EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos) 4a  +  4b  +  xa  +  xb  = 4.(a + b)  +  x.(a + b) =      (a + b).(4 + x) Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b). EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado") 4a +  4b  +  xb  +  xa = 4.(a + b) +  x.(b + a) = 4.(a + b) +  x.(a + b) =      (a + b).(4 + x) En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con términos negativos) 4a  -  4b  +  xa  -  xb = 4.(a - b)  +  x.(a - b) =      (a - b).(4 + x) Si los "resultados" quedan iguales no hay problema. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3 EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado") 4a  -  4b  -  xb  +  xa = 4.(a - b)  +  x.(-b + a) = 4.(a - b)  +  x.(a - b) =       (a - b).(4 + x) En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos") 4a  -  4b  -  xa  +  xb = 4.(a - b)  +  x.(-a + b) = 4.(a - b)  -  x.(a - b) =        (a - b).(4 - x) En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5 EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados") 4a  -  4b  +  xb  -  xa = 4.(a - b)  +  x.(b - a) = 4.(a - b)  -  x.(-b + a) = 4.(a - b)  -  x.(a - b) =       (a - b).(4 - x) Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6 EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos) -4a  -  4b  -  xa  -  xb = -4.(a + b)  -  x.(a + b) =       (a + b).(-4 - x) En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN", también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7 EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos) 4x2a  +  3y  +  12ax  +  yx = 4ax.(x + 3)  +  y.(3 + x) = 4ax.(x + 3)  +  y.(x + 3) =       (x + 3).(4ax + y) No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores). En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8 EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos) 4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz = a.(4 - 7x2 + y) +  z.(4 - 7x2 + y) =        (4 - 7x2 + y).(a + z) Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9 EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede) 4x3  -  4x2  +  x - 1 = 4x2.(x - 1)  +  x - 1 = 4x2.(x - 1)  +  1.(x - 1) =      (x - 1).(4x2 + 1) Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación: (x - 1), que es igual a lo que quedó sin agrupar. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10