EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD O DCM)

EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144   (Más ejemplos)


Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):


120 | 2             144 | 2
 60 | 2              72 | 2
 30 | 2              36 | 2
 15 | 3              18 | 2
  5 | 5               9 | 3
  1 | 1               3 | 3
                      1 | 1          ¿Cómo se descomponen los números? 


120 = 2³.3.5                        144 = 2⁴.3²

Que es lo mismo que:             Que es lo mismo que:         

120 = 2.2.2.3.5                     144 = 2.2.2.2.3.3

Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que aparecen en alguno de los números ("¿menor exponente?").

Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la EXPLICACIÓN.


MCD = 2³.3 = 8.3 = 24 


¿Qué es el MCD o DCM o Máximo Común Divisor o Divisor Común Máximo?

---

EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS - DUDAS


¿A qué llamo "los factores"?

En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de los números (sin contar el 1, que aquí no tiene relevancia).


¿Qué significa "factores que tienen en común"?

Son los factores (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de ambos números.

120 | 2             144 | 2
 60 | 2              72 | 2
 30 | 2              36 | 2
 15 | 3              18 | 2
  5 | 5               9 | 3
  1 | 1               3 | 3
                      1 | 1

Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:

El número 2 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144

El número 3 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144

El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en "común" ambos números.


¿Qué significa "con el menor exponente"?

Podríamos cambiar la idea de "menor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derecha descomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece tres veces (2³) en la descomposición de 120, y cuatro vecesen la descomposición del 144 (2⁴). La menor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el MCD ponemos 2³.

En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos veces en el 144: La menor cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos 3¹, que equivale a 3.

La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna derecha de la descomposición. Así:

120 = 2.2.2.3.5

Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 2³ por la definición de potencia. Entonces la cantidad de veces que está un factor termina siendo el exponente al que está elevado ese factor:

120 = 2³.3.5


¿Cómo hago para descomponer los números?

Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 (¿"que divida"?). Resulta ser el número 2. Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60.
Y pongo 60 en la siguiente fila a la izquierda. Así:

120 | 2
 60 | 2

Ahora busco el número más chico que divida a 60. También es el número 2, lo pongo a la derecha del 60. Divido 60 : 2 = 30, o sea que pongo 30 en la siguiente fila, bajo el 60. Así:

120 | 2
 60 | 2
 30 | 2

Luego sigo haciendo lo mismo, hasta llegar al número 1.

120 | 2
 60 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Los números de la columna derecha son los factores primos (¿qué son los números primos?) que forman la descomposición o factorización del número 120.

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5      (Comprobar esta cuenta)

Como 2.2.2 es igual a 2³ , también podemos decir que la descomposición del 120 es:

120 = 2³ . 3 . 5


¿Qué significa "que divida", es decir, que un  número divida exactamente a otro, o que sea "divisor"?

Significa que si hacemos la división, el resto de esa división es "0". Por ejemplo:

120 |___2___
 00    60
  /

El número 2 "divide exactamente" al número 120, porque el resto de la división es "0" (Estamos hablando de la división entre números naturales). Se dice también que 120 "es divisible" por 2. El número 2 es divisor de 120. Y 120 es múltiplo de 2. El 120 se puede escribir como "2 por algo". 120 es igual a "2 por 60".


¿Y cómo puedo saber cuando un número "divide" a otro?

Una manera de saberlo es haciendo la cuenta "a mano" y comprobando que el resto dá "0", como hice en el punto anterior. Otra, es haciendo la cuenta con la calculadora y comprobando que el resultado sea un número natural, es decir, que no dé un número "con coma" (decimal).

Pero lo mejor, es conocer las reglas de divisibilidad. Ellas nos ayudan a darnos cuenta si un número es divisible por 2, por 3, por 5, por 11 y por otros que no usaremos en este tema.


¿Qué son las Reglas de divisibilidad?

Son reglas que sirven para saber si un número divide exactamente a otro (dentro del conjunto de los números naturales). Ellas dicen qué condición debe cumplir un número para ser divisible por 2, 3, 4, etc.

Existe la regla del 2, del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 25 y otras menos usadas. Para este tema, de la descomposición de números, usaremos solamente las de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

REGLA DEL 2: Un número es divisible por 2, si es un número par. Si tiene varias cifras, su última cifra (¿qué es una "cifra"?) es un número par. Es decir, termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
Por ejemplo, son divisibles por 2: 120, 122, 124, 126 y 128. No son divisibles por 2: 121, 123, 125, 127, 129.

REGLA DEL 3: Si un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. Por ejemplo:

4572 es divisible por 3, porque 4 + 5 + 7 + 2 = 18. Y 18 es múltiplo de 3 (está en la tabla del 3).
1029 es divisible por 3, porque 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Y 12 es múltiplo de 3.
1526 no es divisible por 3, porque 1 + 5 + 2 + 6 = 14. Y 14 no es múltiplo de 3.

REGLA DE 5: Si un número es divisible por 5, su última cifra es "0" o "5". Es decir, el número "termina en 0 o 5". Por ejemplo:

120 es divisible por 5, porque termina en "0".
125 es divisible por 5, porque termina en "5".

Las Reglas del 7 y del 11 son más complicadas de aprender y aplicar. De modo que para este tema me parece mejor usar el método de dividir con la calculadora o a mano, cuando queremos saber si un número es divisible por 7 o por 11.


