miércoles, 4 de marzo de 2015

ÁLGEBRA ABSTRACTA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA :
 problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimento conpelículas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la teoría geométrica de la medida.
La generalización del problema de Plateau formulado consiste en lo siguiente:
Se da una curva cerrada (de Jordan) en el espacio. Hallar la superficie que contiene esta curva y tal que el área abarcada por la curva sea mínima.
Se dan dos puntos P_1(x_1 , y_1) y P_2(x_2 , y_2) del plano xy. Sea x_1<\;x_2. Supongamos que y=y(x) es la ecuación de una curva que une los puntos P_1 y P_2, es decir,
y=y(x_1), y=y(x_2).
La curva gira alrededor del eje x barriendo cierta superficie de revolución. Se pregunta: ¿cuál es la superficie de rotación que tiene la menor área posible? De este modo se llega al problema de la elección de la función y(x) para la que la integral
S=2\pi\ \int_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx
(área de la superficie de revolución) es mínima. Estas superficies de revolución mínimas, bajo ciertas restricciones adicionales sobre los puntos P_1 y P_2, se denominancatenoides.


Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla.
El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de la tractriz (el punto P_0 en la ilustración) se llama radio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia, de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma.
La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tiene curvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada, su área es finita, así como el volumen de la región que encierra. Su área A, en función del radio R, es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen V es la mitad del de la esfera (y pueden calcularse a partir de las fórmulas usuales para superficies de revolución):
A = 4 \pi R^2, \quad V = \frac{2}{3} \pi R^3
Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, es localmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modelo útil para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclídeo usual.
Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera.
Teniendo en cuenta que es una superficie de revolución, la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por:
(1)\begin{cases} x = \operatorname{sech} u\, \cos v\\ y = \operatorname{sech} u\, \sin v\\ z = u-\operatorname{tanh} u\\ \end{cases}
para u\in\mathbb{R},\ v\in [0,2\pi).

 

superficie de concha marina es una superficie descrita por un círculo que se mueve en espiral al tiempo que asciende en dirección al eje z. Reciben este nombre por su semejanza a las conchas de ciertos moluscos aunque existen moluscos cuyas conchas no son descritas por estas superficies.
La siguiente es una parametrización de la superficie de una concha1 2 de mar:
\begin{align} x & {} = \frac{5}{4}\left(1-\frac{v}{2\pi}\right)\cos(2v)(1+\cos u)+\cos 2v \\ \\ y & {} = \frac{5}{4}\left(1-\frac{v}{2\pi}\right)\sin(2v)(1+\cos u)+\sin 2v \\ \\ z & {} = \frac{10v}{2\pi}+\frac{5}{4}\left(1-\frac{v}{2\pi}\right)\sin(u)+15 \end{align}

donde 0\le u<2\pi y -2\pi\le v <2\pi.

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