Circunferencias tangentes y cúbica de Lucas
Sean ABC un triángulo y P un punto en su plano. Las reflexiones de P en los vértices del triángulo ceviano XaXbXc de un punto X, forman un triángulo QaQbQc. Los tres puntos que resultan de reflejar este triángulo en los lados de ABC determinan una circunferencia Γ(X,P).
Usando coordenadas baricéntricas, respecto al triángulo ABC, si ponemos X=(u:v:w) y P=(p:q:r), la reflexión del punto Qa en el lado BC es:
Y la condición analítica para que el punto P esté en la circunferencia Γ(X,P) es:
• Cuando P queda en el infinito (primera condición) la construcción de Γ(X,P) no es posible.
• El último factor nos indica que si X=(u:v:w) está en la cúbica de Lucas (K007), P queda sobre Γ(X,P), para cualquier posición de P en el plano.
• Los restantes tres factores que figuran en esta condición, mirados como ecuaciones en las variables p,q,r, reprentan las rectas perpendiculares a los lados de ABC en los pies de las cevianas del punto X. Por lo tanto, P está sobre Γ(X,P) si está sobre alguna de estas perpendiculares.
Tomemos un punto L1 sobre la curva de Lucas y un punto P arbitrario del plano, entonces P está en la circunferencia Γ(L1,P) cuyo centro es el punto D1 (en la cúbica de Darboux, K004), tal que el triángulo pedal de D1 es el triángulo ceviano de L1.
La recta D1P corta a la cúbica de Darboux en otros dos puntos D2 y D3 (reales o imaginarios). Si L2 y L3 son los puntos (en la cúbica de Lucas) tales que sus triángulos cevianos son los triángulos pedales de D2 y D3, respectivamente, se verifica que las tres circunferencias Γ(L1,P), Γ(L2,P) y Γ(L3,P) son tangentes en P.
Sean dos puntos X y X' conjugados isotómicos sobre la cúbica de Lucas y sean Y e Y' los puntos (sobre la cúbica de Darboux) tales que sus triángulos pedales son los triángulos cevianos de X y X', respectivamente. Entonces, todo punto P pertenece a las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P), además, sus centros son Y e Y', respectivamente.
Se tiene que la recta YY' pasa por el circuncentro de ABC y la recta XY pasa por el punto de De Longchamps L (simétrico del ortocentro H respecto el circuncentro O), para todo punto X sobre la cúbica de Lucas..
En estas circunstancias, si G es el baricentro, también la circunferencia Γ(G,P), con centro en el circuncentro, es tangente en P a las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P).
En particular (Peter Moses):
Si X=X7 = punto de Gergonne y X'=X8 = punto de Nagel, las circunferencias Γ(X7,P) y Γ(X8,P) son tangentes en P si y solo si P queda en la recta que pasa por O=X3, I=X1 and X40.
Y la condición analítica para que el punto P esté en la circunferencia Γ(X,P) es:
• Cuando P queda en el infinito (primera condición) la construcción de Γ(X,P) no es posible.
• El último factor nos indica que si X=(u:v:w) está en la cúbica de Lucas (K007), P queda sobre Γ(X,P), para cualquier posición de P en el plano.
• Los restantes tres factores que figuran en esta condición, mirados como ecuaciones en las variables p,q,r, reprentan las rectas perpendiculares a los lados de ABC en los pies de las cevianas del punto X. Por lo tanto, P está sobre Γ(X,P) si está sobre alguna de estas perpendiculares.
P está sobre la circunferencia Γ(X,P) si y solo si X está sobre la cúbica de Lucas o sobre las rectas perpendiculares a los lados de ABC en los pies de las cevianas del punto X.
Tomemos un punto L1 sobre la curva de Lucas y un punto P arbitrario del plano, entonces P está en la circunferencia Γ(L1,P) cuyo centro es el punto D1 (en la cúbica de Darboux, K004), tal que el triángulo pedal de D1 es el triángulo ceviano de L1.
La recta D1P corta a la cúbica de Darboux en otros dos puntos D2 y D3 (reales o imaginarios). Si L2 y L3 son los puntos (en la cúbica de Lucas) tales que sus triángulos cevianos son los triángulos pedales de D2 y D3, respectivamente, se verifica que las tres circunferencias Γ(L1,P), Γ(L2,P) y Γ(L3,P) son tangentes en P.
Sean dos puntos X y X' conjugados isotómicos sobre la cúbica de Lucas y sean Y e Y' los puntos (sobre la cúbica de Darboux) tales que sus triángulos pedales son los triángulos cevianos de X y X', respectivamente. Entonces, todo punto P pertenece a las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P), además, sus centros son Y e Y', respectivamente.
Se tiene que la recta YY' pasa por el circuncentro de ABC y la recta XY pasa por el punto de De Longchamps L (simétrico del ortocentro H respecto el circuncentro O), para todo punto X sobre la cúbica de Lucas..
Las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P) son tangentes en P si y solo si P está en la recta YY'.
En estas circunstancias, si G es el baricentro, también la circunferencia Γ(G,P), con centro en el circuncentro, es tangente en P a las circunferencias Γ(X,P) y Γ(X',P).
En particular (Peter Moses):
Si X=X7 = punto de Gergonne y X'=X8 = punto de Nagel, las circunferencias Γ(X7,P) y Γ(X8,P) son tangentes en P si y solo si P queda en la recta que pasa por O=X3, I=X1 and X40.
No hay comentarios:
Publicar un comentario