Centros de semejanza y puntos de Beltrami
Los puntos de Beltrami de un triángulo son los inversos de los puntos de Brocard respecto la circunferencia circunscrita.
Puntos_Beltrami.mac
Entonces, el centro de la semejanza que transforma el segmento BC en C'A' y la ecuación de la circunferencia que describe, cuando P recorre la circunferencia circunscrita Γ, son:
Γ+a es la inversa, respecto a Γ, de la circunferencia que pasa por B y es tangente a AC en C. Es decir, Γ+a es la circunferencia que pasa por B y es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triángulo ACO.
Procediendo cíclicamente, sobre los lados de ABC, se obtienen otras dos circunferencias:
Γ+b: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 c^2 y (x + y + z)/(c^2-b^2) =0,
Γ+c: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 b^2 z (x + y + z)/(a^2 - c^2)=0.
El punto común a estas tres circunferencias es el primer punto de Beltrami:
Γ-a es la inversa, respecto a Γ, de la circunferencia que pasa por C y es tangente a AB en B. Es decir, Γ-a es la circunferencia que pasa por C y es tangente en B a la circunferencia circunscrita al triángulo ABO.
Procediendo cíclicamente, sobre los lados de ABC, se obtienen otras dos circunferencias:
Γ-b: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 c^2 y (x + y + z)/(a^2-b^2) =0,
Γ-c: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 b^2 z (x + y + z)/(b^2 - c^2)=0.
El punto común a estas tres circunferencias es el segundo punto de Beltrami:
Puntos_Beltrami.mac
Sea ABC un triángulo y P un punto sobre su circunferencia circunscrita Γ. Se denotan por A', B', C' las reflexiones de P en las mediatrices de BC, CA, AB, respectivamente;A'B'C' está inscrito en Γ.
• Se designa por A+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento BC en el C'A', por B+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento CA en elA'B' y por C+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento AB en el B'C'.
• Se designa por A+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento BC en el C'A', por B+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento CA en elA'B' y por C+ el centro de la semejanza directa que transforma el segmento AB en el B'C'.
El lugar geométrico de los centros de semejanza A+, B+, C+ son tres circunferencias Γ+a, Γ+b, Γ+c, con un punto común B1 (primer punto de Beltrami, inverso del primer punto de Brocard Ω1, respecto a la circunferencia circunscrita, Γ).
La circunferencia Γ+t circunscrita a A+B+C+ pasa por B1 y el circuncentro, O.
La circunferencia Γ+t circunscrita a A+B+C+ pasa por B1 y el circuncentro, O.
Podemos expresar un punto en la circunferencia circunscrita en la forma (Barry Wolk, Anopolis #317):
Entonces, el centro de la semejanza que transforma el segmento BC en C'A' y la ecuación de la circunferencia que describe, cuando P recorre la circunferencia circunscrita Γ, son:
Γ+a es la inversa, respecto a Γ, de la circunferencia que pasa por B y es tangente a AC en C. Es decir, Γ+a es la circunferencia que pasa por B y es tangente en C a la circunferencia circunscrita al triángulo ACO.
Procediendo cíclicamente, sobre los lados de ABC, se obtienen otras dos circunferencias:
Γ+b: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 c^2 y (x + y + z)/(c^2-b^2) =0,
Γ+c: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 b^2 z (x + y + z)/(a^2 - c^2)=0.
El punto común a estas tres circunferencias es el primer punto de Beltrami:
B1 = ( a^2(a^2-b^2) : b^2(b^2-c^2) : c^2(c^2-a^2)).
Cambiamos la orientación de los segmentos que determinan las semejanzas:
• Se designa por A- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento CB en B'A', por B- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento BA en A'C' y por C- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento A'B' en el BC.
• Se designa por A- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento CB en B'A', por B- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento BA en A'C' y por C- el centro de la semejanza directa que transforma el segmento A'B' en el BC.
El lugar geométrico de los centros de semejanza A-, B-, C- son tres circunferencias Γ-a, Γ-b, Γ-c, con un punto común B2 (segundo punto de Beltrami, inverso del segundo punto de Brocard Ω2, respecto a la circunferencia circunscrita, Γ).
La circunferencia Γ-t circunscrita a A-B-C- pasa por B2 y el circuncentro O.
La circunferencia Γ-t circunscrita a A-B-C- pasa por B2 y el circuncentro O.
El centro de la semejanza que transforma el segmento CB en B'A' y la ecuación de la circunferencia que describe, cuando P recorre la circunferencia circunscrita Γ, son:
Γ-a es la inversa, respecto a Γ, de la circunferencia que pasa por C y es tangente a AB en B. Es decir, Γ-a es la circunferencia que pasa por C y es tangente en B a la circunferencia circunscrita al triángulo ABO.
Procediendo cíclicamente, sobre los lados de ABC, se obtienen otras dos circunferencias:
Γ-b: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 c^2 y (x + y + z)/(a^2-b^2) =0,
Γ-c: c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z - a^2 b^2 z (x + y + z)/(b^2 - c^2)=0.
El punto común a estas tres circunferencias es el segundo punto de Beltrami:
B1 = ( a^2(a^2-c^2) : b^2(b^2-a^2) : c^2(c^2-b^2)).
OTRAS CONSIDERACIONES:
♦ Los centros O+t y O-t de las circunferencias Γ+t y Γ-t están en las mediatrices de los segmentos OB1 y OB2, cuyo punto de intersección Q tiene primera coordenada baricéntrica:
♦ Los centros O+t y O-t de las circunferencias Γ+t y Γ-t están en las mediatrices de los segmentos OB1 y OB2, cuyo punto de intersección Q tiene primera coordenada baricéntrica:
(a^2(-a^8 + a^6(b^2+c^2) + a^4(b^4+5b^2c^2+c^4) - a^2(2b^6+3b^4c^2+3b^2c^4+2c^6) + b^8 + c^8),
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 1.99844087285917963875
El segundo punto de intersección O' de las circunferencias Γ+t y Γ-t está en la recta de Lemoine, polar trilineal del simediano.
El segundo punto de intersección O' de las circunferencias Γ+t y Γ-t está en la recta de Lemoine, polar trilineal del simediano.
♦ La envolvente de la recta determinada por los centros O+t y O-t de las circunferencias Γ+t y Γ-t es la parábola de foco el circuncentro y directriz la recta de Lemoine.
El punto medio Mt de O+t y O-t queda en la tangente en el vértice V de esta parábola. Para t=0 (P(0) el punto de Steiner), M0 es el vértice (punto medio de X3 y X187, éste es el punto medio de los puntos de Beltrami):
El punto medio Mt de O+t y O-t queda en la tangente en el vértice V de esta parábola. Para t=0 (P(0) el punto de Steiner), M0 es el vértice (punto medio de X3 y X187, éste es el punto medio de los puntos de Beltrami):
V= (a^2(4a^6 - 9a^4(b^2+c^2) + 2a^2(4b^4+b^2c^2+4c^4) - 3b^6+b^4c^2+ b^2c^4-3c^6 ) : ... : ...),
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 2.47073957830213664904597
No hay comentarios:
Publicar un comentario