TEMAS DE FÍSICA

la mecánica analítica o la mecánica teórica es una colección de formulaciones alternativas estrechamente relacionadas de la mecánica clásica . Fue desarrollado por muchos científicos y matemáticos durante el siglo XVIII y en adelante, después de la mecánica newtoniana . Dado que la mecánica de Newton considera vector cantidad de movimiento, especialmente aceleraciones , momentos , fuerzas , de los constituyentes del sistema, un nombre alternativo para la mecánica que se rigen por las leyes de Newton y las leyes de EuleresMecánica vectorial .

En contraste, la mecánica analítica utiliza propiedades escalaresdel movimiento que representan el sistema en su totalidad, generalmente su energía cinética total y energía potencial, no las fuerzas vectoriales de Newton de partículas individuales. ^[1] Un escalar es una cantidad, mientras que un vector se representa por cantidad y dirección. Las ecuaciones de movimiento se derivan de la cantidad escalar por algún principio subyacente acerca de la variación del escalar .

La mecánica analítica aprovecha las limitaciones de un sistema para resolver problemas. Las restricciones limitan los grados de libertad que puede tener el sistema y se pueden usar para reducir el número de coordenadas necesarias para resolver el movimiento. El formalismo se adapta bien a elecciones arbitrarias de coordenadas, conocidas en el contexto como coordenadas generalizadas . Las energías cinética y potencial del sistema se expresan utilizando estas coordenadas generalizadas o momentos, y las ecuaciones de movimiento se pueden configurar fácilmente, por lo que la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos completamente vectoriales. No siempre funciona para fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas como la fricción, en cuyo caso uno puede volver a la mecánica newtoniana o usar la ecuación de Udwadia – Kalaba .

Las dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana (usando coordenadas generalizadas y las correspondientes velocidades generalizadas en el espacio de configuración ) y la mecánica hamiltoniana (utilizando coordenadas y los momentos correspondientes en el espacio de fase ). Ambas formulaciones son equivalentes por una transformación de Legendre en las coordenadas generalizadas, las velocidades y los momentos, por lo que ambas contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones, como la teoría de Hamilton-Jacobi , la mecánica routhiana y la ecuación de movimiento de Appell.. Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, pueden derivarse del resultado ampliamente aplicable llamado principio de acción mínima . Un resultado es el teorema de Noether , una declaración que conecta las leyes de conservación con sus simetrías asociadas .

La mecánica analítica no introduce una nueva física y no es más general que la mecánica newtoniana. Más bien es una colección de formalismos equivalentes que tienen una amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos pueden usarse en la mecánica relativista y en la relatividad general , y con algunas modificaciones, la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos .

La mecánica analítica se usa ampliamente, desde la física fundamental hasta la matemática aplicada , particularmente la teoría del caos .

Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Se pueden modificar para describir campos o fluidos continuos, que tienen infinitos grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones tienen una estrecha analogía con las de la mecánica.

Movimiento intrínseco [ editar ]

Coordenadas y restricciones generalizadas.

En la mecánica newtoniana , uno usa habitualmente las tres coordenadas cartesianas , u otro sistema de coordenadas 3D , para referirse a la posición de un cuerpo durante su movimiento. Sin embargo, en los sistemas físicos, alguna estructura u otro sistema generalmente restringe el movimiento del cuerpo para que no tome ciertas direcciones y caminos. Por lo tanto, un conjunto completo de coordenadas cartesianas a menudo es innecesario, ya que las restricciones determinan las relaciones en evolución entre las coordenadas, cuyas relaciones pueden ser modeladas por ecuaciones correspondientes a las restricciones. En los formalismos lagrangiano y hamiltoniano, las restricciones se incorporan a la geometría del movimiento, reduciendo el número de coordenadas al mínimo necesario para modelar el movimiento. Estos son conocidos comoCoordenadas generalizadas , denotadas q _i ( i = 1, 2, 3 ...). ^[2]

Diferencia entre coordenadas curvilíneas y generalizadas.

