Construcción triángulo (AB AC IH)
Construcción de un triángulo conocidas las rectas determinadas por dos de sus lados y la recta que pasa por el incentro y el ortocentro.
Del triángulo ABC a determinar, admitamos que el vértice A sea el punto de intersección de las dos rectas lb y lc dadas, que coinciden con lados del triángulo. El incentro I de ABCha de estar en una de las dos bisectrices de tales rectas y sobre la recta r dada, que ha de contener también al ortocentro H. Denotamos por Y y Z las proyecciones ortogonales de I sobre los lados conocidos lb y lc, estos son los puntos de contacto de la circunferencia inscrita Γ del triángulo buscado ABCcon los lados AC y AB, respectivamente. Nos falta determinar el punto X de contacto Γ con el lado BC.
Esta es una construcción con regla y compás de posibles soluciones:
(Ver detalles en el caso de construcción de triángulos: AB AC IH)
Por el punto de intersección M de r con la perpendicular a lb por A, se traza la perpendicualar a lc, que corta a lb en Ba.
Por el punto de intersección N de r con la perpendicular a lc por A, se traza la perpendicualar a lb, que corta a lc en Ca.
Sean P el punto de interseccion de las rectas BaCa y YZ, y Q el punto de intersección de r con la reflexión de YZ respecto a I.
Los puntos de corte de la recta PQ con Γ dan los puntos de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita.
En consecuancia, al considerar la otra bisectriz de las rectas lb y lc, PUDIERAN EXISTIR HASTA CUATRO SOLUCIONES.
(Ver detalles en el caso de construcción de triángulos: AB AC IH)
Por el punto de intersección M de r con la perpendicular a lb por A, se traza la perpendicualar a lc, que corta a lb en Ba.
Por el punto de intersección N de r con la perpendicular a lc por A, se traza la perpendicualar a lb, que corta a lc en Ca.
Sean P el punto de interseccion de las rectas BaCa y YZ, y Q el punto de intersección de r con la reflexión de YZ respecto a I.
Los puntos de corte de la recta PQ con Γ dan los puntos de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita.
En consecuancia, al considerar la otra bisectriz de las rectas lb y lc, PUDIERAN EXISTIR HASTA CUATRO SOLUCIONES.
ab ac ih . ......................................................:http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejct2531.pdf
Conjugado isotómico del conjugado isogonal
Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano. Denotamos por (Ab) la circunferencia que pasa por D y es tangente a AB en B, y por (Ac) la circunferencia que pasa por D y es tangente a AC en C.
Sea A' el otro punto de intersección de estas circunferencias (está sobre BC). Similarmente, se definen los puntos B' y C'. (ver Estrofoide de Jerabek)
Sea A' el otro punto de intersección de estas circunferencias (está sobre BC). Similarmente, se definen los puntos B' y C'. (ver Estrofoide de Jerabek)
A'B'C' es el triángulo ceviano de tgP, conjugado isotómico del conjugado isogonal de P.
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