La física matemática se refiere al desarrollo de métodos matemáticos para su aplicación a problemas en la física . El Journal of Mathematical Physics define el campo como "la aplicación de las matemáticas a los problemas de la física y el desarrollo de métodos matemáticos adecuados para tales aplicaciones y para la formulación de teorías físicas". [1] Es una rama de las matemáticas aplicadas , pero se ocupa de problemas físicos.
Alcance [ editar ]
Hay varias ramas distintas de la física matemática, y éstas corresponden aproximadamente a períodos históricos particulares.
Mecánica clásica [ editar ]
La rigurosa, abstracta y avanzada reformulación de la mecánica newtoniana adoptando la mecánica lagrangianay la mecánica hamiltoniana incluso en presencia de restricciones. Ambas formulaciones están incorporadas en la mecánica analítica . Esto lleva, por ejemplo, a descubrir la interacción profunda de la noción de simetría [ clarificación necesaria ] y de las cantidades conservadas durante la evolución dinámica [ clarificación necesaria ] , establecida dentro de la formulación más elemental del teorema de Noether . Estos enfoques e ideas pueden ser, y de hecho han sido, extendidos a otras áreas de la física como mecánica estadística ,Mecánica continua , teoría clásica de campos y teoría cuántica de campos . Además, han proporcionado varios ejemplos e ideas básicas en geometría diferencial (por ejemplo, la teoría de los paquetes de vectores y varias nociones en geometría simpléctica ).
Ecuaciones diferenciales parciales [ editar ]
La teoría de las ecuaciones diferenciales parciales (y las áreas relacionadas del cálculo variacional , el análisis de Fourier , la teoría del potencial y el análisis vectorial ) están quizás más estrechamente asociadas con la física matemática. Estos se desarrollaron intensivamente desde la segunda mitad del siglo XVIII (por ejemplo, por D'Alembert , Euler y Lagrange ) hasta la década de 1930. Las aplicaciones físicas de estos desarrollos incluyen hidrodinámica , mecánica celeste , mecánica de continuidad , teoría de la elasticidad , acústica ,Termodinámica , electricidad , magnetismo y aerodinámica .
La teoría cuántica [ editar ]
La teoría de los espectros atómicos (y, más tarde, la mecánica cuántica ) se desarrolló casi simultáneamente con los campos matemáticos del álgebra lineal , la teoría espectral de operadores , álgebras de operadores y, más ampliamente, el análisis funcional . La mecánica cuántica no relativista incluye a los operadores de Schrödinger y tiene conexiones con la física atómica y molecular . La teoría de la información cuántica es otra subespecialidad.
Relatividad y teorías relativistas cuánticos [ editar ]
Las teorías especiales y generales de la relatividad requieren un tipo de matemática bastante diferente. Esta fue la teoría de grupos , que jugó un papel importante tanto en la teoría cuántica de campos como en la geometría diferencial . Sin embargo, esto se complementó gradualmente con la topología y el análisis funcional en la descripción matemática de los fenómenos cosmológicos y de la teoría cuántica de campos. En esta área, tanto el álgebra homológica como la teoría de categorías son importantes hoy en día.
Mecánica estadística [ editar ]
La mecánica estadística forma un campo separado, que incluye la teoría de las transiciones de fase . Se basa en la mecánica hamiltoniana (o su versión cuántica) y está estrechamente relacionada con la teoría ergódica más matemática y algunas partes de la teoría de la probabilidad . Hay interacciones crecientes entre la combinatoria y la física , en particular la física estadística.
Uso [ editar ]
El uso del término "física matemática" es a veces idiosincrásico . Ciertas partes de las matemáticas que surgieron inicialmente del desarrollo de la física no son, de hecho, consideradas partes de la física matemática, mientras que otros campos estrechamente relacionados lo son. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias y la geometría simpléctica generalmente se consideran disciplinas puramente matemáticas, mientras que los sistemas dinámicos y la mecánica hamiltoniana pertenecen a la física matemática. John Herapathusó el término para el título de su texto de 1847 sobre "principios matemáticos de la filosofía natural"; El alcance en ese momento es "las causas del calor, la elasticidad gaseosa, la gravitación y otros grandes fenómenos de la naturaleza". [2]
Matemáticos vs. física teórica [ editar ]
El término "física matemática" se usa a veces para denotar investigaciones dirigidas a estudiar y resolver problemas inspirados en experimentos de física o pensamiento dentro de un marco matemáticamente riguroso . En este sentido, la física matemática abarca un ámbito académico muy amplio que se distingue únicamente por la combinación de la matemática pura y la física . Aunque relacionada con la física teórica , [3] la física matemática en este sentido enfatiza el rigor matemático del mismo tipo que se encuentra en las matemáticas.
