TEMAS DE GEOMETRÍA

geometría de Klein es un tipo de geometría motivada por Felix Klein en su influyente programa Erlangen . Más específicamente, es un espacio homogéneo X junto con una acción transitiva sobre Xpor un grupo de Lie G , que actúa como el grupo de simetría de la geometría.

Para conocer los antecedentes y la motivación, consulte el artículo sobre el programa Erlangen .

Definición formal [ editar ]

Una geometría de Klein es un par ( G , H ) donde G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie cerrado de G, de modo que el espacio de coset G / H (izquierda) está conectado . El grupo G se llama el grupo principal de la geometría y G / H se llama el espacio de la geometría (o, por un abuso de terminología, simplemente la geometría de Klein ). El espacio x = G / H de una geometría Klein es una variedad lisa de dimensión

dim X = dim G - dim H .

Hay una acción natural izquierda suave de G en X dada por

$${\ displaystyle g. (aH) = (ga) H.}

Claramente, esta acción es transitivo (tomar un = 1 ), de modo que uno puede entonces considerar X como un espacio homogéneo para la acción de G . El estabilizador de la clase lateral identidad H ∈ X es precisamente el grupo H .

Dado cualquier colector liso X conectado y una acción transitiva suave de un Grupo de Lie G en X , podemos construir una geometría Klein asociada ( G , H ) al fijar un punto base x ₀ en X y dejar que H sea ​​el subgrupo estabilizador de x ₀ en G . El grupo H es necesariamente un subgrupo cerrado de G y X es naturalmente difeomorfa a G / H .

Dos geometrías de Klein ( G ₁ , H ₁ ) y ( G ₂ , H ₂ ) son geométricamente isomorfas si hay un isomorfismo del grupo de Lie φ  : G ₁ → G _{2, de} modo que φ ( H ₁ ) = H ₂ . En particular, si φ es conjugación por un elemento g ∈ G , vemos que ( G , H )y ( G , gHg ⁻¹ ) son isomorfos. La geometría de Klein asociada a un espacio homogéneo X es entonces única hasta el isomorfismo (es decir, es independiente del punto de base elegido x ₀ ).

Descripción del paquete [ editar ]

Dado un Grupo de Lie G y un subgrupo cerrado H , existe una acción natural correcta de H en G dada por la multiplicación correcta. Esta acción es tanto gratuita como adecuada . Las órbitas son simplemente la izquierda clases laterales de H en G . Se concluye que G tiene la estructura de un haz de H principal suave sobre el espacio de coset izquierdo G / H :

$${\ displaystyle H \ to G \ to G / H.}

Tipos de geometrías klein [ editar ]

Geometrías efectivas [ editar ]

La acción de G en X = G / H no necesita ser efectiva. El núcleo de una geometría Klein se define para ser el núcleo de la acción de G en X . Es dado por

$${\ displaystyle K = \ {k \ en G: g ^ {- 1} kg \ en H \; \; \ para todos g \ en G \}.}

El núcleo K también se puede describir como el núcleo de H en G (es decir, el subgrupo más grande de H que es normal en G ). Es el grupo generado por todos los subgrupos normales de G que se encuentran en H .

Se dice que una geometría de Klein es efectiva si K = 1 y localmente efectiva si K es discreta . Si ( G , H ) es una geometría de Klein con núcleo K , entonces ( G / K , H / K ) es una geometría de Klein efectiva asociada canónicamente a ( G , H ) .

Geometrías orientadas geométricamente [ editar ]

Una geometría Klein ( G , H ) está orientada geométricamente si G está conectado . (Esto no implica que G / Hsea ​​una variedad orientada ). Si H está conectado, se deduce que G también está conectado (esto se debe a que se supone que G / H está conectado, y G → G / H es una fibración ).

