geometría - aplicaciones

Conjugado isogonal respecto al triángulo antipedal

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo antipedal de P. El lugar geométrico de los puntos P tales que P, el conjugado isogonal de P respecto a ABC y el conjugado isogonal de P respecto a A'B'C' están alineados es cúbica de McKay, K003 = pK(X6, X3).

Si P(u:v:w), su conjugado isogonal es P^*(a^2vw:b^2wu:c^2uv) (en coordenadas baricéntricas). 
El conjugado isogonal Q de P respecto a A'B'C' es la intersección de las rectas AD', BE', CF', siendo D', E' , F' las reflexiones de P respecto a los puntos medios D, F, F de los lados de ABC (ver §4.2  Cojugado isogonal). 
Q=(S_AS_C(v+w) + S_B(S_A(v+w)-S_C u) : ... : ... ).

Si P está sobre la cúbica de McCay, su conjugado isogonal Q respecto a A'B'C' es la reflexión de P respecto al circuncentro.

geometría métrica y proyectiva .- ........................................:http://amontes.webs.ull.es/pdf/geoba.pdf#geoba73

El centro de congruencia de Yff

Sean ABC un triángulo, P un punto, A₁ y A₂ los centros de semejanza interno y externo de las circunferencias con centro en B y C que pasan por P. Similarmente, y de forma cíclica, se definen los puntos B₁, B₂, C₁, A₂. Entonces, las rectas AA₁, BB₂ y CC₁ concurren en un punto Q, cuya polar trilineal pasa por A₂, B₂ y C₂.

Esta construcción de los puntos A₁ y A₂ conincide con la generalización dada por Peter Moses en ETC, ya que PA₁ es la bisectriz del ángulo ∠BPC:
"Let ABC be a triangle and P a point. Let D be the point on side BC such that ∠BPD = ∠DPC), and likewise for point E on side CA and point F on side AB. If P = (p : q : r) (trilinears), then the lines AD, BE, CF concur in the point K(P) = f(p,q,r,A) : f(q,r,p,B) : f(r,p,q,C), where f(p,q,r,A) = (q^2 + r^2 + 2qr cos A)-1/2. Moreover, if P* is the inverse of P in the circumcircle, then K(P*) = K(P). [Peter Moses, Feb. 1, 2010, based on Seiichi Kirikami's construction of X(174)]"

Si P=(u:v:w), en coordenadas baricéntricas, el punto de intersección de las rectas AA₁, BB₂ y CC₁ es:
Al punto P', inverso de P en la circunferencia circunscrita, le corresponde el mismo punto Q que a P. 

Si P=X₁ es el incentro, Q=X₁₇₄ es centro de congruencia de Yff:




Parejas de puntos {P,Q}: 
{X₁,X₁₇₄}, {X₃,X₂}, {X₁₃,X₁₃}, {X₁₅,X₁}, {X₁₆,X₁}, {X₃₆,X₁₇₄}. 

Cuando P es el baricentro, Q=(1/Sqrt[-a^2+2b^2+2c^2]:1/Sqrt[2a^2-b^2+2c^2]:1/Sqrt[2a^2+2b^2-c^2]), con número de búsqueda en ETC: 1.62327927239083782493133901