Por otro lado, la física teórica enfatiza los vínculos con las observaciones y la física experimental , que a menudo requiere que los físicos teóricos (y los físicos matemáticos en el sentido más general) utilicen argumentos heurísticos , intuitivos y aproximados. [4] Tales argumentos no son considerados rigurosos por los matemáticos, pero eso está cambiando con el tiempo.
Tales físicos matemáticos expanden y elucidan principalmente las teorías físicas . Debido al nivel requerido de rigor matemático, estos investigadores a menudo tratan con preguntas que los físicos teóricos han considerado ya resueltas. Sin embargo, a veces pueden mostrar (pero no comúnmente ni fácilmente) que la solución anterior fue incompleta, incorrecta o simplemente demasiado ingenua. Los problemas sobre los intentos de inferir la segunda ley de la termodinámica de la mecánica estadística son ejemplos. Otros ejemplos se refieren a las sutilezas relacionadas con los procedimientos de sincronización en relatividad especial y general ( efecto Sagnacy sincronización de Einstein ).
El esfuerzo por poner las teorías físicas en una base matemáticamente rigurosa ha inspirado muchos desarrollos matemáticos. Por ejemplo, el desarrollo de la mecánica cuántica y algunos aspectos del análisis funcional sonparalelos entre sí de muchas maneras. El estudio matemático de la mecánica cuántica, la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística cuántica ha motivado resultados en álgebras de operadores . El intento de construir una rigurosa teoría cuántica de campos también ha traído progreso en campos como la teoría de la representación . El uso de la geometría y la topología juega un papel importante en la teoría de cuerdas .
Físicos matemáticos destacados [ editar ]
Antes de Newton [ editar ]
Las raíces de la física matemática se remontan a Arquímedes en Grecia, Ptolomeo en Egipto, Alhazen en Irak y Al-Biruni en Persia .
En la primera década del siglo XVI, el astrónomo aficionado Nicolaus Copernicus propuso el heliocentrismo , y publicó un tratado al respecto en 1543. Retuvo la idea ptolemaica de epiciclos , y simplemente buscó simplificar la astronomía mediante la construcción de conjuntos más simples de órbitas epicíclicas. Los epiciclos consisten en círculos sobre círculos. Según la física aristotélica , el círculo era la forma perfecta de movimiento, y era el movimiento intrínseco del quinto elemento de Aristóteles, la quintaesencia o esencia universal conocida en griego como éter para el aire puro inglés , que era la sustancia pura más allá de la esfera sublunaria., y así fue la composición pura de las entidades celestes. El alemán Johannes Kepler [1571–1630], el asistente de Tycho Brahe , modificó las órbitas copernicanas a elipsis , formalizadas en las ecuaciones de las leyes de Kepler del movimiento planetario .
Galileo Galilei , un atomista entusiasta, en su libro de 1623 The Assayer afirmó que el "libro de la naturaleza" está escrito en matemáticas. [5] Su libro de 1632, sobre sus observaciones telescópicas, apoyaba el heliocentrismo. [6] Habiendo introducido la experimentación, Galileo refutó la cosmología geocéntrica refutando la física aristotélica en sí. El libro de Galilei, Discurso sobre dos nuevas ciencias , de 1638, estableció la ley de igual caída libre así como los principios del movimiento inercial, fundando los conceptos centrales de lo que se convertiría en la mecánica clásica de hoy . [6] Por la ley de inercia de Galilea , así como el principio deInvariancia de Galileo , también llamada la relatividad de Galileo, para cualquier experimentando objeto inercia, existe justificación empírica para saber sólo que es en relación reposo o relativa de movimiento-reposo o de movimiento con respecto a otro objeto.
