geometría - aplicaciones

Triángulos con su ortocentro en una recta paralela a la de Euler

Dado un triángulo ABC y una recta d. Se consideran los triángulos AB_aC_a, con B_a en AB, C_a en AC y el ortocentro H_a sobre la recta d. 
1.1. El circuncentro O_a de AB_aC_a recorre la mediatriz m_a de AS_a. donde S_a es el punto "Anti-Steiner" (denominado así por Darij Grinberg en "Anti-Steiner point with respect to a triangle") de la recta d respecto al triángulo AB_aC_a. 
1.2. El centro de la circunferencia de los nueve puntos N_a de AB_aC_a recorre una recta n_a. 

El punto S_a (en la circunferencia es circunscrita a AB_aC_a) es la intersección de las refleciones de d en AB y AC. 
Dos puntos particulares de la recta n_a son los puntos medios de EF_a y FE_a, siendo E y F las intersecciones de d con los lados AB y AC, respectivamente; y E_a y F_a las intersecciones de m_a con los lados AB y AC, respectivamente.

Denotamos por A_d el punto de intersección de m_a y n_a. Similarmente, procediendo cíclicamente sobre los vértices de ABC, se definen los puntos B_d y C_d.

 Cuando la recta d es paralela a la recta de Euler de ABC, las rectas AA_d, BB_d, CC_d concurren en el punto de Kosnita, X₅₄.
  Existe una única recta d₀, paralela a la recta de Euler, para la cual los puntos A₀, B₀ y C₀ están alineados.

La ecuación baricéntrica de la recta de d₀ es:

Esta recta no contiene centros del triángulo, que figuren actualmente en ETC, salvo su punto en el infinito, X₃₀.