TEMAS DE GEOMETRÍA

 geometría compleja es el estudio de múltiples complejas y funciones de varias variables complejas . La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica se incluye en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo .

A lo largo de este artículo, la " analítica " a menudo se elimina por simplicidad; por ejemplo, las subvariedades o hipersuperficies se refieren a las analíticas. Siguiendo la convención en Wikipedia, se asume que las variedades son irreductibles.

Definiciones [ editar ]

Un subconjunto analítica de un complejo-analítica colector M es localmente el cero locus de alguna familia de funciones holomorfas sobre M . Se llama subvariedad analítica si es irreductible en la topología de Zariski.

Paquetes de líneas y divisores [ editar ]

Esta sección puede ser confusa o poco clara para los lectores . En particular, por el uso de símbolos.$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}, {\ mathcal {O}} ^ {*},} y $${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}sin definiciones. Es$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {*}} El subsuelo de funciones no desaparecidas de la gavilla. $${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}de funciones holomorfas en x ? ( Mayo de 2014 ) (Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

A lo largo de esta sección, X denota una variedad compleja. De acuerdo con las definiciones del párrafo " paquetes de líneas y divisores " en " variedades proyectivas ", haga que las funciones regulares en X se denoten$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}} y su subsheaf invertible $${\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {*}}. Y deja　$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X}}ser la gavilla en X asociada con$${\ displaystyle U \ mapsto} el anillo total de fracciones de $${\ displaystyle \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X})}, dónde $${\ displaystyle U_ {i}}Son los gráficos afines abiertos. Entonces una sección global de$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {*} / {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}}(* Significa grupo multiplicativo) se llama un divisor Cartier en X .

Dejar $${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}como el conjunto de todas las clases de isomorfismo de la línea paquetes de X . Se llama el grupo Picard de X y es naturalmente isomorfo para$${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} ^ {*})}. Tomando la secuencia exacta corta de

$${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} ^ {*} \ to 1}

donde el segundo mapa es $${\ displaystyle f \ mapsto \ exp (2 \ pi si)} Se obtiene un homomorfismo de grupos:

$${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ to H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}

La imagen de un paquete de líneas. $${\ displaystyle {\ mathcal {L}}} debajo de este mapa se denota por $${\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {L}})}y se llama la primera clase de Chern$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}.

Un divisor D en X es una suma formal de hipersuperficies (subvariedad de codimension uno):

$${\ displaystyle D = \ sum a_ {i} V_ {i}, \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {Z}}

Eso es localmente una suma finita. ^[1] El conjunto de todos los divisores en X se denota por$${\ displaystyle \ operatorname {Div} (X)}. Puede ser identificado canónicamente con$${\ displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*})}. Tomando la secuencia exacta larga del cociente$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*}}, se obtiene un homomorfismo:

$${\ displaystyle \ operatorname {Div} (X) \ to \ operatorname {Pic} (X).}

Se dice que un grupo de líneas es positivo si su primera clase de Chern está representada por un real cerrado positivo$${\ displaystyle (1,1)}-formar. De manera equivalente, un haz de líneas es positivo si admite una estructura hermitiana tal que la conexión inducida tiene una curvatura positiva de Griffiths . Una variedad compleja que admite un grupo de líneas positivas es kähler .

El teorema de integración de Kodaira establece que un grupo de líneas en una variedad compacta de kähler es positivo si y solo si es suficiente .

Paquetes de vectores complejos [ editar ]

Sea X una variedad diferenciable. El invariante básico de un paquete vectorial complejo.$${\ displaystyle \ pi: E \ a X}Es la clasede Chern del paquete. Por definición, es una secuencia.$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, \ dots} tal que $${\ displaystyle c_ {i} (E)} es un elemento de $${\ displaystyle H ^ {2i} (X, \ mathbb {Z})}y que satisface los siguientes axiomas: ^[2]

1. $${\ displaystyle c_ {i} (f ^ {*} (E)) = f ^ {*} (c_ {i} (E))} para cualquier mapa diferenciable $${\ displaystyle f: Z \ to X}.
2. $${\ displaystyle c (E \ oplus F) = c (E) \ cup c (F)}donde F es otro paquete y$${\ displaystyle c = 1 + c_ {1} + c_ {2} + \ puntos.}
3. $${\ displaystyle c_ {i} (E) = 0} para {\ displaystyle i> \ operatorname {rk} E}.
4. $${\ displaystyle -c_ {1} (E_ {1})} genera $${\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {1}, \ mathbb {Z})} dónde $${\ displaystyle E_ {1}}es el paquete de líneas canónicas sobre$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbf {P} ^ {1}}.

Si L es un grupo de líneas, entonces el carácter de Chern de L viene dado por

$${\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = e ^ {c_ {1} (L)}}.