Las coordenadas generalizadas incorporan restricciones en el sistema. Hay una coordenada generalizada q _ipara cada grado de libertad (por conveniencia etiquetada por un índice i = 1, 2 ... N ), es decir, cada forma en que el sistema puede cambiar su configuración ; Como longitudes curvilíneas o ángulos de rotación. Las coordenadas generalizadas no son lo mismo que las coordenadas curvilíneas. El número de curvilíneas coordenadas es igual a la dimensión del espacio puesto en cuestión (por lo general 3 para el espacio 3D), mientras que el número de generalizadoLas coordenadas no son necesariamente iguales a esta dimensión; las restricciones pueden reducir el número de grados de libertad (de ahí el número de coordenadas generalizadas requeridas para definir la configuración del sistema), siguiendo la regla general: ^[3]

[ dimensión del espacio de posición (generalmente 3)] × [número de componentes del sistema ("partículas")] - (número de restricciones )

= (número de grados de libertad ) = (número de coordenadas generalizadas )

Para un sistema con N grados de libertad, las coordenadas generalizadas se pueden recoger en un N - tupla :

$${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, \ cdots q_ {N})}

y la derivada del tiempo (aquí denotada por un overdot) de esta tupla da las velocidades generalizadas :

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} = \ left ({\ frac {dq_ {1}} {dt}}, {\ frac {dq_ {2}} {dt}}, \ cdots {\ frac {dq_ {N}} {dt}} \ right) \ equiv \ mathbf {\ dot {q}} = ({\ dot {q}} _ {1}, {\ dot {q}} _ {2}, \ cdots {\ dot {q}} _ {N})}.

Principio de D'Alembert

La base sobre la que se basa el tema es el principio de D'Alembert .

Este principio establece que el trabajo virtual infinitesimal realizado por una fuerza a través de desplazamientos reversibles es cero, que es el trabajo realizado por una fuerza consistente con las restricciones ideales del sistema. La idea de una restricción es útil, ya que limita lo que el sistema puede hacer y puede proporcionar pasos para resolver el movimiento del sistema. La ecuación para el principio de D'Alembert es:

$${\ displaystyle \ delta W = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \ cdot \ delta \ mathbf {q} = 0 \ ,,}

dónde

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = ({\ mathcal {Q}} _ {1}, {\ mathcal {Q}} _ {2}, \ cdots {\ mathcal {Q}} _ {NORTE})}

son las fuerzas generalizadas (el script Q en lugar de la Q ordinaria se usa aquí para evitar conflictos con las transformaciones canónicas a continuación) y q son las coordenadas generalizadas. Esto conduce a la forma generalizada de las leyes de Newton en el lenguaje de la mecánica analítica:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) - {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,,}

donde T es la energía cinética total del sistema y la notación

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial q_ {1}}}, {\ frac {\ partial} {\ parcial q_ {2}}}, \ cdots {\ frac {\ parcial} {\ parcial q_ {N}}} \ derecha)}

es una taquigrafía útil (ver cálculo de matriz para esta notación).

Restricciones holonomicas

Si el sistema de coordenadas curvilíneas está definido por el vector de posición estándar r , y si el vector de posición se puede escribir en términos de las coordenadas generalizadas qy el tiempo t en la forma:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (\ mathbf {q} (t), t)}

y esta relación se mantiene para todos los tiempos t , entonces q se llaman restricciones holonómicas . ^{[4] El}vector r depende explícitamente de t en los casos en que las restricciones varían con el tiempo, no solo por q ( t). Para situaciones independientes del tiempo, las restricciones también se denominan escleronómicas , para casos dependientes del tiempo se llaman reonómicas . ^[3]

Mecánica lagrangiana [ editar ]

Ecuaciones de Lagrangian y Euler-Lagrange

La introducción de coordenadas generalizadas y la función lagrangiana fundamental:

$${\ displaystyle L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) = T (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) -V (\ mathbf { q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}

donde T es la energía cinética total y V es la energía potencial total de todo el sistema, luego siguiendo el cálculo de variaciones o utilizando la fórmula anterior, conduzca a las ecuaciones de Euler-Lagrange ;

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,,}

que son un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden , una para cada q _i ( t ).

Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria sobre la cual la integral de tiempo de la energía cinética es mínima, asumiendo que la energía total es fija, y no impone condiciones en el tiempo de tránsito.

Espacio de configuración

La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las coordenadas generalizadas posibles:

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {\ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {N} \} \ ,,}

dónde $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}es el espacio real en N dimensiones (véase también la notación de creación de conjuntos ). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina ruta o trayectoria (configuración) , es decir, una q ( t ) particular sujeta a las condiciones iniciales requeridas . Las soluciones generales forman un conjunto de posibles configuraciones como funciones del tiempo:

$${\ displaystyle \ {\ mathbf {q} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {N} \,: \, t \ geq 0, t \ in \ mathbb {R} \} \ subseteq {\ mathcal { DO}}\,,}

El espacio de configuración puede definirse de manera más general, y de hecho más profundamente, en términos de variedades topológicas y el paquete tangente .

Mecánica hamiltoniana [ editar ]

Las ecuaciones de Hamilton y Hamilton.

La transformación de Legendre del Lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas ( q , q̇ ) con ( q , p ); Las coordenadas generalizadas y los momenta generalizados se conjugan con las coordenadas generalizadas:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} = \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot { q}} _ {1}}}, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {2}}}, \ cdots {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ punto {q}} _ {N}}} \ right) = (p_ {1}, p_ {2} \ cdots p_ {N}) \ ,,}

e introduce el Hamiltoniano (que está en términos de coordenadas generalizadas y momentos):

$${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} -L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t)}

donde • denota el producto de puntos , lo que también lleva a las ecuaciones de Hamilton :

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,, \ quad \ mathbf {\ dot {q}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {p}}} \ ,,}

que ahora son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q _i ( t ) y p _i( t ). Otro resultado de la transformación de Legendre se relaciona con los derivados del tiempo de Lagrangian y Hamiltonian:

$${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = - {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} \ ,,}

que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton, además de las otras. Los momentos generales pueden escribirse en términos de las fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton:

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \ ,.}

Espacio de impulso generalizado

Al igual que en el espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momento(técnicamente en este contexto; espacio de momento generalizado ):

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ {\ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} ^ {N} \} \ ,.}

"Espacio de impulso" también se refiere a " k -space"; El conjunto de todos los vectores de onda (dado por las relaciones de De Broglie ) tal como se utiliza en la mecánica cuántica y la teoría de las ondas : esto no se menciona en este contexto.

Espacio de fase

El conjunto de todas las posiciones y momentos forman el espacio de fase ;

$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {M}} = \ {(\ mathbf {q}, \ mathbf {p}) \ in \ mathbb {R} ^ {2N} \} \ ,,}

es decir, el producto cartesiano × del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.

Una solución particular para las ecuaciones de Hamilton se llama una ruta de fase , una curva particular ( q ( t ), p ( t )) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todas las rutas de fase, la solución general de las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase :

$${\ displaystyle \ {(\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t)) \ in \ mathbb {R} ^ {2N} \,: \, t \ geq 0, t \ in \ mathbb {R} \} \ subseteq {\ mathcal {P}} \ ,,}