Dado cualquier geometría Klein ( G , H ) , hay una geometría orientada geométricamente canónicamente asociado a ( G , H ) con el mismo espacio de base de G / H . Esta es la geometría ( G ₀ , G ₀ ∩ H ) donde G ₀ es el componente de identidad de G . Tenga en cuenta que G = G ₀ H .

Geometrías reductivas [ editar ]

Una geometría Klein ( G , H ) se dice que es reductiva y G / H un espacio homogéneo reductivo si el álgebra de Lie $${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}de H tiene un complemento H -invariante en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}.

Ejemplos [ editar ]

En la siguiente tabla, hay una descripción de las geometrías clásicas, modeladas como geometrías de Klein.

	Espacio subyacente	Grupo de transformación g	Subgrupo H	Invariantes
Geometría proyectiva	Espacio proyectivo real $${\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathrm {P} ^ {n}}	Grupo proyectivo $${\ displaystyle \ mathrm {PGL} (n + 1)}	Un subgrupo $${\ displaystyle P}arreglando unabandera $${\ displaystyle \ {0 \} \ subconjunto V_ {1} \ subconjunto V_ {n}}	Líneas proyectivas, relación cruzada
Geometría conformalen la esfera.	Esfera $${\ displaystyle S ^ {n}}	Grupo de lorentz$${\ displaystyle (n + 2)}espacio tridimensional $${\ displaystyle \ mathrm {O} (n + 1,1)}	Un subgrupo $${\ displaystyle P}arreglando unalínea en el cono nulo de la métrica de Minkowski	Círculos generalizados , ángulos.
Geometría hiperbólica	Espacio hiperbólico $${\ displaystyle H (n)}, modelado, por ejemplo, como líneas de tiempo en elespacio de Minkowski $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1, n}}	Grupo de Lorentz ortocrono $${\ displaystyle \ mathrm {O} (1, n) / \ mathrm {O} (1)}	$${\ displaystyle \ mathrm {O} (1) \ times \ mathrm {O} (n)}	Líneas, círculos, distancias, ángulos.
Geometría elíptica	Espacio elíptico, modelado, por ejemplo, como las líneas a través del origen en el espacio euclidiano $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}	$${\ displaystyle \ mathrm {O} (n + 1) / \ mathrm {O} (1)}	$${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) / \ mathrm {O} (1)}	Líneas, círculos, distancias, ángulos.
Geometría esférica	Esfera $${\ displaystyle S ^ {n}}	Grupo ortogonal $${\ displaystyle \ mathrm {O} (n + 1)}	Grupo ortogonal $${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}	Líneas (grandes círculos), círculos, distancias de puntos, ángulos.
Geometría afín	Espacio afín $${\ displaystyle A (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n}}	Grupo afín $${\ displaystyle \ mathrm {Aff} (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ mathrm {GL} (n)}	Grupo lineal general $${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}	Líneas, cociente de áreas de superficie de formas geométricas,centro de masa detriángulos
Geometría euclidiana	Espacio euclidiano $${\ displaystyle E (n)}	Grupo euclidiano $${\ displaystyle \ mathrm {Euc} (n) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ mathrm {O} (n)}	Grupo ortogonal $${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}	Distancias depuntos , ángulosde vectores , áreas.

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Sophus Lie, el creador de la geometría de la esfera de Lie y la correspondencia línea-esfera.

La geometría de la esfera de mentira es una teoría geométrica de la geometría plana o espacial en la que el concepto fundamental es el círculo o esfera . Fue introducida por Sophus Lie en el siglo XIX. ^[1] La idea principal que conduce a la geometría de la esfera de Lie es que las líneas (o planos) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio infinito y que los puntos en el plano (o espacio) deben considerarse como círculos (o esferas) de radio cero.