Más generalmente, si E es un conjunto de vectores de rango r , entonces tenemos la factorización formal: $${\ displaystyle \ sum c_ {i} (E) t ^ {i} = \ prod _ {1} ^ {r} (1+ \ eta _ {i} t)} y luego nos ponemos

$${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = \ sum e ^ {\ eta _ {i}}}.

Métodos de análisis armónico [ editar ]

Algunos resultados profundos en geometría compleja se obtienen con la ayuda del análisis armónico .

Teorema de fuga [ editar ]

Existen varias versiones de teoremas de desvanecimiento en geometría compleja tanto para colectores complejos compactos como no compactos. Sin embargo, todos están basados ​​en el método Bochner .

matroides para referirse a un simple matroid , especialmente en textos más antiguos.

Una colección de círculos y la unidad correspondiente del gráfico del disco.

La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias y los métodos constructivos de objetos geométricos discretos . La mayoría de preguntas en geometría discreta implican finitos o discretos conjuntos de objetos geométricos básicos, tales como puntos , líneas , planos , círculos , esferas , polígonos , y así sucesivamente. El tema se centra en las propiedades combinatorias de estos objetos, como la forma en que se intersecan. entre sí, o cómo pueden organizarse para cubrir un objeto más grande.

Geometría discreta tiene grandes similitudes con la geometría convexa y la geometría computacional , y está estrechamente relacionada con temas tales como la geometría finita , optimización combinatoria , geometría digitales , la geometría diferencial discreta , la teoría de grafos geométrico , geometría tórica , y topología combinatoria .

Historia [ editar ]

Aunque personas como Kepler y Cauchy habían estudiado los poliedros y las teselaciones durante muchos años , la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros temas estudiados fueron: la densidad de los paquetes de círculos de Thue , las configuraciones proyectivas de Reye y Steinitz , la geometría de los números de Minkowski y los colores de los mapas de Tait, Heawood y Hadwiger .

László Fejes Tóth , HSM Coxeter y Paul Erdős , sentaron las bases de la geometría discreta . ^{[1] [2] [3]}

Temas en geometría discreta [ editar ]

Poliedros y politopos [ editar ]

Artículos principales: Poliedro y Politope.

Un politopo es un objeto geométrico con lados planos, que existe en cualquier número general de dimensiones. Un polígono es un politopo en dos dimensiones, un poliedro en tres dimensiones y así sucesivamente en dimensiones más altas (como un 4-politopo en cuatro dimensiones). Algunas teorías generalizan aún más la idea de incluir objetos tales como politopos sin límites ( apeirótopos y teselaciones ) y politopos abstractos .

Los siguientes son algunos de los aspectos de los politopos estudiados en geometría discreta:

• Combinatoria poliédrica
• Enrejado de politopos
• Polinomios de Ehrhart
• Teorema de pick
• Conjetura de hirsch

Empaques, cubiertas y revestimientos [ editar ]

Artículos principales: empaque circular y teselado.

Las empaquetaduras, cubiertas y revestimientos son todas formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas o azulejos) de manera regular sobre una superficie o colector .

Un empaquetamiento de esfera es una disposición de esferas no superpuestas dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas son generalmente todas de tamaño idéntico, y el espacio es generalmente espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacio euclidiano n- dimensional (donde el problema se convierte en empaquetamiento circular en dos dimensiones, o empaquetado de hiperesfera en dimensiones más altas) o en espacios no euclidianos , como el espacio hiperbólico .

Una teselación de una superficie plana es el mosaico de un plano que utiliza una o más formas geométricas, llamadas teselas, sin superposiciones ni espacios. En matemáticas , las teselaciones pueden generalizarse a dimensiones más altas.

Los temas específicos en esta área incluyen:

• Empaques circulares
• Embalajes de esfera
• Conjetura de Kepler
• Cuasicristales
• Tejas aperiódicas
• Grafica periodica
• Reglas de subdivisión finita

La rigidez estructural y la flexibilidad [ editar ]

Artículo principal: Rigidez estructural.

Los gráficos se dibujan como varillas conectadas mediante bisagras giratorias. El gráfico de ciclo C ₄ dibujado como un cuadrado puede inclinarse sobre la fuerza azul en un paralelogramo, por lo que es un gráfico flexible. K ₃ , dibujado como un triángulo, no puede ser alterado por ninguna fuerza que se le aplique, por lo que es un gráfico rígido.

La rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de los conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces flexibles o bisagras.

Los temas en esta área incluyen:

• Teorema de Cauchy
• Poliedros flexibles

Estructuras de incidencia [ editar ]

Artículo principal: Estructura de incidencia.

Siete puntos son elementos de siete líneas en el plano Fano , un ejemplo de una estructura de incidencia.

Las estructuras de incidencia generalizan los planos (como los planos afines , proyectivos y de Möbius ) como se puede ver en sus definiciones axiomáticas. Las estructuras de incidencia también generalizan los análogos de dimensiones superiores y las estructuras finitas a veces se llaman geometrías finitas .