René Descartes adoptó los principios de Galilea y desarrolló un sistema completo de cosmología heliocéntrica, basado en el principio del movimiento de vórtice, la física cartesiana , cuya amplia aceptación provocó la desaparición de la física aristotélica. Descartes buscó formalizar el razonamiento matemático en la ciencia y desarrolló coordenadas cartesianas para trazar ubicaciones geométricas en el espacio 3D y marcar sus progresiones a lo largo del tiempo. [7]
Christiaan Huygens fue el primero en usar fórmulas matemáticas para describir las leyes de la física, y por esa razón, Huygens es considerado como el primer físico teórico y el fundador de la física matemática. [8] [9]
Newtoniana y post newtoniana [ editar ]
Isaac Newton (1642–1727) desarrolló nuevas matemáticas, incluidos el cálculo y varios métodos numéricos , como el método de Newton para resolver problemas de física. La teoría del movimiento de Newton, publicada en 1687, modeló tres leyes galileanas del movimiento junto con la ley de gravitación universal de Newton en un marco del espacio absoluto —protestado por Newton como una entidad físicamente real de la estructura geométrica euclidiana que se extiende infinitamente en todas las direcciones— al tiempo que presume que es absoluto hora, supuestamente justificando el conocimiento del movimiento absoluto, el movimiento del objeto con respecto al espacio absoluto. El principio de invarianza / relatividad galileana estaba simplemente implícito en la teoría del movimiento de Newton. Al haber reducido ostensiblemente las leyes celestes de movimiento de Kepler y las leyes de movimiento terrestres de Galilea a una fuerza unificadora, Newton logró un gran rigor matemático, pero con laxitud teórica. [10]
En el siglo XVIII, el suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) hizo contribuciones a la dinámica de fluidos y cuerdas vibrantes . El suizo Leonhard Euler (1707–1783) realizó un trabajo especial en cálculo variacional , dinámica, dinámica de fluidos y otras áreas. También fue notable el francés nacido en Italia, Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) por su trabajo en mecánica analítica : formuló la mecánica de Lagrangian y los métodos variacionales. El físico, astrónomo y matemático irlandés, William Rowan Hamilton , también realizó una importante contribución a la formulación de la dinámica analítica denominada dinámica hamiltoniana.(1805-1865). La dinámica hamiltoniana había desempeñado un papel importante en la formulación de las teorías modernas de la física, incluida la teoría de campos y la mecánica cuántica. El físico matemático francés Joseph Fourier (1768 - 1830) introdujo la noción de series de Fourier para resolver la ecuación de calor , dando lugar a un nuevo enfoque para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante transformaciones integrales .
A principios del siglo XIX, el francés Pierre-Simon Laplace (1749–1827) hizo contribuciones primordiales a la astronomía matemática , la teoría del potencial y la teoría de la probabilidad . Siméon Denis Poisson (1781–1840) trabajó en mecánica analítica y teoría del potencial. En Alemania, Carl Friedrich Gauss (1777–1855) hizo contribuciones clave a los fundamentos teóricos de la electricidad , el magnetismo , la mecánica y la dinámica de fluidos . En Inglaterra, George Green (1793-1841) publicóUn ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo en 1828, que además de sus contribuciones significativas a las matemáticas, hizo un progreso temprano hacia el establecimiento de los fundamentos matemáticos de la electricidad y el magnetismo.
Un par de décadas antes de la publicación de Newton de una teoría de la partícula de la luz, el holandés Christiaan Huygens (1629-1695) desarrolló la teoría de la onda de la luz, publicada en 1690. Para 1804, el experimento de doble rendija de Thomas Young reveló un patrón de interferencia. , como si la luz fuera una onda, y así se aceptó la teoría de la luz de la onda de Huygens, así como la inferencia de Huygens de que las ondas de luz eran vibraciones del éter luminífero . Jean-Augustin Fresnel modeló el comportamiento hipotético del éter. Michael Faraday introdujo el concepto teórico de un campo, no la acción a distancia. Mediados del siglo XIX, el escocés James Clerk Maxwell(1831-1879) redujo la electricidad y el magnetismo a la teoría del campo electromagnético de Maxwell, y otros la redujeron a las ecuaciones de Maxwell . Inicialmente, la óptica se encontró como consecuencia del campo de Maxwell [ aclaración necesaria ] . Más tarde, la radiación y el espectro electromagnético conocido de hoy se encontraron también como consecuencia de [ aclaración necesaria ] este campo electromagnético.
