geometría - aplicaciones

Triángulos con misma área que el triángulo órtico

Dado un triángulo ABC, el lugar geométrico de los puntos P para los cuales su triángulo pedal tiene la misma área que el triángulo órtico es la circunferencia de centro el circuncentro y que pasa por el ortocentro.

Las coordenadas baricentricas de los vértices del triángulo pedal de un punto P=(x:y:z) son: D = (0 : (b^2-c^2)x+a^2(x+2y) : (-b^2+c^2)x+a^2(x+2z)),
E = ((a^2-c^2)y+b^2(2x+y) : 0 :-a^2y+c^2y+b^2(y+2 z)),
F = {(a^2-b^2)z+c^2(2x+z) : (-a^2+b^2)z+c^2(2y+z) : 0). El área de DEF coincide con el área de triángulo órtico (pedal del ortocentro) si y sólo si las coordenadas de P satisfacen a la ecuación: 
a^6 x^2 - a^4 b^2 x^2 - a^2 b^4 x^2 + b^6 x^2 - a^4 c^2 x^2 + 2 a^2 b^2 c^2 x^2 - b^4 c^2 x^2 - a^2 c^4 x^2 - b^2 c^4 x^2 + c^6 x^2 + 2 a^6 x y - 2 a^4 b^2 x y - 2 a^2 b^4 x y + 2 b^6 x y - 3 a^4 c^2 x y + 6 a^2 b^2 c^2 x y - 3 b^4 c^2 x y + c^6 x y + a^6 y^2 - a^4 b^2 y^2 - a^2 b^4 y^2 + b^6 y^2 - a^4 c^2 y^2 + 2 a^2 b^2 c^2 y^2 - b^4 c^2 y^2 - a^2 c^4 y^2 - b^2 c^4 y^2 + c^6 y^2 + 2 a^6 x z - 3 a^4 b^2 x z + b^6 x z - 2 a^4 c^2 x z + 6 a^2 b^2 c^2 x z - 2 a^2 c^4 x z - 3 b^2 c^4 x z + 2 c^6 x z + a^6 y z - 3 a^2 b^4 y z + 2 b^6 y z + 6 a^2 b^2 c^2 y z - 2 b^4 c^2 y z - 3 a^2 c^4 y z - 2 b^2 c^4 y z + 2 c^6 y z + a^6 z^2 - a^4 b^2 z^2 - a^2 b^4 z^2 + b^6 z^2 - a^4 c^2 z^2 + 2 a^2 b^2 c^2 z^2 - b^4 c^2 z^2 - a^2 c^4 z^2 - b^2 c^4 z^2 + c^6 z^2 = 0. 

Esta ecuación se puede poner en la forma: 
a^2yz+b^2zx+c^2xy-(-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)/((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)) (x+y+z)^2=0. 
Se trata de la circunferencia de centro en el circuncentro y que pasa por el ortocentro.

Una propiedad del cuadrado baricéntrico del simediano

Sean ABC un triángulo y L un punto variable sobre la paralela a BC por A. El lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos LBC es una parábola; denotamos por t_a la tangente en su vértice. Similarmente y de forma cíclica se consideran la tangentes t_b y t_c.

El cento de homotecia de los triángulos ABC y el delimitado por t_a, t_b y t_c es el X₃₂.

Sea L=(t:1:-1) un punto variable sobre la recta paralela a BC por A. Las coordenadas baricéntricas del ortocentro del triángulo LBC son: 
H_L = ( (a^2(t-2)+(c^2-b^2)t)((b^2-c^2)t+a^2(2+t)) : -(a^2(t-1)-c^2(t-1)-b^2(1+t))((b^2-c^2)t+a^2(2+t)) : -(a^2(t-2)+(c^2-b^2)t)(-c^2(t-1)+a^2(1+t)-b^2(1+t)) ). 

Este punto describe la parábola ℘_a de ecuación: 
℘_a: -a^2S_Ax^2 + 4a^4yz+(3a^4+b^4-4a^2c^2-2b^2c^2+c^4)zx + (3a^4-4a^2b^2+b^4-2b^2c^2+c^4)xy = 0. 

Cuya tangente t_a en su vértice tiene por ecuación: 
(2a^4-2a^2b^2+b^4-2a^2c^2-2b^2c^2+c^4)x + a^4y + a^4z = 0. 
Permutando cíclicamente, se obtienen las tangentes t_b y t_c en los vértices de las correpondientes parábolas ℘_b y ℘_c. El punto de interseccion de estas últimas es: 
A' = (-a^4+2a^2(b^2+c^2)-2(b^4-b^2c^2+c^4) : b^4 : c^4). 
Y silarmente resultan las coordenadas de B'=t_c∩t_a y C' = t_a∩t_b. En consecuencia, las rectas AA', BB' y CC' concurren en el punto X₃₂ = (a^4:b^4:c^4).

Adicionalmente tenemos:

•  El centro de homotecia de los triángulos ABC y el delimitado por las directrices de las tres parábolas ℘_a, ℘_b y ℘_c tiene coordenadas baricentricas:

(a^4+S^2 : b^4+S^2 : c^4+S^2)

con número de búsqueda en ETC: 0.64658408249618255603004536878

  El centro de homotecia de los triángulos ABC y el delimitado por las perpendiculares por los focos a los ejes de las tres parábolas ℘_a, ℘_b y ℘_c tiene coordenadas baricentricas:

(a^4-S^2 : b^4-S^2 : c^4-S^2)

con número de búsqueda en ETC: -0.2507364947244949174662

 El ortocentro X₄ de ABC es común a las tres parábolas. La tangente en X₄ a la parábola ℘_a corta a los lados AB y AC en A_c y A_b, respectivamente. Similarmente se determina los puntos B_a, B_c, C_b y C_a.
Estos seis puntos quedan en una misma cónica, cuyo centro tiene coordenadas baricéntricas (notación de Conway):

(S_AS_BS_C + 2(b^2S_B^2+c^2 S_C^2) : S_AS_BS_C + 2(c^2S_C^2+a^2S_A^2 ) : S_AS_BS_C + 2(a^2S_A^2+b^2S_B^2)),

con número de búsqueda en ETC: 1.8894135371622742397888827245

Los puntos A_a, B_b y C_c de intersección de las tangentes en el ortocentro a las parábolas ℘_a, ℘_b y ℘_c con los lados BC, CA u AB, respectivamente, están en la recta S_A^2x+S_B^2y+S_C^2z=0, polar trilineal de X₃₉₃.