Formalmente, una estructura de incidencia es un triple.

$${\ displaystyle C = (P, L, I). \,}

donde P es un conjunto de "puntos", L es un conjunto de "líneas" y$${\ displaystyle I \ subseteq P \ times L}Es la relación de incidencia . Los elementos de$${\ displaystyle I}Se llaman banderas. Si

$${\ displaystyle (p, l) \ en I,}

decimos que el punto p "se encuentra en" linea$${\ displaystyle l}.

Los temas en esta área incluyen:

• Configuraciones
• Arreglos de linea
• Arreglos Hyperplane
• Edificios

Matroides orientados [ editar ]

Artículo principal: Matroid orientado.

Un matroid orientado es una estructura matemática que abstrae las propiedades de los gráficos dirigidos y de las disposiciones de los vectores en un espacio vectorial sobre un campo ordenado (particularmente para espacios vectoriales parcialmente ordenados ). ^[4] En comparación, un ordinario (es decir, no orientada) matroid abstrae la dependencia propiedades que son comunes tanto a los gráficos , que no están necesariamente dirigidos , y a los arreglos de los vectores más de los campos, que no están necesariamente ordenadas . ^[5] [6]

La teoría de grafos geométricos [ editar ]

Artículo principal: Teoría del gráfico geométrico.

Un gráfico geométrico es un gráfico en el que los vértices o bordes están asociados con objetos geométricos . Los ejemplos incluyen gráficas euclidianas, el esqueleto 1 de un poliedro o poliótopo , gráficas de intersección y gráficas de visibilidad .

Los temas en esta área incluyen:

• Dibujo grafico
• Grafos poliédricos
• Diagramas de voronoi y triangulaciones de Delaunay.

Complejos Simpliciales [ editar ]

Artículo principal: Simplicial complex.

Un complejo simplicial es un espacio topológico de un cierto tipo, construido por "encolado juntos" puntos , segmentos de línea , triángulos , y sus n homólogos -dimensional (véase la ilustración). Los complejos simples no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría de la homotopía simplicial moderna. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .

Combinatoria topológica [ editar ]

Artículo principal: combinatoria topológica

La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en la topología y, a principios del siglo 20, se convirtió en el campo de la topología algebraica .

En 1978, la situación se invirtió (se utilizaron métodos de topología algebraica para resolver un problema en combinatoria ) cuando László Lovász probó la conjetura de Kneser , comenzando así el nuevo estudio de combinatoria topológica . La prueba de Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam y este teorema conserva un papel prominente en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones y análogos equivalentes y se ha utilizado en el estudio de problemas de división equitativa .

Los temas en esta área incluyen:

• La lemma de sperner
• Mapas regulares

Rejas y grupos discretos [ editar ]

Artículos principales: Celosía (grupo) y grupo discreto.

Un grupo discreto es un grupo G equipado con la topología discreta . Con esta topología, G se convierte en un grupo topológico . Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H cuya topología relativa es la discreta. Por ejemplo, los enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métricaestándar ), pero los números racionales , Q , no lo hacen.

Una celosía en un grupo topológico localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio del cociente tiene una medida invariante finita . En el caso especial de los subgrupos de R ⁿ , esto equivale a la noción geométrica usual de una red , y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría de la totalidad de todas las redes son relativamente bien entendidas. Resultados profundos de Borel , Harish-Chandra , Mostow , Tamagawa , MS Raghunathan , Margulis , Zimmerobtenido desde la década de 1950 hasta la década de 1970 proporcionó ejemplos y generalizó gran parte de la teoría al establecimiento de grupos de Lie nilpotentes y grupos algebraicos semisimples en un campo local . En la década de 1990, Bass y Lubotzkyiniciaron el estudio de las celosías de árboles , que sigue siendo un área de investigación activa.

Los temas en esta área incluyen:

• Grupos de reflexión
• Grupos triangulares

Geometría digital [ editar ]

Artículo principal: geometría digital.

La geometría digital trata con conjuntos discretos (generalmente conjuntos de puntos discretos ) que se consideran modelos o imágenes digitalizadas de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .

En pocas palabras, la digitalización es reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, la visualización de trama de una computadora o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .

Sus principales áreas de aplicación son gráficos por ordenador y análisis de imágenes . ^[7]

Geometría diferencial discreta [ editar ]

Artículo principal: Geometría diferencial discreta.

La geometría diferencial discreta es el estudio de contrapartes discretas de nociones en geometría diferencial . En lugar de curvas y superficies suaves, hay polígonos , mallas y complejos de simplicidad . Se utiliza en el estudio de gráficas por ordenador y combinatoria topológica .

Los temas en esta área incluyen:

• Operador discreto de laplace
• Calculo exterior discreto
• Teoría del morse discreto
• Combinatoria topológica
• Análisis de forma espectral
• Geometría diferencial abstracta
• Análisis de fractales.