El físico inglés Lord Rayleigh [1842–1919] trabajó en el sonido . Los irlandeses William Rowan Hamilton (1805–1865), George Gabriel Stokes (1819–1903) y Lord Kelvin (1824–1907) produjeron varias obras importantes: Stokes fue un líder en óptica y dinámica de fluidos; Kelvin hizo descubrimientos sustanciales en la termodinámica; Hamilton hizo un trabajo notable en la mecánica analítica , descubriendo un enfoque nuevo y poderoso conocido hoy en día como la mecánica hamiltoniana . Las contribuciones muy relevantes a este enfoque se deben a su colega alemán Carl Gustav Jacobi (1804–1851), en particular al referirse aTransformaciones canónicas . El alemán Hermann von Helmholtz (1821–1894) hizo contribuciones sustanciales en los campos del electromagnetismo , las ondas, los fluidos y el sonido. En los Estados Unidos, el trabajo pionero de Josiah Willard Gibbs (1839–1903) se convirtió en la base de la mecánica estadística . Los resultados teóricos fundamentales en esta área fueron logrados por el alemán Ludwig Boltzmann (1844-1906). Juntos, estos individuos sentaron las bases de la teoría electromagnética, la dinámica de fluidos y la mecánica estadística.
Relativista [ editar ]
Para la década de 1880, existía una paradoja prominente de que un observador dentro del campo electromagnético de Maxwell lo medía a una velocidad aproximadamente constante, independientemente de la velocidad del observador en relación con otros objetos dentro del campo electromagnético. Por lo tanto, aunque la velocidad del observador se perdió continuamente [la aclaración necesaria ] en relación con el campo electromagnético, se conservó en relación con otros objetos en el campo electromagnético. Y, sin embargo, no se detectó ninguna violación de la invariancia galileana en las interacciones físicas entre objetos. Como el campo electromagnético de Maxwell se modeló como oscilaciones del éter , los físicos inferieron que el movimiento dentro del éter daba como resultado una deriva del éter., cambiando el campo electromagnético, explicando la velocidad perdida del observador en relación con él. La transformación de Galilea había sido el proceso matemático utilizado para traducir las posiciones en un marco de referencia a las predicciones de las posiciones en otro marco de referencia, todo trazado en coordenadas cartesianas , pero este proceso fue reemplazado por la transformación de Lorentz , modelada por el holandés Hendrik Lorentz [1853– 1928].
Sin embargo, en 1887, los experimentadores Michelson y Morley no pudieron detectar la deriva del éter. Se planteó la hipótesis de que el movimiento hacia el éter también propició el acortamiento del éter, según el modelo de la contracción de Lorentz . Se planteó la hipótesis de que el éter mantenía el campo electromagnético de Maxwell alineado con el principio de invariancia galileana en todos los marcos de referencia inerciales , mientras que la teoría del movimiento de Newton se salvó.
En el siglo XIX, las contribuciones de Gauss a la geometría no euclidiana , o geometría sobre superficies curvas, sentaron las bases para el desarrollo posterior de la geometría riemanniana por Bernhard Riemann (1826–1866). El físico y filósofo teórico austriaco Ernst Mach criticó el espacio absoluto postulado de Newton. El matemático Jules-Henri Poincaré (1854–1912) cuestionó incluso el tiempo absoluto. En 1905, Pierre Duhem publicó una crítica devastadora de los fundamentos de la teoría del movimiento de Newton. [10] También en 1905, Albert Einstein (1879–1955) publicó su teoría especial de la relatividad., explicando de nuevo tanto la invariancia del campo electromagnético como la invariación galileana descartando todas las hipótesis relativas al éter, incluida la existencia del éter en sí. Refutar el marco de la teoría de Newton ( espacio absoluto y tiempo absoluto ), la relatividad especial se refiere al espacio relativo y al tiempo relativo , por lo que los contratos de longitud y el tiempo se dilatan a lo largo de la ruta de viaje de un objeto.
En 1908, el antiguo profesor de Einstein, Hermann Minkowski, modeló el espacio 3D junto con el eje 1D del tiempo al tratar el eje temporal como una cuarta dimensión espacial, en total el espacio-tiempo 4D, y declaró la desaparición inminente de la separación del espacio y el tiempo. Einstein inicialmente lo llamó "aprendizaje superfluo", pero más tarde utilizó el espacio-tiempo de Minkowski con gran elegancia en su teoría general de la relatividad , [11] extendiendo la invariancia a todos los marcos de referencia, ya sean percibidos como inerciales o acelerados, y se lo atribuyó a Minkowski. fallecido. La relatividad general reemplaza las coordenadas cartesianas con las coordenadas gaussianas., y reemplaza el reclamado espacio euclidiano vacío de Newton pero que fue atravesado instantáneamente por el vector de la hipotética fuerza gravitacional de Newton, una accióninstantánea a distancia, con un campo gravitatorio . El campo gravitatorio es el mismo espacio-tiempo de Minkowski, la topología 4D del éter de Einstein modelada en una variedad lorentziana que se "curva" geométricamente, según el tensor de curvatura de Riemann , en la vecindad de masa o energía. (Bajo relatividad especial, un caso especial de relatividad general, incluso la energía sin masa ejerce un efecto gravitatorio por su equivalencia de masa que "curva" localmente la geometría de las cuatro dimensiones unificadas del espacio y el tiempo).