El soporte de Poisson

Todas las variables dinámicas pueden derivarse de la posición r , el momento p y el tiempo t , y escribirse en función de éstas: A = A ( q , p , t ). Si A ( q , p , t ) y B ( q , p , t ) son dos variables dinámicas de valor escalar, el corchete de Poisson se define por las coordenadas generalizadas y el momento:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ {A, B \} \ equiv \ {A, B \} _ {\ mathbf {q}, \ mathbf {p}} & = {\ frac {\ parcial A} { \ partial \ mathbf {q}}} \ cdot {\ frac {\ partial B} {\ partial \ mathbf {p}}} - {\ frac {\ partial A} {\ partial \ mathbf {p}}} \ cdot {\ frac {\ parcial B} {\ parcial \ mathbf {q}}} \\ & \ equiv \ sum _ {k} {\ frac {\ parcial A} {\ parcial q_ {k}}} {\ frac { \ parcial B} {\ parcial p_ {k}}} - {\ frac {\ parcial A} {\ parcial p_ {k}}} {\ frac {\ parcial B} {\ parcial q_ {k}}} \, , \ end {alineado}}}

El cálculo de la derivada total de uno de estos, por ejemplo, A , y la sustitución de las ecuaciones de Hamilton en el resultado conduce a la evolución temporal de A :

$${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = \ {A, H \} + {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ ,.}

Esta ecuación en A está estrechamente relacionada con la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenbergde la mecánica cuántica , en la que las variables dinámicas clásicas se convierten en operadores cuánticos(indicados por sombreros (^)), y el soporte de Poisson es reemplazado por el conmutador de operadores a través de Dirac Cuantización canónica :

$${\ displaystyle \ {A, B \} \ rightarrow {\ frac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ ,.}

Propiedades de las funciones lagrangiana y hamiltoniana [ editar ]

Las siguientes son propiedades superpuestas entre las funciones lagrangiana y hamiltoniana. ^[3] [5]

• Todas las coordenadas generalizadas individuales q _i ( t ), las velocidades q̇ _i ( t ) y los momentos p _i ( t ) para cada grado de libertad son mutuamente independientes. La dependencia explícita del tiempo de una función significa que la función realmente incluye el tiempo t como una variable además de q ( t ), p ( t ), no simplemente como un parámetro a través de q ( t ) y p ( t ), lo que significaría Independencia del tiempo explícito.
• El Lagrangiano es invariante si se agrega la derivada de tiempo total de cualquier función de q y t , es decir:

$${\ displaystyle L '= L + {\ frac {d} {dt}} F (\ mathbf {q}, t) \ ,,}

por lo que cada Lagrangiano L y L ' describen exactamente el mismo movimiento . En otras palabras, el lagrangiano de un sistema no es único.

• De manera análoga, el Hamiltoniano es invariante al agregar la derivada de tiempo parcial de cualquier función de q , p y t , es decir:

$${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) \ ,,}

( K es una letra de uso frecuente en este caso). Esta propiedad se utiliza en transformaciones canónicas (ver más abajo).

• Si el Lagrangiano es independiente de algunas coordenadas generalizadas, entonces el conjugado de momenta generalizado a esas coordenadas son constantes del movimiento , es decir, se conservan , esto sigue inmediatamente de las ecuaciones de Lagrange:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j}}} = 0 \, \ rightarrow \, {\ frac {dp_ {j}} {dt}} = {\ frac {d} {dt }} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} = 0}

Tales coordenadas son " cíclicas " o "ignorables". Se puede mostrar que el hamiltoniano también es cíclico en exactamente las mismas coordenadas generalizadas.

• Si el Lagrangiano es independiente del tiempo, el Hamiltoniano también es independiente del tiempo (es decir, ambos son constantes en el tiempo).
• Si la energía cinética es una función homogénea del grado 2 de las velocidades generalizadas, y el Lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo, entonces:

$${\ displaystyle T ((\ lambda {\ dot {q}} _ {i}) ^ {2}, (\ lambda {\ dot {q}} _ {j} \ lambda {\ dot {q}} _ { k}), \ mathbf {q}) = \ lambda ^ {2} T (({\ dot {q}} _ {i}) ^ {2}, {\ dot {q}} _ {j} {\ punto {q}} _ {k}, \ mathbf {q}) \ ,, \ quad L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}) \ ,,}

donde λ es una constante, entonces el Hamiltoniano será la energía total conservada , igual a la energía cinética y potencial total del sistema:

$${\ displaystyle H = T + V = E \ ,.}

Esta es la base de la ecuación de Schrödinger , insertando operadores cuánticos la obtiene directamente.