¿Qué es el Máximo Común Divisor, Divisor Común Máximo, MCD o DCM?

El MCD entre varios números es el mayor número que divide a todos esos números. Es decir, entre todos los divisores que tienen en común, el mayor. El mayor número que divide a todos ellos. (¿Qué es un "divisor"?)

En el EJEMPLO 1, calculamos que el MCD entre 120 y 144 es 24. Eso significa que 24 es el mayor número que divide a 120 y 144. Obviamente 24 es divisor tanto de 120 como de 144, y podemos hacer la cuenta para probarlo (El resto de esas divisiones debe dar "0"):

120 |__24__
 00    5
  /

144 |__24__
 00    6
  /
El 120 y el 144 también tienen otros divisores en común: 2, 4, 6, 12, etc. Todos esos números también dividen a ambos. Pero, el mayor de todos es 24. Por eso se llama Máximo Común Divisor, "El mayor divisor que tienen en común".

Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
Divisores de 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

Los divisores en común son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

El mayor de ellos es 24.


¿Para qué me sirve hallar el Máximo Común Divisor?

Para sacar Factor Común en un polinomio, por ejemplo. También sirve para resolver algunos problemas, por ejemplo cuando hay que repartir cantidades diferentes (pero con divisores en común) en partes de igual cantidad.


¿Qué son los números primos?

Son los números que sólo son divisibles por sí mismos o por el número 1 (hablando de Números Naturales). Por ejemplo:

7 es un número primo. Porque sólo se puede dividir (división exacta) por 7 o por 1. En su "descomposición" sólo están el 7 y el 1.

7 | 7
1 | 1

Lo mismo pasa con los número 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, etc.
Precisamente, ésos son los números que puedo poner en la columna derecha cuando descompongo un número. No puedo poner 4, 6, 8, 9, 10, etc., porque no son números primos.

A los números que no son primos se los llama "compuestos" (exceptuando el 1 y 0, que no son primos ni compuestos). En su descomposición aparecen otros números menores a ellos. Por ejemplo:

El número 4 es un número compuesto. Porque es divisible por 2, además de por 4 y por 1. En su descomposición aparece un número distinto de 4: el número 2.

4 | 2
2 | 2
1 | 1

Lo mismo para el número 10:

10 | 2
 5 | 5
 1 | 1


¿Por qué no puedo poner números compuestos cuando factoreo el número?

Cuando descomponemos un número lo hacemos en sus factores primos. Esos factores primos son los que usamos para "armar" el MCD o el MCM. No tendría sentido hacerlo con factores compuestos, porque no podría hallar el MCD o el MCM con ellos.
Ejemplo de una factorización mal hecha:

36 | 3
12 | 4
 3 | 3
 1 | 1

Está mal factorizado en sus factores primos, porque el número 4 no es primo. Es verdad que 36 = 3.4.3.1, ésa es una factorización posible del 36, pero no es la factorización en su "factores primos". Lo correcto es:

36 | 2
18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 1
36 = 2.3²  es la factorización correcta en sus factores primos


¿Qué es un "divisor"?

Un número es un "divisor" de otro cuando lo "divide exactamente". Es decir, cuando al dividirlo por ese número el resto es "0". Por ejemplo:

4 es divisor de 36, porque el resto de dividir a 36 por 4 dá "0". Eso es porque 36 puede ser divido en 4 partes iguales y no sobra nada:

36 |__4__
 0    9
 /

Otros ejemplos:
Divisores del número 20: 2, 4, 5, 10, 20 y 1.
Divisores del número 24: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y 1.
Divisores del numero 30: 2, 3, 5, 10, 15, 30 y 1.


¿Qué es una "cifra"?

Podríamos decir que las cifras de un números son cada uno de los números "individuales" que lo forman. Con un ejemplo se ve más claro:

75290  es un número de 5 cifras. Sus "cifras" son: 7, 5, 2, 9 y 0. Su última cifra es "0".


¿Qué pasa si  los números no tienen ningún factor en común?

En ese caso el MCD es 1, ya que todo número es divisible por 1. Si no hay otro factor en común, el 1 es el mayor número que los divide, por lo tanto es el Máximo Común Divisor.
Ejemplo:

15 | 3             14 | 2            13 | 13
 5 | 5              7 | 7             1 | 1
 1 | 1              1 | 1

 15 = 3.5                           14 = 2.7                          13 = 13

MCD = 1


Más ejemplos del cálculo de MCD o DCM:


126 | 2            60 | 2
 63 | 3            30 | 2
 21 | 3            15 | 3
  7 | 7             5 | 5
  1 | 1             1 | 1

126 = 2.3².7                      60 = 2².3.5

MCD = 2.3 = 6



72 | 2             108 | 2           180 | 2
36 | 2              54 | 2            90 | 2
18 | 2              27 | 3            45 | 3
 9 | 3               9 | 3            15 | 3
 3 | 3               3 | 3             5 | 5
 1 | 1               1 | 1             1 | 1

72 = 2³.3²                          108 = 2².3³                    180 = 2².3².5

MCD = 2².3² = 36



70 | 2              60 | 2             50 | 2
35 | 5              30 | 2             25 | 5
 7 | 7              15 | 3              5 | 5
 1 | 1               5 | 5              1 | 1
                     1 | 1

70 = 2.5.7                          60 = 2².3.5                       50 = 2.5²

MCD = 2.5 = 10