ÁLGEBRA ABSTRACTA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA :
Tangente proviene del griego «tangens»=que toca.¹ La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la circunferencia inscrita), hasta los espacios tangentes, en donde se clasifica el concepto de «tangencia» en más dimensiones.- ......................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=ea7f35b6e62681e67c9db1a31d7534885a0b66a9&writer=rdf2latex&return_to=Tangente+%28geometr%C3%ADa%29
 





teorema de Gauss-Bonnet en geometría diferencial es una proposición importante sobre superficies que conecta su geometría (en el sentido de la curvatura) con su topología (en el sentido de la característica de Euler).

Supóngase que M es una variedad de Riemann compacta orientable de dimensión 2, con borde . Denótese por K lacurvatura gaussiana en los puntos de M y por k_g la curvatura geodésica en los puntos de . Entonces

donde χ(M) es la característica de Euler de M.

El teorema se puede aplicar en particular si la variedad no tiene borde, en cuyo caso la integral  puede ser omitido.

Si se dobla o deforma la variedad M su característica de Euler no cambiará, mientras que las curvaturas en los puntos dados sí. El teorema requiere algo asombroso, que la integral total de todas las curvaturas siga siendo igual.

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de lasmatemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil.¹ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que A, B, C y D son números racionales.

Una forma modular es una función analítica f:H -> C del semiplano superior H = {x+ iy: y>0} a los complejos C, tal que f satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas f(x) = f(x+N) para todo x y algún entero N fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica E con coeficientes racionales existe una forma modular f (de peso 2) tal que la serie L asociada a E y la serie L asociada a f coinciden. Esto equivale a que los coeficientes a_p asociados a la curva E (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo p, para p primo de buena reducción de E) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de f. Andrew Wiles (90's)