El espacio de los círculos en el plano (o esferas en el espacio), incluidos los puntos y las líneas (o planos), resulta ser una variedad conocida como la Cuadrícula de mentira (una hipersuperficie cuádrica en el espacio proyectivo ). La geometría de la esfera de Lie es la geometría del cuadrático de Lie y las transformaciones de Lie que la preservan. Esta geometría puede ser difícil de visualizar porque las transformaciones de Lie no conservan los puntos en general: los puntos se pueden transformar en círculos (o esferas).

Para manejar esto, las curvas en el plano y las superficies en el espacio se estudian utilizando sus elevaciones de contacto , que están determinadas por sus espacios tangentes . Esto proporciona una realización natural del círculo oscilante a una curva, y las esferas de curvatura de una superficie. También permite un tratamiento natural de los cicluros de Dupin y una solución conceptual del problema de Apolonio .

La geometría de la esfera de apoyo se puede definir en cualquier dimensión, pero el caso del plano y el espacio tridimensional son los más importantes. En este último caso, Lie notó una notable similitud entre la cuadrícula de esferas de Lie en 3 dimensiones y el espacio de líneas en el espacio proyectivo tridimensional, que también es una hipersuperficie cuádrica en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, llamado Plücker. o Klein quadric . Esta similitud llevó a Lie a su famosa "correspondencia línea-esfera" entre el espacio de las líneas y el espacio de las esferas en el espacio tridimensional.

Conceptos básicos [ editar ]

La observación clave que conduce a la geometría de la esfera de Lie es que los teoremas de la geometría euclidiana en el plano (resp. En el espacio) que solo dependen de los conceptos de círculos (resp. Esferas) y su contacto tangencial tienen una formulación más natural de una manera más general. contexto en el que los círculos, líneas y puntos (resp. esferas, planos y puntos) se tratan en igualdad de condiciones. Esto se logra en tres pasos. Primero, se agrega un punto ideal en el infinito al espacio euclidiano de modo que las líneas (o planos) puedan considerarse como círculos (o esferas) que pasan por el punto en el infinito (es decir, que tienen un radio infinito ). Esta extensión es conocida comoGeometría inversa con automorfismos conocidos como "transformaciones de Mobius". En segundo lugar, los puntos se consideran círculos (o esferas) de radio cero. Finalmente, por razones técnicas, los círculos (o esferas), incluidas las líneas (o planos) reciben orientaciones .

Estos objetos, es decir, los puntos, los círculos orientados y las líneas orientadas en el plano, o los puntos, las esferas orientadas y los planos orientados en el espacio, a veces se denominan ciclos o ciclos de Lie. Resulta que forman una hipersuperficie cuádrica en un espacio proyectivo de dimensión 4 o 5, que se conoce como el cuadril de Lie. Las simetrías naturales de este quadric forman un grupo de transformaciones conocidas como transformaciones de Lie. Estas transformaciones no conservan los puntos en general: son transformaciones del cuadrático de la Mentira, no del plano / esfera más el punto en el infinito. Las transformaciones que preservan los puntos son precisamente las transformaciones de Möbius. Las transformaciones de Lie que fijan el punto ideal en el infinito son lasLaguerre transformaciones de geometría Laguerre . Estos dos subgrupos generan el grupo de transformaciones de Lie, y su intersección son las transformadas de Möbius que fijan el punto ideal en el infinito, es decir, los mapas conformes afines.

Estos grupos también tienen una interpretación física directa: como lo señaló Harry Bateman , las transformaciones de la esfera de Lie son idénticas a las transformaciones de ondas esféricas que dejan la forma de las ecuaciones de Maxwell invariantes. Además, Élie Cartan , Henri Poincaré y Wilhelm Blaschke señalaron que el grupo de Laguerre es simplemente isomorfo al grupo de relatividad especial de Lorentz (ver grupo de Laguerre isomorphic al grupo de Lorentz ). Eventualmente, también hay un isomorfismo entre el grupo de Möbius y el grupo de Lorentz (ver la transformación de Lorentz del grupo de Möbius # ).

