XIX.
El debate que finalmente llevó al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como se escribió la obra Elementos de Euclides . En los Elementos , Euclid comenzó con un número limitado de supuestos (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y trató de probar todos los otros resultados ( proposiciones ) en el trabajo. El más notorio de los postulados suele denominarse "Quinto Postulado de Euclides", o simplemente el " postulado paralelo ", que en la formulación original de Euclides es:
Otros matemáticos han ideado formas más simples de esta propiedad. Sin embargo, independientemente de la forma del postulado, parece ser más complicado que los otros postulados de Euclides :
Durante al menos mil años, los geometristas estaban preocupados por la complejidad dispar del quinto postulado, y creían que podía probarse como un teorema de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción , incluido Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), [1] Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII). ).
Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre cuadriláteros , incluidos el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron "los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica ". Estos teoremas, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair , jugaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de cuestionar el quinto postulado tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geometristas europeos posteriores, incluidos Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis y Saccheri.[2] Sin embargo, todos estos intentos iniciales realizados para intentar formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado paralelo, que contenían supuestos que eran esencialmente equivalentes al postulado paralelo. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas propiedades tempranas de las geometrías hiperbólicas y elípticas.
Khayyam, por ejemplo, trató de derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del filósofo" ( Aristóteles ): " Dos líneas rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos líneas rectas convergentes divergan en la dirección en la que convergen. " [3]Khayyam consideró que los tres casos eran correctos, obtusos y agudos que los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri pueden tomar y, después de probar varios teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtusos y agudos basados en su postulado y, por lo tanto, derivó el postulado clásico. De Euclides, que no se dio cuenta, era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), quien escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, que presentaba otra hipótesis equivalente al postulado paralelo. . "Él esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".en 1594 y fue estudiado por los geometristas europeos, incluido Saccheri [4], quien criticó este trabajo y el de Wallis. [6]
Giordano Vitale , en su libro Euclide restituo (1680, 1686), usó el cuadrilátero de Saccheri para probar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y el CD de la cumbre, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes.
En un trabajo titulado Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclid Freed from All Flaws ), publicado en 1733, Saccheri descartó rápidamente la geometría elíptica como una posibilidad (algunos otros de los axiomas de Euclid deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se ponga a trabajar para demostrar Gran número de resultados en geometría hiperbólica.
Finalmente, llegó a un punto en el que creía que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Su afirmación parece haberse basado en presuposiciones euclidianas, porque no estaba presente una contradicción lógica . En este intento de probar la geometría euclidiana, en cambio, descubrió involuntariamente una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta.
En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien, en la que intentó, como lo hizo Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que hoy llamamos cuadrilátero de Lambert., un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo hicieron Saccheri y Khayyam, y luego procedió a probar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que había llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos en un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó más lejos esta idea. [7]
En este momento se creía ampliamente que el universo funcionaba de acuerdo con los principios de la geometría euclidiana. [8]
Descubrimiento de la geometría no euclidiana [ editar ]
El comienzo del siglo XIX finalmente sería testigo de pasos decisivos en la creación de la geometría no euclidiana. Alrededor de 1813, Carl Friedrich Gauss e independientemente alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart [9] tuvo las ideas germinales de la geometría no euclídea, pero no publicó ningún resultado. El sobrino de Schweikart, Franz Taurinus , publicó importantes resultados de trigonometría hiperbólica en dos artículos en 1825 y 1826, pero aunque admitía la consistencia interna de la geometría hiperbólica, aún creía en el papel especial de la geometría euclidiana. [10]
Luego, alrededor de 1830, el matemático húngaro János Bolyai y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado tratados sobre geometría hiperbólica. En consecuencia, la geometría hiperbólica se denomina geometría bolyai-lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientes entre sí, son los autores básicos de la geometría no euclídea. Gauss mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostraron el trabajo más joven de Bolyai, que él había desarrollado tal geometría varios años antes, [11]aunque él no publicó. Mientras Lobachevsky creó una geometría no euclidiana al negar el postulado paralelo, Bolyai elaboró una geometría donde tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k. Bolyai termina su trabajo mencionando que no es posible decidir solo a través del razonamiento matemático si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; Esta es una tarea para las ciencias físicas.