Principio de mínima acción [ editar ]

A medida que el sistema evoluciona, qtraza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunos). La ruta tomada por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) bajo pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[6]

La acción es otra cantidad en la mecánica analítica definida como funcional del lagrangiano:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) dt \, .}

Una forma general de encontrar las ecuaciones de movimiento de la acción es el principio de acción mínima : ^[7]

$${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t ) dt = 0 \ ,,}

donde se fijan la salida t ₁ y la llegada t ₂ veces. ^[1] El término "ruta" o "trayectoria" se refiere a la evolución temporal del sistema como una ruta a través del espacio de configuración$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}, en otras palabras q( t ) trazando un camino en$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}. La ruta para la cual la acción es menor es la ruta tomada por el sistema.

De este principio, se pueden derivar todas las ecuaciones de movimiento en la mecánica clásica. Este enfoque puede extenderse a los campos en lugar de a un sistema de partículas (ver más abajo), y subyace a la formulación integral de la trayectoria de la mecánica cuántica , ^[8] [9] y se utiliza para calcular el movimiento geodésico en la relatividad general . ^[10]

Mecánica hamiltoniana-jacobi [ editar ]

Transformaciones canónicas

La invariancia del hamiltoniano (además de la derivada temporal parcial de una función arbitraria de p , q y t ) permite que el hamiltoniano en un conjunto de coordenadas q y momenta p se transforme en un nuevo conjunto Q = Q ( q , p , t ) y P = P ( q , p , t ), en cuatro formas posibles:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ parcial} {\ partial t}} G_ {1} (\ mathbf {q}, \ mathbf {Q}, t) \\ & K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q }, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {2} (\ mathbf {q}, \ mathbf {P}, t) \\ & K (\ mathbf { Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} G_ {3} (\ mathbf { p}, \ mathbf {Q}, t) \\ & K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} G_ {4} (\ mathbf {p}, \ mathbf {P}, t) \\\ final {alineado}}}

Con la restricción de P y Q , el sistema Hamiltoniano transformado es:

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {P}} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial \ mathbf {Q}}} \ ,, \ quad \ mathbf {\ dot {Q}} = + {\ frac {\ partial K} {\ partial \ mathbf {P}}} \ ,,}

las transformaciones anteriores se denominan transformaciones canónicas , cada función G _n se denomina una función generadora de " n th kind" o "type- n ". La transformación de coordenadas y momentos puede permitir la simplificación para resolver las ecuaciones de Hamilton para un problema dado.

La elección de Q y P es completamente arbitraria, pero no todas las elecciones conducen a una transformación canónica. Un criterio simple para que una transformación q → Q y p → P sea ​​canónica es que el soporte de Poisson sea unity,

$${\ displaystyle \ {Q_ {i}, P_ {i} \} = 1}

para todos los i = 1, 2, ... N . Si esto no se cumple, entonces la transformación no es canónica. ^[3]

La ecuación de Hamilton-Jacobi.

Al configurar el Hamiltoniano canónico transformado K = 0, y la función de generación de tipo 2 igual a la función principal de Hamilton (también la acción$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}) más una constante arbitraria C :

$${\ displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, t) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + C \ ,,}

El momento generalizado se convierte en:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}}

y P es constante, entonces la ecuación de Hamiltonian-Jacobi (HJE) se puede derivar de la transformación canónica de tipo 2:

$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {S}}} {\ partial t}}}

donde H es el hamiltoniano como antes:

$${\ displaystyle H = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = H \ left (\ mathbf {q}, {\ frac {\ partial {\ partial {\ Mathcal {S}}} {\ partial \ mathbf {q}}}, t \ right)}

Otra función relacionada es la función característica de Hamilton.

$${\ displaystyle W (\ mathbf {q}) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + Et}

Se utiliza para resolver la HJE mediante la separación aditiva de variables para un Hamiltoniano H independiente del tiempo .