Geometría de la esfera de mentira en el plano [ editar ]

La mentira cuadrática [ editar ]

La mentira cuadrática del plano se define de la siguiente manera. Sea R ^3,2 el espacio R ⁵ de 5 tuplas de números reales, equipado con la firma (3,2) de forma bilinear simétrica definida por

$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ cdot (y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3 }, y_ {4}) = - x_ {0} y_ {0} + x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {4} + x_ {4} y_ {3}.}

Un hiperboloide reglado es un análogo bidimensional del cuadrático de Lie.

El espacio proyectivo R P ⁴ es el espacio de las líneas a través del origen en R ⁵y es el espacio de los vectores no nulos x en R ⁵ hasta la escala, donde x = ( x ₀, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ). El plano Quentric Q de Lie consta de los puntos [ x ] en el espacio proyectivo representado por los vectores x con x · x = 0.

Para relacionar esto con la geometría plana es necesario arreglar una línea temporal orientada . Las coordenadas elegidas sugieren usar el punto [1,0,0,0,0] ∈ R P ⁴ . Cualquier punto en la Cuádrica Q de Lie se puede representar mediante un vector x = λ (1,0,0,0,0) + v , donde v es ortogonal a (1,0,0,0,0). Como [ x ] ∈ Q, v · v = λ ² ≥ 0.

El espacio ortogonal a (1,0,0,0,0), intersectado con el cuadrático de Lie, es la esfera celeste bidimensional S en el espacio-tiempo de Minkowski . Este es el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito, que tomamos como [0,0,0,0,1]: los puntos finitos ( x , y ) en el plano se representan mediante los puntos [ v ] = [0, x , y , −1, ( x ² + y ² ) / 2]; tenga en cuenta que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 y v· (0,0,0,0,1) = −1.

Por lo tanto, los puntos x = λ (1,0,0,0,0) + v en la cuadrícula de Lie con λ = 0 corresponden a los puntos en el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito. Por otro lado, los puntos x con λ no cero corresponden a círculos orientados (o líneas orientadas, que son círculos hasta el infinito) en el plano euclidiano. Esto es más fácil de ver en términos de la esfera celeste S : el círculo correspondiente a [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (con λ ≠ 0) es el conjunto de puntos y ∈ S con y · v= 0. El círculo está orientado porque v / λ tiene un signo definido; [- λ(1,0,0,0,0) + v ] representa el mismo círculo con la orientación opuesta. Por lo tanto, el mapa de reflexión isométrica x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) induce una involución ρ del cuadrático de Lie que invierte la orientación de los círculos. y líneas, y fija los puntos del plano (incluido el infinito).

Para resumir: hay una correspondencia uno a uno entre los puntos en el cuadrático de Lie y los ciclos en el plano, donde un ciclo es un círculo orientado (o línea recta) o un punto en el plano (o el punto en el infinito) ; Los puntos pueden considerarse como círculos de radio cero, pero no están orientados.

Incidencia de ciclos [ editar ]

Supongamos que dos ciclos están representados por puntos [ x ], [ y ] ∈ Q . Entonces x · y = 0 si y solo si los ciclos correspondientes se "besan", es decir, se encuentran con un contacto de primer orden orientado . Si [ x ] ∈ S ≅ R ² ∪ {∞}, esto significa que [ x ] se encuentra en el círculo correspondiente a [ y ]; este caso es inmediato a partir de la definición de este círculo (si [ y ] corresponde a un círculo de puntos, entonces x · y = 0 si y solo si [ x] = [ y ]).

