ÁLGEBRA ABSTRACTA

 superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.- ....................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=6d9dabfc71c1eb85c002bdbc4a279cee20b3d285&writer=rdf2latex&return_to=Superficie+de+revoluci%C3%B3n

Una superficie de revolución es una superficie generada por la rotación de una de dos dimensiones curva alrededor de un eje. La superficie resultante por lo tanto siempre tiene simetría azimutal. Ejemplos de superficies de revolución son la manzana , cono (con exclusión de la base), tronco de cono(excluyendo los extremos), cilindro (con exclusión de los extremos), Darwin-de Sitter esferoide , cuerno de Gabriel , hiperboloide , limón , esferoide achatado , paraboloide , prolato esferoide , pseudoesfera , esfera , esferoide , y toro (y su generalización, el toroide ).

El elemento de área de la superficie de revolución obtenida por rotación de la curva de a sobre el x eje x se

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por lo que el área de superficie es

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(Apostol 1969, p 286;. Kaplan 1992, p 251;.. Anton 1999, p 380). Si la curva es en lugar especifica paramétricamente , el área de superficie obtenido mediante la rotación de la curva sobre el x eje x de si en este intervalo está dada por

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Del mismo modo, el área de la superficie de revolución obtenida por rotación de la curva de a sobre el y eje x está dada por

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			(7)

(Anton 1999, p. 380). Si la curva es en lugar especifica paramétricamente , el área de superficie obtenido mediante la rotación de la curva sobre el y eje x de si en este intervalo está dada por

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La tabla siguiente da los laterales áreas de superficie para algunas superficies comunes de revolución donde denota el radio (de un cono, cilindro, esfera, o zona), y los radios interior y exterior de un tronco, la altura, la elipticidad de un esferoide , y y los radios ecuatorial y polar (por un esferoide) o el radio de una sección transversal circular y el radio de rotación (para un toro).

superficie
cono
tronco de cono
cilindro
esferoide achatado
esferoide alargado
esfera
toro
zona

La parametrización estándar de una superficie de revolución está dada por

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Para una curva parametrizada por lo que, la primera forma fundamental tiene

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Dondequiera y  son cero, entonces la superficie es regular y la segunda forma fundamental tiene

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Además, la unidad vector normal es

(18)

y las curvaturas principales son

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Los Gaussianos y curvaturas medias son

			(21)
		Superficie desarrollables son casos especial de la superficies regladas que, mediante deformaciones que no alteran las distancias entre sus puntos, pueden ser transformadas en un fragmento plano.1 Técnicamente existe una isometría entre estas superficies y un fragmento de plano. Decimos que es localmente desarrollable si existen isometrías locales; para que esto ocurra es necesario y suficiente que la curvatura gaussiana sea nula. El cono, el cilindro y el propio plano son desarrollables, mientras que el hiperboloide no lo es. Para que una superficie sea desarrollable, es condición necesaria y suficiente que pueda ser construida con un trozo de papel sin arrugarlo, dicho coloquialmente. Así, una superficie construida plegando un pedazo rectangular de papel será desarrollable como una banda de Möbius o un cilindro. Una condición necesaria, tal como se desprende del theorema egregium de Gauss, es que la curvatura gaussiana de la superficie reglada sea idénticamente nula. superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres. Superficies regladas son: el plano las superficies de curvatura simple: superficie cilíndrica superficie cilíndrica de revolución superficie cilíndrica de no revolución superficie cónica superficie cónica de revolución superficie cónica de no revolución las superficies alabeadas cilindroide conoide superficie doblemente reglada paraboloide hiperbólico hiperboloide de revolución Una superficie  es reglada si por cada punto de la misma, existe una línea recta contenida en . Una superficie reglada  puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma: donde  es una curva en , y  es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo, se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius. Alternativamente, una superficie reglada  puede representarse paramétricamente como: Donde  y  son dos curvas de  que no se intersecan. Por ejemplo, cuando  y  se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.    superfórmula es una generalización en coordenadas polares de la superelipse, propuesta por Johan Gielis. Gielis supuso que la fórmula puede ser usada para describir distintas curvas y cuerpos presentes en la Naturaleza. La fórmula es: donde  es el radio y  el ángulo. La fórmula apareció en abril de 2003, en el número 90 de la revista American Journal of Botany, en un artículo del biólogo Johan Gielis. Fue obtenida generalizando la superelipse, creada por el matemático danés Piet Hein. Es posible ampliar esta fórmula a n dimensiones, multiplicando las superfórmulas entre sí. Por ejemplo, la superficie paramétrica de tres dimensiones se puede obtener multiplicando dos de ellas: donde φ varía entre -π/2 y π/2 (latitud), y θ entre -π y π (longitud).