geometría birracional es un campo de la geometría algebraica en el que el objetivo es determinar cuándo dos variedades algebraicas son isomorfas fuera de los subconjuntos de dimensiones inferiores. Esto equivale a estudiar las asignaciones que se dan mediante funciones racionales en lugar de polinomios; el mapa puede no ser definido donde las funciones racionales tienen polos.
Mapas de Birational [ editar ]
Un mapa racional de una variedad (entendida a ser irreducible ) X a otra variedad Y , escrito como una flecha de trazos X ⇢ Y , se define como un morfismo de un subconjunto no vacío abierto U de X a Y . Por definición de la topología de Zariski utilizado en la geometría algebraica, un subconjunto abierto no vacío U es siempre el complemento de un subconjunto inferior-dimensional de X . Concretamente, un mapa racional puede escribirse en coordenadas usando funciones racionales.
Un mapa biracional de X a Y es un mapa racional f : X ⇢ Y tal que hay un mapa racional Y ⇢ X inverso a f . Un mapa birracional induce un isomorfismo de un subconjunto abierto no vacío de X a un subconjunto abierto no vacío de Y . En este caso, se dice que X e Y son biracionales , o biracionalmente equivalentes . En términos algebraicos, dos variedades sobre un campo k son biracionales si y solo si sus campos de funciónSon isomorfos como campos de extensión de k .
Un caso especial es un morfismo biracional f : X → Y , que significa un morfismo que es biracional. Es decir, fse define en todas partes, pero su inverso puede no serlo. Típicamente, esto sucede porque un morfismo birracional contrae algunas subvariedades de X a puntos en Y .
Se dice que una variedad X es racional si es biracional afinar el espacio (o, de manera equivalente, al espacio proyectivo ) de alguna dimensión. La racionalidad es una propiedad muy natural: significa que X menos algún subconjunto de dimensión inferior puede identificarse con el espacio afín menos un cierto subconjunto de dimensión inferior. Por ejemplo, el círculo con la ecuación x 2 + y 2 - 1 = 0 es una curva racional, porque las fórmulas
define un mapa birracional desde la línea afín al círculo. (La aplicación de este mapa con t un número racional da una construcción sistemática de tripletas pitagóricas ). El mapa inverso envía ( x , y ) a (1 - y ) / x .
De manera más general, una hipersuperficie X cuadrática (grado 2) lisa de cualquier dimensión n es racional, por proyección estereográfica . (Para X una cuádrica sobre un campo k , X debe ser asumido para tener una k punto -racional ; esto es automático si k es algebraicamente cerrado.) Para definir la proyección estereográfica, dejar que p sea un punto en X . Luego se da un mapa biracional de X al espacio proyectivo P n de las líneas a través de p enviando un punto q en Xa la recta por p y q . Esta es una equivalencia birracional pero no un isomorfismo de variedades, porque no se puede definir donde q = p (y el mapa inverso no se puede definir en aquellas líneas hasta p que están contenidas en X ).
Modelos mínimos y resolución de singularidades [ editar ]
Cada variedad algebraica es biracional a una variedad proyectiva ( el lema de Chow ). Por lo tanto, para los propósitos de la clasificación birracional, es suficiente trabajar solo con variedades proyectivas, y este suele ser el entorno más conveniente.
Mucho más profundo es el teorema de Hironaka de 1964 sobre la resolución de singularidades : sobre un campo de característica 0 (como los números complejos), cada variedad es biracional a una variedad proyectiva uniforme . Dado esto, basta con clasificar las variedades proyectivas suaves hasta la equivalencia birracional.
En la dimensión 1, si dos curvas proyectivas suaves son biracionales, entonces son isomorfas. Pero eso falla en dimensión al menos 2, por la construcción de voladura . Al explotar, cada variedad proyectiva suave de dimensión al menos 2 es biracional a infinitas variedades "más grandes", por ejemplo, con números Betti más grandes .
Esto lleva a la idea de modelos mínimos : ¿existe una variedad única más simple en cada clase de equivalencia birracional? La definición moderna es que una variedad proyectiva X es mínima si el haz de líneas canónicas K Xtiene un grado no negativo en cada curva en X ; en otras palabras, K X es nef . Es fácil comprobar que las variedades infladas nunca son mínimas.
Esta noción funciona perfectamente para superficies algebraicas (variedades de dimensión 2). En términos modernos, un resultado central de la escuela italiana de geometría algebraica de 1890–1910, parte de la clasificación de superficies , es que cada superficie X es biracional a un producto P 1 × C para alguna curva C o a una superficie mínima Y . [1] Los dos casos se excluyen mutuamente, e Y es único si existe. Cuando Y existe, se llama el modelo mínimo de X .
Invariantes Biracionales [ editar ]
Al principio, no está claro cómo mostrar que existen variedades algebraicas que no sean racionales. Para probar esto, se necesitan algunas invariantes biracionales de variedades algebraicas.
Un conjunto útil de invariantes biracionales es la plurigenera . El haz canónica de una variedad lisa X de dimensión n significa el haz de línea de n -formas K X = Ω n , que es el n º potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un número entero d , el d ésima potencia tensor de K X es de nuevo una línea paquete. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de las secciones globales H 0 ( X, K X d ) tiene la propiedad notable de que un mapa biracional f : X ⇢ Y entre variedades proyectivas suaves induce un isomorfismo H 0 ( X , K X d ) ≅ H 0 ( Y , K Y d ). [2]
Para d ≥ 0, defina d th plurigenus P d como la dimensión del espacio vectorial H 0 ( X , K X d ); entonces las plurigeneras son invariantes biracionales para variedades proyectivas lisas. En particular, si cualquier plurigenus P d con d > 0 no es cero, entonces X no es racional.