El estudio de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi conduce naturalmente al estudio de las variedades simplécticas y la topología simpléctica . ^[11] [12] En esta formulación, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son las curvas integrales de los campos vectoriales hamiltonianos .

Mecánica routhiana [ editar ]

La mecánica routhiana es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, que no se usa a menudo, pero es especialmente útil para eliminar coordenadas cíclicas. Si el lagrangiano de un sistema tiene scoordenadas cíclicas q = q ₁ , q ₂ , ... q _s con momenta conjugada p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , con el resto de las coordenadas no cíclicas y denotado ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N - s}, se pueden eliminar introduciendo el routhiano :

$${\ displaystyle R = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ dot {q}} -L (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, {\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}}) \ ,,}

que conduce a un conjunto de ecuaciones hamiltonianas de 2 s para las coordenadas cíclicas q ,

$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}} = + {\ frac {\ partial R} {\ partial \ mathbf {p}}} \ ,, \ quad {\ dot {\ mathbf {p}}} = - {\ frac {\ partial R} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,,}

y N - s ecuaciones de Lagrangian en las coordenadas no cíclicas ζ .

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial R} {\ partial {\ dot {\ boldsymbol {\ zeta}}}}} = {\ frac {\ partial R} {\ partial {\ boldsymbol {\ zeta}}}} \ ,.}

Establecido de esta manera, aunque el routhiano tiene la forma del hamiltoniano, se puede pensar en un lagrangiano con grados de libertad N - s .

Las coordenadas q no tienen que ser cíclicas, la división entre las coordenadas que ingresan en las ecuaciones hamiltonianas y las que ingresan en las ecuaciones lagrangianas es arbitraria. Es simplemente conveniente dejar que las ecuaciones hamiltonianas eliminen las coordenadas cíclicas, dejando las coordenadas no cíclicas a las ecuaciones de movimiento lagrangianas.

La mecánica Appellian [ editar ]

La ecuación de movimiento de Appell involucra aceleraciones generalizadas, las derivadas del segundo tiempo de las coordenadas generalizadas:

$${\ displaystyle \ alpha _ {r} = {\ ddot {q}} _ {r} = {\ frac {d ^ {2} q_ {r}} {dt ^ {2}}} \ ,,}

así como las fuerzas generalizadas mencionadas anteriormente en el principio de D'Alembert. Las ecuaciones son

$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {r} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} \ ,, \ quad S = {\ frac {1} {2} } \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} ^ {2} \ ,,}

dónde

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}

Es la aceleración de la partícula k , la segunda derivada del tiempo de su vector de posición. Cada aceleración a _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas α _r , así como cada r _k se expresa en términos de las coordenadas generalizadas q _r .

Extensiones a la teoría clásica de campos [ editar ]

Teoría del campo lagrangiano

Las coordenadas generalizadas se aplican a partículas discretas. Para los N campos escalares φ _i ( r , t ) donde i= 1, 2, ... N , la densidad de Lagrangian es una función de estos campos y sus derivadas de espacio y tiempo, y posiblemente las coordenadas de espacio y tiempo en sí mismas:

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ { 2}, \ ldots \ partial \ phi _ {1} / \ partial t, \ partial \ phi _ {2} / \ partial t, \ ldots \ mathbf {r}, t) \ ,.}

y las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un análogo para los campos:

$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ Mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {i})}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {i}}} \ ,,}

donde ∂ _μ denota el gradiente 4 y se ha utilizado la convención de suma . Para los campos escalares N , estas ecuaciones de campo lagranianas son un conjunto de N ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en los campos, que en general serán acopladas y no lineales.

