geometría - aplicaciones

Recta de Euler e hipérbola asociada

Dado un triángulo ABC, su recta de Euler corta a los lados BC, CA, AB en los puntos D, E, F, respectivamente. La circunferencia de centro en F y que pasa por A vuelve a cortar aAC en A_b. La circunferencia de centro en E y que pasa por A vuelve a cortar a AB en A_c. La recta A_bA_c (que pasa por el ortocentro) corta a BC en A_a.
Similarmente, se definen los puntos B_a, B_b, B_c, C_a, C_b, C_c.

Los puntos A_a, B_b y C_c están en la recta que corta a la circunferencia de Euler en los centros de las hipérbolas rectangulares de Jerabek y circunscrita que pasa por el centro X₉₃.

Esta recta corta a la recta de Euler en el punto de coordenadas baricéntricas: 

con número de búsqueda en ETC: 3.6723293499380232572548885 

Los seis puntos A_b, A_c, B_a, B_c, C_a y C_b están en una hipérbola que pasa por X₁₀₇ (en la circunferencia circunscrita), X₆₄₈ (tripolo de la recta de Euler).

Las reflexiones de la recta A_bA_c en los lados de ABC se cortan en un punto S_a de la circunferencia circunscrita (Teorema de Collings), denomonado por Darij Grinberg "Anti-Steiner point" de la recta A_bA_c. 
Análogamente, se construyen los puntos S_b y S_c.

Las rectas AS_a, BS_b, CS_c son parelelas, con punto del infinito X₅₂₃, conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert.

Triángulo ceviano y ejes radicales

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' su triángulo ceviano.
Conideremos los siguentes puntos: M_a el punto medio de AH, M'_a el punto medio de A'H, y M₁ el punto medio de M_aM'_a. Similarmente, se definen M₂ y M₃.
Denotamos por:
R_a el eje radical de las circunferencias M₂(M₂B') y M₃(M₃C').
R_b el eje radical de las circunferencias M₃(M₃C') y M₁(M₁A').
R_c el eje radical de las circunferencias M₁(M₁A') y M₂(M₂B').

  Las paralelas L_a, L_b, L_c a R_a, R_b, R_c a través de A, B, C, respectivamente, son concurrentes si y sólo si P está en la cúbica de Lucas. El punto de concurrencia Qqueda sobre la cúbica de Darboux.

  Si P(u:v:w), en coordenadas baricéntricas, 
Q(a^4u(4u+v+w) - 2a^2(v-w)(b^2v-c^2w) - (b^2-c^2)(v+w)(b^2(u+2v)-c^2(u+2w)) : ... : ...). 

  Parejas de centros {P,Q}, P en la cúbica de Lucas y Q en la cúbica de Darboux: 
{X₂,X₄}, {X₄,X₆₄}, {X₇,X₈₄}, {X₈,X₁}, {X₂₀,X₂₀}, {X₆₉,X₃}, {X₁₈₉,X₃₃₄₅}, {X₂₅₃,X₃₃₄₆}, {X₃₂₉,X₄₀}, {X₁₀₃₂,X₃₃₄₈}, {X₁₀₃₄,X₃₃₄₇}. 

  La primera componente de las coordenadas baricéntricas del centro radical R de las circunferencias M₁(M₁A'), M₂(M₂B') y M₃(M₃C') es: 
a^4 v (u+v) w (u+w) (2 u^3+(v-w)^2 (v+w)+2 u (v+w)^2)-a^2 (c^2 v (2 u^5 (v+w)+v (v-w) w^2 (v+w)^2+u^4 v (v+3 w)+2 u v w^2 (v^2-w^2)-2 u^3 (v^3-v w^2)-u^2 (v^4+v^3 w-2 w^4))+b^2 w (2 u^5 (v+w)-v^2 (v-w) w (v+w)^2+u^4 w (3 v+w)+2 u^3 w (v^2-w^2)+u (-2 v^4 w+2 v^2 w^3)+u^2 (2 v^4-v w^3-w^4)))-(b^2-c^2) u (v+w) (b^2 w (u^3 (2 v-w)+2 u^2 v (v+w)+v (v^3+v^2 w+v w^2+w^3)+u (v^3+4 v^2 w+v w^2+w^3))-c^2 v (-u^3 (v-2 w)+2 u^2 w (v+w)+w (v^3+v^2 w+v w^2+w^3)+u (v^3+v^2 w+4 v w^2+w^3))). 

  Los puntos P, Q y R están alineados si y sólo si P está en una curva algebraica de grado diez, que pasa por A, B, C, X₂, X₄, X₂₀, los puntos medios de los lados (donde es tangente a los lados), pies de las cevianas de X₆₉ y por los puntos del infinto de los lados.

  Si P es el baricentro, Q es el ortocentro, y R es X₃₈₃₀, que divide al segmento X₂X₄ en la razón 3:-1.


  Los puntos L_a∩R_b, L_a∩R_c, L_b∩R_c, L_b∩R_a, L_c∩R_a, L_c∩R_b quedan sobre una misma cónica de centro el punto medio de Q y R.