Un invariante birracional fundamental es la dimensión Kodaira , que mide el crecimiento de la plurigenera P d amedida que d va hacia el infinito. La dimensión Kodaira divide todas las variedades de dimensión n en n + 2 tipos, con la dimensión Kodaira −∞, 0, 1, ... o n . Esta es una medida de la complejidad de una variedad, con el espacio proyectivo que tiene la dimensión Kodaira −∞. Las variedades más complicadas son aquellas con una dimensión Kodaira igual a su dimensión n , llamadas variedades de tipo general .
Más generalmente, para cualquier suma natural E (Ω 1 ) de la potencia del tensor r th del haz cotangente Ω 1 con r ≥ 0, el espacio vectorial de las secciones globales H 0 ( X , E (Ω 1 )) es un invariante biracional Para variedades proyectivas lisas. En particular, el Hodge números h r , 0 = dim H 0 ( X , Ω r ) son invariantes birracionales de X . (La mayoría de los otros números de Hodge h p, q no son invariantes birracionales, como se muestra al explotar.)
El grupo fundamental π 1 ( X ) es un invariante biracional para variedades proyectivas complejas lisas.
El "Teorema de factorización débil", probado por Abramovich, Karu, Matsuki y Włodarczyk (2002) , dice que cualquier mapa biracional entre dos variedades proyectivas complejas lisas se puede descomponer en finamente muchas explosiones o explosiones de subvariedades suaves. Es importante saber esto, pero aún puede ser muy difícil determinar si dos variedades proyectivas suaves son biracionales.
Modelos mínimos en dimensiones superiores [ editar ]
Una variedad proyectiva X se llama mínima si el paquete canónico K X es nef . Para X de dimensión 2, es suficiente considerar variedades suaves en esta definición. En las dimensiones al menos 3, se debe permitir que las variedades mínimas tengan ciertas singularidades leves, para las cuales K X todavía se comporta bien; Estas se llaman singularidades terminales .
Dicho esto, el modelo conjetura mínimo implicaría que cada variedad X es o bien cubierto por curvas racionales o birracional a una variedad mínimo Y . Cuando existe, Y se llama un modelo mínimo de X .
Los modelos mínimos no son únicos en dimensiones al menos 3, pero cualquiera de las dos variedades mínimas que son biracionales son muy cercanas. Por ejemplo, son subconjuntos externos isomorfos de codimensión al menos 2, y más precisamente están relacionados por una secuencia de fracasos . Por lo tanto, la conjetura del modelo mínimo daría información sólida sobre la clasificación biracional de las variedades algebraicas.
La conjetura fue probada en la dimensión 3 por Mori (1988) . Ha habido un gran progreso en las dimensiones superiores, aunque el problema general sigue abierto. En particular, Birkar, Cascini, Hacon y McKernan (2010)demostraron que cada variedad de tipo general sobre un campo de característica cero tiene un modelo mínimo.
Variedades Uniruled [ editar ]
Una variedad se llama no gobernada si está cubierta por curvas racionales. Una variedad no gobernada no tiene un modelo mínimo, pero hay un buen sustituto: Birkar, Cascini, Hacon y McKernan demostraron que cada variedad no gobernada en un campo de cero característico es biracional a un espacio de fibra Fano . [3] Esto conduce al problema de la clasificación biracional de los espacios de fibra Fano y (como el caso especial más interesante) las variedades Fano . Por definición, una variedad proyectiva X es Fano si el paquete anticanónico K X * es amplio. Las variedades fano pueden considerarse las variedades algebraicas que son más similares al espacio proyectivo.
En la dimensión 2, cada variedad Fano (conocida como superficie Del Pezzo ) sobre un campo algebraicamente cerrado es racional. Un descubrimiento importante en la década de 1970 fue que a partir de la dimensión 3, existen muchas variedades Fano que no son racionales . En particular, los 3 pliegues cúbicos lisos no son racionales de Clemens – Griffiths (1972) , y los 3 pliegues quárticos lisos no son racionales de Iskovskikh – Manin (1971) . No obstante, el problema de determinar exactamente qué variedades de Fano son racionales está lejos de resolverse. Por ejemplo, no se sabe si hay una hipersuperficie cúbica suave en P n +1 con n ≥ 4 que no sea racional.
Grupos de automorfismos birracional [ editar ]
Las variedades algebraicas difieren ampliamente en la cantidad de automorfismos birracionales que tienen. Toda variedad de tipo general es extremadamente rígida, en el sentido de que su grupo de automorfismo birracional es finito. En el otro extremo, el grupo automorfismo biracional del espacio proyectivo P n sobre un campo k , conocido como el grupo Cremona Cr n ( k ), es grande (en cierto sentido, infinito-dimensional) para n ≥ 2. Para n= 2 , el complejo Cremona grupo Cr 2 ( C ) es generado por la "transformación cuadrática"
- [ x , y , z ] ↦ [1 / x , 1 / y , 1 / z ]
junto con el grupo PGL (3, C ) de automorfismos de P 2 , por Max Noether y Castelnuovo . En contraste, el grupo de Cremona en dimensiones n ≥ 3 es un misterio: no se conoce un conjunto explícito de generadores.
Iskovskikh-Manin (1971) demostró que el grupo de automorfismo birracional de una quártica suave triplicada es igual a su grupo de automorfismo, que es finito. En este sentido, los tripletes quárticos están lejos de ser racionales, ya que el grupo de automorfismo birracional de una variedad racional es enorme. Este fenómeno de "rigidez birracional" ya se ha descubierto en muchos otros espacios de fibra Fano.
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