Bernhard Riemann , en una famosa conferencia en 1854, fundó el campo de la geometría riemanniana , discutiendo en particular las ideas ahora llamadas múltiples , la métrica riemanniana y la curvatura . Construyó una familia infinita de geometrías que no son euclidianas al dar una fórmula para una familia de métricas riemannianas en la bola unitaria en el espacio euclidiano . El más simple de estos se llama geometría elíptica y se considera que es una geometría no euclidiana debido a su falta de líneas paralelas. [12]
Al formular la geometría en términos de un tensor de curvatura , Riemann permitió que se aplicara geometría no euclidiana a dimensiones más altas. Beltrami (1868) fue el primero en aplicar la geometría de Riemann a los espacios de curvatura negativa.
Terminología [ editar ]
Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". [13] Se refería a su propio trabajo que hoy llamamos geometría hiperbólica . Varios autores modernos todavía consideran que "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica" son sinónimos.
Arthur Cayley observó que la distancia entre los puntos dentro de una cónica podría definirse en términos de logaritmo y la función de relación cruzada proyectiva . El método se ha llamado métrica de Cayley-Klein porque Felix Klein lo explotó para describir las geometrías no euclidianas en los artículos [14] en 1871 y 73 y más tarde en forma de libro. Las métricas de Cayley-Klein proporcionaron modelos de trabajo de geometrías métricas hiperbólicas y elípticas, así como geometría euclidiana.
Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptico" (en su sistema llamó geometría euclidiana "parabólica", un término que generalmente quedó fuera de uso [15] ). Su influencia ha llevado al uso actual del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".
Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de varias maneras. [dieciséis]
Bases axiomáticas de la geometría no euclidiana [ editar ]
La geometría euclidiana se puede describir axiomáticamente de varias maneras. Desafortunadamente, el sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides no es uno de estos, ya que sus pruebas se basan en varios supuestos no declarados que también deberían haberse tomado como axiomas. El sistema de Hilbert, queconsta de 20 axiomas [17], sigue de cerca el enfoque de Euclid y proporciona la justificación de todas las pruebas de Euclid. Otros sistemas, que usan diferentes conjuntos de términos indefinidos obtienen la misma geometría por diferentes caminos. Sin embargo, en todos los enfoques hay un axioma que es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides, el postulado paralelo. Hilbert usa la forma de axioma de Playfair, mientras que Birkhoff, por ejemplo, utiliza el axioma que dice que "existe un par de triángulos similares pero no congruentes". En cualquiera de estos sistemas, la eliminación del único axioma que es equivalente al postulado paralelo, en cualquier forma que tome, y dejando todos los demás axiomas intactos, produce una geometría absoluta . Como las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos ) no requieren el uso del postulado paralelo o algo equivalente a él, todas son afirmaciones verdaderas en geometría absoluta. [18]
Para obtener una geometría no euclidiana, el postulado paralelo (o su equivalente) debe reemplazarse por su negación . Negar la forma del axioma de Playfair , ya que es una declaración compuesta (... existe una y solo una ...), se puede hacer de dos maneras:
- O bien, existirá más de una línea a través del punto paralelo a la línea dada o no existirá ninguna línea a través del punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, en sustitución del postulado paralelo (o su equivalente) con la afirmación "en un plano, dado un punto P y una línea ℓ que no pasa por P, existen dos líneas a través de P que no cumplen ℓ " y manteniendo todo Los otros axiomas, ceden geometría hiperbólica . [19]
- El segundo caso no se trata tan fácilmente. Simplemente reemplazando el postulado paralelo con la declaración, "En un plano, dado un punto P y una línea ℓ que no pasa a través de P, todas las líneas a través de P cumplen ℓ ", no da un conjunto consistente de axiomas. Esto sigue ya que existen líneas paralelas en geometría absoluta, [20]pero esta afirmación dice que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (de otra manera) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para rechazar lo que se conoció como el "caso de ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma por no tener líneas paralelas, algunos de los otros axiomas deben ser ajustados. Los ajustes a realizar dependen del sistema de axiomas que se utilice. Entre otros, estos ajustes tendrán el efecto de modificar el segundo postulado de Euclid de la afirmación de que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente a la afirmación de que las líneas no tienen límites. La geometría elíptica de Riemann emerge como la geometría más natural que satisface este axioma.
