EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

FACTOREO CON GAUSS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1) 2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1) Divisores del término independiente (6): k = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 Divisores del coeficiente principal (2): a = 1, -1, 2, -2 Posibles raíces del polinomio: k/a Entonces pueden ser raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2 El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios: (x - 1), (x + 1), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3), (x + 6), (x - 6), (x + 1/2), (x - 1/2),(x + 3/2) ó (x - 3/2). Es decir (x - a), siendo "a" una de esas posibles raíces. Pruebo hacer varias de esas divisiones, hasta que encuentro que al dividir por (x + 2), el resto dá 0:   | 2  -3  -11   6   |   | -2|    -4   14  -6      2  -7    3 | 0 Cociente: 2x2 - 7x + 3           Resto: 0 Por ahora, la factorización queda: (x + 2).(2x2 - 7x + 3). En el polinomio de segundo grado que quedó puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (usar la cuadrática). Voy a seguir con Gauss:

2x2 - 7x + 3 = Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2 Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:   | 2  -7   3   |   |  3|     6  -3      2  -1 | 0 Cociente: (2x - 1)      Resto: 0 Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así: (x + 2).(x - 3).(2x - 1) Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y en los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. (Nota: Para averiguar si un número es raíz del polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero se puede hacer de otra forma)  Para más información consultar en  CONCEPTOS GENERALES DEL CASO EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a "1") x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4) k = 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 8, - 8, 12, -12, 24, - 24 a = 1, -1 Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24 Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:    | 1  0  -15  10  24    |    |  -1|   -1    1  14 -24       1 -1  -14  24 | 0 Va quedando: (x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24) Ahora factorizo el cociente x3 - x2 - 14x + 24. Las posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término independiente. Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:    | 1  -1  -14   24    |    |   2|     2    2  -24       1   1  -12 |  0 Ahora va quedando: (x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12) Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar Séptimo Caso, pero sigo con Gauss. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x - 3):    | 1  1  -12    |    |   3|    3   12        1  4 |  0 La factorización queda así: (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4) Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2