Construcción de triángulo
Construir un triángulo ABC, dado A'B'C' el triángulo ceviano de algún punto, tal que A' es el pie de bisectriz en A y B' es el pie de la mediana por B.
(Publicado en la matemática griega. revista Euclides, 12, 1973) [the translation of "Published in the Greek mathematical magazine Euclid, Dec. 1973"]
Construcción analítica:
Tomemos un punto arbitrario P en el plano del triángulo dado A'B'C', que será el de referencia para un sistema de coordenadas baricéntricas.
Si P fuera el vértice del triángulo a construir (opuesto al lado que pasan por A'), otro vértice será la reflexión R de P en B'. El tercer vértice Q ha de ser RA'∩PC'.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P respecto a A'B'C', R=(-u : 2u+v+2w : -w) y Q=(-u(2u+v+2w) : -v(2u+v+2w) : vw). Como A'B'C' debe ser el triángulo ceviano de un cierto punto en PQR, se tiene que verificar que las rectas PA', QB' RC' sean concurrentes; es decir,
Debemos localizar la posición del punto P, en la recta δ, tal que la recta PR' (R' la reflexión de R en PA') pase por C'. Al variar P sobre δ, la recta PR' envuelve la circunferencia Γ de centro en A' y tangente a δ. (Nikos Dergiades, ADEGEOM #493):
PR': w (c'^2 v (v + w) + w (-a'^2 v + b'^2 (v + w)))x -w (-w (a'^2 (u - v + w) + b'^2 (-u + v + w)) + c'^2 (w (v + w) + u (2 v + w)))y + c'^2 v (u v + w (v + w)) - w (a'^2 v (-v + w) + b'^2 (v^2 + u w + v w))z=0.
Γ: a'^4 x^2 - 2 a'^2 b'^2 x^2 + b'^4 x^2 - 2 a'^2 c'^2 x^2 - 2 b^2 c'^2 x^2 + c'^4 x^2 + 2 a'^4 x y - 4 a'^2 b'^2 x y + 2 b'^4 x y - 4 a'^2 c'^2 x y - 4 b'^2 c'^2 x y + 2 c'^4 x y + a'^4 y^2 - 2 a'^2 b'^2 y^2 + b'^4 y^2 - 2 a'^2 c'^2 y^2 + 2 b'^2 c'^2 y^2 + c'^4 y^2 + 2 a'^4 x z - 4 a'^2 b'^2 x z + 2 b'^4 x z - 4 a'^2 c'^2 x z - 4 b'^2 c'^2 x z + 2 c'^4 x z + 2 a'^4 y z - 8 a'^2 b'^2 y z + 6 b'^4 y z - 4 a'^2 c'^2 y z + 2 c'^4 y z + a'^4 z^2 - 2 a'^2 b'^2 z^2 + 5 b'^4 z^2 - 2 a'^2 c'^2 z^2 - 2 b'^2 c'^2 z^2 + c'^4 z^2 =0.
Por tanto, un lado del triángulo a construir es una tangente a Γ desde C'.
Construcción:
4 u w (u + w) (u + v + w)=0
Luego, una condición necesaria para construir el triángulo es que el punto P esté sobre la recta δ: x+z=0, paralela a A'C' por B'. Debemos localizar la posición del punto P, en la recta δ, tal que la recta PR' (R' la reflexión de R en PA') pase por C'. Al variar P sobre δ, la recta PR' envuelve la circunferencia Γ de centro en A' y tangente a δ. (Nikos Dergiades, ADEGEOM #493):
PR': w (c'^2 v (v + w) + w (-a'^2 v + b'^2 (v + w)))x -w (-w (a'^2 (u - v + w) + b'^2 (-u + v + w)) + c'^2 (w (v + w) + u (2 v + w)))y + c'^2 v (u v + w (v + w)) - w (a'^2 v (-v + w) + b'^2 (v^2 + u w + v w))z=0.
Γ: a'^4 x^2 - 2 a'^2 b'^2 x^2 + b'^4 x^2 - 2 a'^2 c'^2 x^2 - 2 b^2 c'^2 x^2 + c'^4 x^2 + 2 a'^4 x y - 4 a'^2 b'^2 x y + 2 b'^4 x y - 4 a'^2 c'^2 x y - 4 b'^2 c'^2 x y + 2 c'^4 x y + a'^4 y^2 - 2 a'^2 b'^2 y^2 + b'^4 y^2 - 2 a'^2 c'^2 y^2 + 2 b'^2 c'^2 y^2 + c'^4 y^2 + 2 a'^4 x z - 4 a'^2 b'^2 x z + 2 b'^4 x z - 4 a'^2 c'^2 x z - 4 b'^2 c'^2 x z + 2 c'^4 x z + 2 a'^4 y z - 8 a'^2 b'^2 y z + 6 b'^4 y z - 4 a'^2 c'^2 y z + 2 c'^4 y z + a'^4 z^2 - 2 a'^2 b'^2 z^2 + 5 b'^4 z^2 - 2 a'^2 c'^2 z^2 - 2 b'^2 c'^2 z^2 + c'^4 z^2 =0.
Por tanto, un lado del triángulo a construir es una tangente a Γ desde C'.
Construcción:
Trazamos la paralela δ a A'C' por B' y la circunferencia Γ con centro en A' y tangente a δ. Si C' es exterior a Γ, una tangente desde C' a Γ corta a δ en A, el vértice C es la reflexión de A en B' y el vértice C=AC'∩CA'.
Una segunda tangente desde C' permite construir un segundo triángulo A1B1C1.
En uno de estos triángulos A' será el pie de la bisectriz externa desde el vértice opuesto.
Si C' es interior a la circunferencia Γ no hay solución.
Una segunda tangente desde C' permite construir un segundo triángulo A1B1C1.
En uno de estos triángulos A' será el pie de la bisectriz externa desde el vértice opuesto.
Si C' es interior a la circunferencia Γ no hay solución.
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