Modelos de geometría no euclidiana [ editar ]
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Geometría elíptica [ editar ]
El modelo más simple para la geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " grandes círculos " (como el ecuador o los meridianos en un globo ), y los puntos opuestos entre sí (llamados puntos antípodas ) se identifican (se consideran los mismos). Este es también uno de los modelos estándar del plano proyectivo real . La diferencia es que como modelo de geometría elíptica se introduce una métrica que permite la medición de longitudes y ángulos, mientras que como modelo del plano proyectivo no existe tal métrica.
En el modelo elíptico, para cualquier línea ℓ y un punto A , que no está en ℓ , todas las líneas a través de A se intersecarán ℓ .
Geometría hiperbólica [ editar ]
Incluso después del trabajo de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, la pregunta seguía siendo: "¿Existe tal modelo para la geometría hiperbólica ?". El modelo para la geometría hiperbólica fue respondido por Eugenio Beltrami , en 1868, quien demostró por primera vez que una superficie llamada pseudosfera tiene la curvatura adecuada para modelar una parte del espacio hiperbólico y en un segundo artículo del mismo año, definió el modelo de Kleinque modela la totalidad del espacio hiperbólico, y lo usé para mostrar que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica eran equiconsistentes, de modo que la geometría hiperbólica era lógicamente consistenteSi y solo si la geometría euclidiana era. (La implicación inversa sigue de la horobola modelo de la geometría euclidiana.)
En el modelo hiperbólico, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea ℓ y un punto A , que no está en ℓ, hay infinitas líneas a través de A que no se intersecan ℓ .
En estos modelos, los conceptos de geometrías no euclidianas están siendo representados por objetos euclidianos en una configuración euclidiana. Esto introduce una distorsión perceptiva en la que las líneas rectas de la geometría no euclidiana están representadas por curvas euclidianas que se doblan visualmente. Esta "curvatura" no es una propiedad de las líneas no euclidianas, solo un artificio de la forma en que se representan.
Geometría tridimensional no euclidiana [ editar ]
En tres dimensiones, hay ocho modelos de geometrías. [21] Hay geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, como en el caso bidimensional; Geometrías mixtas que son parcialmente euclidianas y parcialmente hiperbólicas o esféricas; versiones retorcidas de las geometrías mixtas; y una geometría inusual que es completamente anisotrópica (es decir, cada dirección se comporta de manera diferente).
Propiedades poco comunes [ editar ]
Las geometrías euclidianas y no euclidianas naturalmente tienen muchas propiedades similares, a saber, aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Este punto en común es el tema de la geometría absoluta (también llamada geometría neutral ). Sin embargo, las propiedades que distinguen una geometría de las otras son las que históricamente han recibido la mayor atención.
Además del comportamiento de las líneas con respecto a un perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:
- Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero que tiene tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, un ángulo recto si la geometría es euclidiana u obtusa si la geometría es elíptica. En consecuencia, los rectángulos existen (una declaración equivalente al postulado paralelo) solo en la geometría euclidiana.
- Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero que tiene dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado la base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman los ángulos de la cumbre y tienen la misma medida. Los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, ángulos rectos si la geometría es euclidiana y ángulos obtusos si la geometría es elíptica.