Quantum [ editar ]
Otro desarrollo revolucionario del siglo XX fue la teoría cuántica , que surgió de las contribuciones seminales de Max Planck (1856–1947) (sobre la radiación del cuerpo negro ) y el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico . Esto fue, al principio, seguido de un marco heurístico ideado por Arnold Sommerfeld (1868–1951) y Niels Bohr (1885–1962), pero pronto fue reemplazado por la mecánica cuántica desarrollada por Max Born(1882–1970), Werner Heisenberg. (1901–1976), Paul Dirac (1902–1984), Erwin Schrödinger (1887–1961), Satyendra Nath Bose(1894–1974), y Wolfgang Pauli (1900–1958). Este marco teórico revolucionario se basa en una interpretación probabilística de los estados, y la evolución y las medidas en términos de operadores autoadjuntos en un espacio vectorial de dimensión infinita. Eso se llama espacio de Hilbert , introducido en su forma elemental por David Hilbert (1862–1943) y Frigyes Riesz (1880-1956), y definido rigurosamente en la versión moderna axiomática de John von Neumann en su célebre libro Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , donde construyó una parte relevante del análisis funcional moderno en los espacios de Hilbert, la teoría espectralen particular. Paul Dirac utilizó construcciones algebraicas para producir un modelo relativista para el electrón , prediciendo su momento magnético y la existencia de su antipartícula, el positrón .
Lista de físicos matemáticos prominentes en el siglo XX [ editar ]
Destacados contribuyentes a la física matemática del siglo XX (aunque la lista contiene algunos físicos típicamente teóricos, no matemáticos, y deja de lado a muchos contribuyentes; tenga en cuenta que dado que cualquiera puede editar la página, a veces aparecen menciones menos merecidas en la lista). ) incluyen, ordenados por fecha de nacimiento, William Thomson (Lord Kelvin) [1824–1907], Oliver Heaviside [1850–1925], Jules Henri Poincaré [1854–1912], David Hilbert [1862–1943], Arnold Sommerfeld [1868– 1951], Constantin Carathéodory [1873–1950], Albert Einstein [1879–1955], Max Born [1882–1970], George David Birkhoff[1884-1944], Hermann Weyl [1885–1955], Satyendra Nath Bose [1894-1974], Norbert Wiener [1894–1964], Wolfgang Pauli [1900–1958], Paul Dirac [1902–1984], Eugene Wigner [ 1902-1995], Andrey Kolmogorov [1903-1987], Lars Onsager [1903-1976], John von Neumann [1903-1957], Sin-Itiro Tomonaga [1906–1979], Hideki Yukawa [1907–1981], Nikolay Nikolayevich Bogolyubov [1909–1992], Subrahmanyan Chandrasekhar [1910-1995], Mark Kac[1914–1984], Julian Schwinger[1918–1994], Richard Phillips Feynman [1918–1988], Irving Ezra Segal [1918–1998], Ryogo Kubo [1920–1995], Arthur Strong Wightman [1922–2013], Chen-Ning Yang [1922–], Rudolf Haag[1922–2016], Freeman Dyson [1923–], Martin Gutzwiller [1925–2014], Abdus Salam [1926–1996], Jürgen Moser[1928–1999], Michael Francis Atiyah [1929–2019], Joel Louis Lebowitz [1930–], Roger Penrose [1931–], Elliott Hershel Lieb [1932–], Sheldon Lee Glashow [1932–],Steven Weinberg [1933–], Ludvig D. Faddeev [1934–2017], David Ruelle [1935–], Yakov Grigorevich Sinai [1935–], Vladimir Igorevich Arnold [1937–2010], Arthur Jaffe[1937–], Roman Wladimir Jackiw [1939–], Leonard Susskind [1940–], Rodney James Baxter [1940–], Michael Victor Berry [1941-], Giovanni Gallavotti [1941-], Stephen William Hawking [1942–2018], Jerrold Eldon Marsden[1942 –2010], Alexander Markovich Polyakov [1945–], Gerardus 't Hooft [1946–],John L. Cardy [1947–], Giorgio Parisi [1948–], Edward Witten [1951–], Herbert Spohn [1951? -], Ashoke Sen [1956-] y Juan Martín Maldacena[1968–].
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