Por lo tanto, sigue siendo considerar el caso de que ni [ x ] ni [ y ] están en S . Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x = (1,0,0,0,0) + v y y = (1,0,0,0,0) + w , donde v y w son vectores de unidades espaciales en (1,0,0,0,0) ^⊥ . Por tanto, v ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ y w ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ son subespacios de firma (2,1) de (1,0,0,0). 0) ^⊥. Por lo tanto, coinciden o se intersecan en un subespacio bidimensional. En este último caso, el subespacio bidimensional puede tener la firma (2,0), (1,0), (1,1), en cuyo caso los dos círculos correspondientes en S seintersecan en cero, uno o dos puntos respectivamente . Por lo tanto, tienen contacto de primer orden si y solo si el subespacio bidimensional está degenerado (firma (1,0)), que se mantiene si y solo si el intervalo de v y w es degenerado. Por la identidad de Lagrange , esto se cumple si y solo si ( v · w ) ² = ( v · v ) ( w · w ) = 1, es decir, si y solo si v· W = ± 1, es decir, x · y = 1 ± 1. El contacto está orientado si y solo si v · w = - 1, es decir, x · y = 0.

El problema de Apolonio [ editar ]

Las ocho soluciones del problema genérico de Apolonia. Los tres círculos dados están etiquetados como C1, C2 y C3 y están coloreados en rojo, verde y azul, respectivamente. Las soluciones se organizan en cuatro pares, con un círculo de solución rosa y uno negro cada uno, etiquetados como 1A / 1B, 2A / 2B, 3A / 3B y 4A / 4B. Cada par hace contacto orientado con C1, C2 y C3, para una elección adecuada de orientaciones; Hay cuatro opciones de este tipo hasta una inversión de orientación general.

La incidencia de los ciclos en la geometría de la esfera de Lie proporciona una solución simple para el problema de Apollonius . ^[3] Este problema se refiere a una configuración de tres círculos distintos (que pueden ser puntos o líneas): el objetivo es encontrar todos los otros círculos (incluidos los puntos o líneas) que sean tangentes a los tres círculos originales. Para una configuración genérica de círculos, hay como máximo ocho círculos tangentes.

La solución, utilizando la geometría de la esfera de Lie, procede de la siguiente manera. Elija una orientación para cada uno de los tres círculos (hay ocho formas de hacerlo, pero solo hay cuatro para invertir la orientación de los tres). Esto define tres puntos [ x ], [ y ], [ z ] en el Quadric Q de Lie . Por la incidencia de los ciclos, una solución al problema de Apolonia compatible con las orientaciones elegidas viene dada por un punto [ q ] ∈ Q, de modo que q es ortogonal a x , y y z . Si estos tres vectores son linealmente dependientes , entonces los puntos correspondientes [ x], [ y ], [ z ] se encuentran en una línea en el espacio proyectivo. Como una ecuación cuadrática no trivial tiene a lo sumo dos soluciones, esta línea realmente se encuentra en la cuadrícula de Lie, y cualquier punto [ q ] en esta línea define un incidente de ciclo con [ x ], [ y ] y [ z ]. Por lo tanto, hay infinitas soluciones en este caso.

Si, en cambio , x , y y z son linealmente independientes, entonces el subespacio V ortogonal a los tres es bidimensional. Puede tener la firma (2,0), (1,0) o (1,1), en cuyo caso hay cero, una o dos soluciones para [ q ] respectivamente. (La firma no puede ser (0,1) o (0,2) porque es ortogonal a un espacio que contiene más de una línea nula). En el caso de que el subespacio tenga una firma (1,0), la solución única q se encuentra en el lapso de x , y y z .

La solución general al problema apolíneo se obtiene invirtiendo las orientaciones de algunos de los círculos, o equivalentemente, considerando los triples ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) y ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).

Tenga en cuenta que el triple ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) produce las mismas soluciones que ( x , y , z ), pero con una inversión general de orientación. Por lo tanto, hay un máximo de 8 círculos de solución para el problema de Apolonia a menos que los tres círculos se encuentren tangencialmente en un solo punto, cuando hay infinitas soluciones.

