Propiedad de una hipérbola equilátera
Sean ABC un triángulo, P un punto en su plano y ℵP la hipérbola equilátera circunscrita a ABC y que pasa por P (pasa también por el ortocentro H). Una recta δ que pasa por P, vuelve a cortar a la hipérbola en un punto Q. Denotamos por A1, B1, C1 los puntos en los que las rectas por P y perpendiculares a AQ, BQ, CQ cortan a los lados BC, CA, AB, respectivamente.
Los puntos A1, B1, C1 están alineados sobre una recta δ1 perpendicular a PQ.
Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas de P, respecto al triángulo ABC, la ecuación de la hipérbola equilátera circunscrita ℵP es (notación de Conway):
u(SBv-SCw)yz + v(SCw-SAu)xz + w(SAu-SBv)xy = 0.
A la recta δ, ((1-t)v - t w)x + (t-1)uy + tuz=0, le corresponde el segundo punto Q de intersección con la hipérbola ℵP:
((1-t)tu(SBv-SCw) : -t(SAu-SCw)((t-1)v+ tw) : (t-1)(SAu-SBv)((t-1)v+tw)) ).
La envolvente de las rectas δ1, cuando δ gira alrededor de P, es una cónica (es fácil ver que la correspondencia B1↦ C1 entre las rectas AC y AB es una proyectividad) tangente a los lados de ABC y a la recta del infinito (párabola inscrita ℘p). Por tanto, su directriz pasa por H (es la recta PH) y su foco Fp está en la circunferencia circunscrita (es el conjugado isogonal del punto del infinito determinado por la dirección perpendicular a la recta PH).
A toda hipérbola equilátera circunscrita a ABC, con uno de sus puntos sobre una recta que pasa por el ortocentro, le corresponde la misma parábola envolvente de las rectas δ1.
Otra forma de construir el foco Fp es hallando la interseción de las rectas H1(PH∩BC), H2(PH∩CA), H3(PH∩AB), siendo H1H2H3 el triángulo circunceviano de H.
Directriz PH: SA(SBv-SCw)x + SB(SCw-SAu)y + SC(SAu-SBv)z=0.
Foco Fp: (a^2/(a^2(w-v)+(b^2-c^2)(v+w)) : ... : ... ).
Ecuación de la parábola ℘p:
A toda hipérbola equilátera circunscrita a ABC, con uno de sus puntos sobre una recta que pasa por el ortocentro, le corresponde la misma parábola envolvente de las rectas δ1.
Otra forma de construir el foco Fp es hallando la interseción de las rectas H1(PH∩BC), H2(PH∩CA), H3(PH∩AB), siendo H1H2H3 el triángulo circunceviano de H.
Directriz PH: SA(SBv-SCw)x + SB(SCw-SAu)y + SC(SAu-SBv)z=0.
Foco Fp: (a^2/(a^2(w-v)+(b^2-c^2)(v+w)) : ... : ... ).
Ecuación de la parábola ℘p:
| Σ uvw SA SB SC xyz | (SBv-SCw)²x² + 2(SAu-SBv)(SAu-SCw)yz = 0. |
El cuarto punto Qp de intersección de la hipérbola ℵp con la circunferencia circunscrita es el segundo punto de intersección de la hipérbola con la recta PFp.
Las cordenadas de Qp son: (1/(b^2(SAu-SBv)w + c^2(SAuv-SCvw)) : ... : ... ).
Este resultado nos da un método para construir el foco de una parábola, inscrita en un triángulo, de la que conocemos su directriz (que ha de pasar por el ortocentro):
• Construimos la hipérbola circunscrita al triángulo, que pasa por el ortocentro y por un punto P cualquiera de la directriz de la parábola.
• Construimos el cuarto punto Qp de intersección de tal hipérbola y la circunferencia circunscrita.
• El foco de la parábola es el segundo punto de intersección de la recta PQp con la circunferencia circunscrita.
• Construimos la hipérbola circunscrita al triángulo, que pasa por el ortocentro y por un punto P cualquiera de la directriz de la parábola.
• Construimos el cuarto punto Qp de intersección de tal hipérbola y la circunferencia circunscrita.
• El foco de la parábola es el segundo punto de intersección de la recta PQp con la circunferencia circunscrita.
No hay comentarios:
Publicar un comentario