Esta formulación de campo escalar se puede extender a campos vectoriales , campos tensoriales y campos giratorios .

El lagrangiano es la integral de volumen de la densidad lagrangiana: ^[9] [13]

$${\ displaystyle L = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ mathcal {L}} \, dV \ ,.}

Originalmente desarrollada para campos clásicos, la formulación anterior es aplicable a todos los campos físicos en situaciones clásicas, cuánticas y relativistas: como la gravedad newtoniana , el electromagnetismo clásico , la relatividad general y la teoría de campos cuánticos . Se trata de determinar la densidad lagrangiana correcta para generar la ecuación de campo correcta.

Teoria del campo hamiltoniano

Las correspondientes densidades de campo de "momento" conjugadas con los campos escalares N φ _i ( r , t ) son: ^[9]

$${\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ partial {\ Mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}} _ {i}}} \, \ quad {\ dot {\ phi}} _ {i} \ equiv {\ frac {\ partial \ phi _ {i}} {\ partial t}}.}

donde, en este contexto, el punto superior denota una derivada temporal parcial, no una derivada temporal total. La densidad hamiltoniana $${\ displaystyle {\ mathcal {H}}} Se define por analogía con la mecánica:

$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r} , t) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dot {\ phi}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) \ pi _ {i} (\ mathbf {r}, t) - {\ mathcal {L}} \ ,.}

Las ecuaciones de movimiento son:

$${\ displaystyle {\ dot {\ phi}} _ {i} = + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \ ,, \ quad {\ dot {\ pi}} _ {i} = - {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ phi _ {i}}} \ ,,}

donde el derivado variacional

$${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi _ {i}}} - \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ phi _ {i})}}}

Se debe utilizar en lugar de derivadas meramente parciales. Para los campos N , estas ecuaciones de campo hamiltoniano son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, que en general serán acopladas y no lineales.

Nuevamente, el volumen integral de la densidad hamiltoniana es el hamiltoniano.

$${\ displaystyle H = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ mathcal {H}} \, dV \ ,.}

Simetría, conservación y teorema de Noether [ editar ]

Transformaciones de simetría en el espacio y el tiempo clásicos.

Cada transformación puede ser descrita por un operador (es decir, la función que actúa sobre la posición r o las variables del momento p para cambiarlas). Los siguientes son los casos en que el operador no cambia r o p , es decir, simetrías. ^[8]

Transformación	Operador	Posición	Impulso
Simetría traslacional	$${\ displaystyle X (\ mathbf {a})}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p}}
Traduccion de tiempo	$${\ displaystyle U (t_ {0})}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) \ rightarrow \ mathbf {r} (t + t_ {0})}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} (t) \ rightarrow \ mathbf {p} (t + t_ {0})}
Invariancia rotacional	$${\ displaystyle R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta)}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {r}}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {p}}
Transformaciones galileas	$${\ displaystyle G (\ mathbf {v})}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}
Paridad	$${\ displaystyle P}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow - \ mathbf {r}}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p}}
Simetría t	$${\ displaystyle T}	$${\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} (-t)}	$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}

donde R ( n̂ , θ) es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario n̂ y el ángulo θ.

Teorema de noether

El teorema de Noether establece que una transformación de simetría continua de la acción corresponde a una ley de conservación , es decir, la acción (y, por lo tanto, el Lagrangiano) no cambia bajo una transformación parametrizada por un parámetro s :

$${\ displaystyle L [q (s, t), {\ dot {q}} (s, t)] = L [q (t), {\ dot {q}} (t)]}

El Lagrangiano describe el mismo movimiento independiente de s , que puede ser la longitud, el ángulo de rotación o el tiempo. Se conservarán los momentos correspondientes a q .