Transformaciones de la mentira [ editar ]

Cualquier elemento del grupo O (3,2) de las transformaciones ortogonales de R ^3,2 mapea cualquier subespacio unidimensional de vectores nulos en R ^3,2 a otro subespacio. Por lo tanto, el grupo O (3,2) actúa sobre el cuadrático de la Mentira. Estas transformaciones de ciclos se denominan "transformaciones de Lie". Conservan la relación de incidencia entre ciclos. La acción es transitiva.y así todos los ciclos son equivalentes a la mentira. En particular, los puntos no se conservan mediante transformaciones generales de Lie. El subgrupo de transformaciones de Lie que preservan los ciclos de puntos es esencialmente el subgrupo de transformaciones ortogonales que preservan la dirección temporal elegida. Este subgrupo es isomorfo al grupo O (3,1) de las transformaciones de Möbius de la esfera. También se puede caracterizar como el centralizador de la involución ρ, que es en sí misma una transformación de Lie.

Las transformaciones de mentiras a menudo se pueden usar para simplificar un problema geométrico, transformando círculos en líneas o puntos.

Elementos de contacto y elevadores de contacto [ editar ]

El hecho de que las transformaciones de Lie no conserven puntos en general también puede ser un obstáculo para comprender la geometría de la esfera de Lie. En particular, la noción de una curva no es invariante de Lie. Esta dificultad puede ser mitigada por la observación de que existe una noción invariante de Lie del elemento de contacto .

Un elemento de contacto orientado en el plano es un par que consiste en un punto y una línea orientada (es decir, dirigida) a través de ese punto. El punto y la línea son ciclos incidentes. La observación clave es que el conjunto de todos los ciclos que inciden tanto en el punto como en la línea es un objeto invariante de Lie: además del punto y la línea, consta de todos los círculos que hacen contacto orientado con la línea en el punto dado . Se llama un lápiz de ciclos de Lie , o simplemente un elemento de contacto .

Tenga en cuenta que los ciclos también son incidentes entre sí. En términos de la cuadrícula de Lie, esto significa que un lápiz de ciclos es una línea (proyectiva) que se extiende completamente en la cuadric de Lie, es decir, es la proyectivización de un subespacio bidimensional de R ^3,2 totalmente nulo : los vectores representativos de Los ciclos en el lápiz son todos ortogonales entre sí.

El conjunto de todas las líneas en el cuadrático de Lie es una variedad tridimensional llamada espacio de elementos de contacto Z ³ . Las transformaciones de Lie conservan los elementos de contacto y actúan de forma transitoria en Z ³ . Para una elección dada de ciclos de puntos (los puntos ortogonales de un vector v elegido de tiempo ), cada elemento de contacto contiene un punto único. Esto define un mapa de Z ³ a la 2 esfera S ² cuyas fibras son círculos. Este mapa no es invariante de Lie, ya que los puntos no son invariantes de Lie.

Sea γ : [ a , b ] → R ² una curva orientada. Entonces γ determina un mapa λ desde el intervalo [ a , b ] a Z ³enviando t al elemento de contacto correspondiente al punto γ ( t ) y la línea orientada tangente a la curva en ese punto (la línea en la dirección γ '( t )). Este mapa λ se llama la elevación de contacto de γ .

De hecho, Z ³ es un colector de contacto , y la estructura de contacto es invariante de Lie. De ello se deduce que las curvas orientadas pueden estudiarse de manera invariable con la Mentira a través de sus elevaciones de contacto, que pueden caracterizarse, genéricamente, como curvas de Leyenda en Z ³ . Más precisamente, el espacio tangente a Z ³ en el punto correspondiente a un subespacio bidimensional nulo π de R ^3,2 es el subespacio de esos mapas lineales (A mod π ): π → R ^3,2 / π con

A ( x ) · y + x · A ( y ) = 0

y la distribución de contacto es el subespacio Hom ( π , π ^⊥ / π ) de este espacio tangente en el espacio Hom ( π, R ^3,2 / π ) de los mapas lineales.