- La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180 ° si la geometría es hiperbólica, igual a 180 ° si la geometría es euclidiana, y mayor que 180 ° si la geometría es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180 ° - suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también se puede expresar como: el defecto de los triángulos en la geometría hiperbólica es positivo, el defecto de los triángulos en la geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en la geometría elíptica es negativo.
Importancia [ editar ]
Antes de que los modelos de un plano no euclidiano fueran presentados por Beltrami, Klein y Poincaré, la geometría euclidiana no era considerada como el modelo matemático del espacio . Además, dado que la sustancia del sujeto en la geometría sintética era una exposición principal de la racionalidad, el punto de vista euclidiano representaba la autoridad absoluta.
El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que iba más allá de los límites de las matemáticas y la ciencia. El tratamiento del conocimiento humano por parte del filósofo Immanuel Kant tuvo un papel especial para la geometría. Fue su primer ejemplo de conocimiento sintético a priori; no derivado de los sentidos ni deducido a través de la lógica: nuestro conocimiento del espacio era una verdad con la que nacimos. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterable era euclidiano. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la forma en que las matemáticas están relacionadas con el mundo que lo rodea, que fue el resultado de este cambio de paradigma. [22]
La geometría no euclidiana es un ejemplo de una revolución científica en la historia de la ciencia , en la que los matemáticos y los científicos cambiaron la forma en que veían sus temas. [23] Algunos geometers llamaron aLobachevsky el " Copérnico de la Geometría" debido al carácter revolucionario de su trabajo. [24] [25]
La existencia de geometrías no euclidianas afectó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras [26] y, en particular, fue uno de los principales factores que causaron un nuevo examen de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides . Este tema curricular se debatió acaloradamente en ese momento y fue incluso el tema de un libro, Euclid y sus Modern Rivals , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), más conocido como Lewis Carroll , el autor de Alicia en el país de las maravillas .
Álgebras planas [ editar ]
En geometría analítica, un plano se describe con coordenadas cartesianas : C = {( x, y ): x , y ∈ ℝ}. Los puntos aveces se identifican con números complejos z = x + y ε donde ε 2 ∈ {–1, 0, 1}.
El plano euclidiano corresponde al caso ε 2 = −1 ya que el módulo de z está dado por
y esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre z y el origen. Por ejemplo, { z | zz * = 1 } es el círculo unitario .
Para el álgebra plana, la geometría no euclidiana surge en los otros casos. Cuando ε 2 = +1 , entonces z es un número de complejo dividido y j convencionalmente reemplaza épsilon. Entonces
Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de pendiente en el plano numérico dual y el ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, cada uno surge en la descomposición polar de un número complejo z . [28]
Geometrías cinemáticos [ editar ]
La geometría hiperbólica encontró una aplicación en cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea mundial y tiempo apropiado en la física matemática . Se dio cuenta de que la subvariedad , de los acontecimientos en un momento de tiempo adecuado en el futuro, se podría considerar un espacio hiperbólico de tres dimensiones. [29] [30] Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta sub-colección a través de su Álgebra de Física y cuaterniones hiperbólicos., aunque Macfarlane no usó el lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica.
Las álgebras planas no euclidianas soportan geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número de complejo dividido z = e a j puede representar un evento de espacio-tiempo un momento hacia el futuro de un marco de referencia de rapidez a . Además, la multiplicación por z asciende a un impulso Lorentz mapear el marco con rapidez cero a que con rapidez una .
El estudio cinemático hace uso de los números duales. para representar la descripción clásica del movimiento en tiempo y espacio absolutos : las ecuaciones son equivalentes a un mapeo de corte en álgebra lineal:
Otra visión de la relatividad especial como una geometría no euclidiana fue desarrollada por EB Wilson y Gilbert Lewis en Actas de la Academia Americana de Artes y Ciencias en 1912. Renovaron la geometría analítica implícita en el álgebra numérica de complejos complejos en geometría sintética de premisas. y deducciones.
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