De ello se deduce que una curva legendaria inmersa λ en Z ³ tiene un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto de la curva: la derivada de la inmersión en t es un subespacio 1-dimensional de Hom ( π , π ^⊥ / π ) donde π = λ ( t ); el núcleo de cualquier elemento distinto de cero de este subespacio es un subespacio unidimensional bien definido de π , es decir, un punto en el cuadrático de Lie.

En términos más familiares, si λ es la elevación de contacto de una curva γ en el plano, entonces el ciclo preferido en cada punto es el círculo de oscilación . En otras palabras, después de tomar levantamientos de contacto, gran parte de la teoría básica de las curvas en el plano es invariante de Lie.

Geometría de la esfera de mentira en el espacio y dimensiones superiores [ editar ]

Teoría general [ editar ]

La geometría de la esfera de Lie en n- dimensiones se obtiene reemplazando R ^3,2 (que corresponde al cuadrático de Lie en n = 2 dimensiones) por R ^{n + 1, 2} . Este es R ^{n + 3} equipado con la forma bilineal simétrica.

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})}$

${\displaystyle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+1}.}$

El Lie quadric Q _n se define nuevamente como el conjunto de [ x ] ∈ R P ^n +2 = P ( R ^n +1,2 ) con x · x = 0. El quadric parametriza esferas orientadas ( n - 1) en Espacio n -dimensional, incluyendo hiperplanos y esferas puntuales como casos limitantes. Tenga en cuenta que Q _n es una variedad (n + 1) -dimensional (las esferas están parametrizadas por su centro y radio).

La relación de incidencia se traslada sin cambio: las esferas correspondientes a los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q _n tienen un contacto de primer orden orientado si y solo si x · y = 0. El grupo de transformaciones de Lie ahora es O (n + 1 , 2) y las transformaciones de Lie conservan la incidencia de los ciclos de Lie.

El espacio de elementos de contacto es un (2 n - 1) colector de contacto dimensional Z ^{2 n - 1} : en términos de la elección dada de esferas puntuales, estos elementos de contacto corresponden a pares que consisten en un punto en el espacio n -dimensional (que puede ser el punto en el infinito) junto con un hiperplano orientado que pasa por ese punto. El espacio Z ^{2 n - 1} es, por lo tanto, isomorfo al paquete cotangente proyectivado de la n-esfera. Esta identificación no es invariante en las transformaciones de Lie: en términos invariantes de Lie, Z ^{2 n - 1}es el espacio de las líneas (proyectivas) en el cuadrático de Lie.

Cualquier hipersuperficie orientada sumergida en el espacio n -dimensional tiene una elevación de contacto a Z ^{2n - 1} determinada por sus espacios tangentes orientados . Ya no hay un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto: en cambio, hay n - 1 ciclos de este tipo, correspondientes a las esferas de curvatura en la geometría euclidiana.

El problema de Apolonio tiene una generalización natural que involucra n + 1 hiperesferas en n dimensiones. ^[4]

Tres dimensiones y la correspondencia línea-esfera [ editar ]

En el caso n = 3, la cuádrica Q ₃ en P ( R ^4,2 ) describe la (Lie) la geometría de las esferas en euclidiana 3-espacio. Lie notó una notable similitud con la correspondencia de Klein para líneas en el espacio tridimensional (más precisamente en R P ³ ). ^[2]

Supongamos [ x ], [ y ] ∈ R P ³ , con coordenadas homogéneas ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y ( y ₀ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ). ^[5]Poner p _ij = x _i y _j - x _j y _i . Estas son las coordenadas homogéneas de la unión de la línea proyectiva.x y y . Hay seis coordenadas independientes y satisfacen una sola relación, la relación Plücker

p ₀₁ p ₂₃ + p ₀₂ p ₃₁ + p ₀₃ p ₁₂ = 0.

De ello se deduce que hay una correspondencia uno a uno entre las líneas en R P ³ y los puntos en la cuadrícula de Klein , que es la hipersuperficie cuadrática de puntos [ p ₀₁ , p ₂₃ , p ₀₂ , p ₃₁ , p ₀₃ , p ₁₂ ] en R P ⁵satisfaciendo la relación Plücker.

La forma cuadrática que define la relación Plücker proviene de una forma de firma bilineal simétrica (3,3). En otras palabras, el espacio de las líneas en R P ³ es el cuadrático en P ( R ^3,3 ). Si bien esto no es lo mismo que el cuadrático de Lie, se puede definir una "correspondencia" entre líneas y esferas usando los números complejos : si x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) es un punto en la cuadrícula de Lie (complejizada) (es decir, la x _i se toman como números complejos), entonces

p ₀₁ = x ₀ + x ₁ , p ₂₃ = - x ₀ + x ₁

p ₀₂ = x ₂ + i x ₃ , p ₃₁ = x ₂ - i x ₁

p ₀₃ = x ₄ , p ₁₂ = x ₅

define un punto en la cuadriculada de Klein (donde i ² = –1).

Dupin cyclides [ editar ]

Un ciclón de Dupin.

La geometría de la esfera de apoyo proporciona una descripción natural de los cicluros de Dupin . Estos se caracterizan como la envoltura común de dos familias de un solo parámetro de las esferas S ( s ) y T ( t ), donde S y T son mapas de intervalos en el cuadrático de Lie. Para que exista una envoltura común, S ( s ) y T ( t ) deben ser incidentes para todos s y t , es decir, sus vectores representativos deben abarcar un subespacio bidimensional nulo de R ^4,2 . De ahí que definan un mapa en el espacio de elementos de contacto.Z ⁵ . Este mapa es legendario si y solo si las derivadas de S (o T ) son ortogonales a T (o S ), es decir, si y solo si hay una descomposición ortogonal de R ^4,2 en una suma directa de subespacios tridimensionales σ y τ de la firma (2,1), de manera que S toma valores en σ y T toma valores en τ . A la inversa, una descomposición de este tipo determina de forma única la elevación de contacto de una superficie que envuelve dos familias de parámetros de esferas; la imagen de esta elevación de contacto viene dada por los subespacios bidimensionales nulos que se intersecanσ y τ en un par de líneas nulas.

Dicha descomposición se da de manera equivalente, hasta la elección de un signo, por un endomorfismo simétrico de R ^4,2, cuyo cuadrado es la identidad y cuyos espacios en el espacio de ± 1 son σ y τ . Usando el producto interno en R ^4,2 , esto se determina por una forma cuadrática en R ^4,2 .

Para resumir, los cicluros de Dupin se determinan mediante formas cuadráticas en R ^{4,2, de} modo que el endomorfismo simétrico asociado tiene un cuadrado igual a la identidad y los espacios propios de la firma (2,1).

Esto proporciona una manera de ver que los cicluros de Dupin son cicluros, en el sentido de que son conjuntos de cuarentena cero de una forma particular. Para ello, tenga en cuenta que como en el caso planar, 3-dimensional espacio euclidiano incrusta en la mentira cuádrica Q ₃ como el conjunto de esferas punto de diferencia desde el punto ideales en el infinito. Explícitamente, el punto (x, y, z) en el espacio euclidiano corresponde al punto

[0, x , y , z , –1, ( x ² + y ² + z ² ) / 2]

en Q ₃ . Un cicluro consta de los puntos [0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ] ∈ Q ₃ que satisfacen una relación cuadrática adicional

$${\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {5} a_ {ij} x_ {i} x_ {j} = 0}

para algunos simétricos 5 ×; 5 matriz A = ( a _ij ). La clase de cicluros es una familia natural de superficies en la geometría de la esfera de Lie, y los cicluros Dupin forman una subfamilia natural.