geometría - aplicaciones

caracterización de la cuártica de Euler-Morley

  Sean ABC un triángulo y P, Q dos puntos conjugados isogonales.
A_p es el punto de intersección, distinto de P, de la recta AP con la circunferencia circunscrita a BPC; A_q es el punto de intersección, distinto de Q, de la recta AQ con la circunferencia circunscrita a BQC.
Similarmente se definen los puntos B_p, B_q, C_p y C_q.
  Denotamos por R el centro radical de las circunferenecias cicunscritas a los triángulos AA_pA_q, BB_pB_q y CC_pC_q.
  Si las coordenadas baricéntricas de P son (u:v:w),
R_p =(a^2u(c^2v^2+b^2w^2) : b^2v(c^2 u^2+a^2w^2) : c^2(b^2u^2+a^2v^2)w).

El lugar geométrico de los puntos P tales que el circuncentro, P y R están alineados es la cuártica de Euler-Morley.

	A, B, C, que son puntos de inflexión X (1), X (3), X (6), X (15), X (16), X (358), X (1135), X (1137), X (1155), X (2574), X (2575) excentros, extraversions de X (1155) 6 pies de bisectrices puntos comunes de la Thomson cúbico y los vértices es decir, circunferencia circunscrita del triángulo Thomson 26 compañeros de X (358) (estos son los conjugados isogonales de los perspectors de ABC y los 27 triángulos de Morley) Ver detalles, figuras y otros puntos por debajo

El Q002 quartic Euler-Morley se llama Q2 en "Orthocorrespondence y Orthopivotal Cubics" (ver página de descargas), donde una descripción más completa se puede encontrar. Su conjugado isogonal es el Q003 quintic Euler-Morley . Ver también el cuarto grado análogo Q043 y Q067 y una generalización en CL009 . Propiedades Locus: Q002 es el locus de P (con el conjugado isogonal P *) tal que: la trilineal polar de P * y la orthotransversal de P * son paralelas (junto con la circunferencia circunscrita). P está en la recta de Euler de su triángulo pedal. Ver también Q039 . PP * es perpendicular a la trilinear polar de P *. (Hyacinthos # 2683, # 2753) la O cúbico orthopivotal (P) contiene P *. P, P *, H / P * (cociente ceviano) son colineales. las reflexiones A ", B", C "de A, B, C en el marco del triángulo circunceviano A'B'C 'de P forman un triángulo perspectiva de A'B'C'. (Paul Yiu, Hyacinthos # 8631 ) P se encuentra en la tangente en P * a la rectangular circum-hipérbola que pasa por P *. el conjugado de isogonal OC (P *) se encuentra en la línea de KP o, equivalentemente, OC (P *) se encuentra en la circumconic través de G y P *. O, P, P * / P son colineales. G, el O-isoconjugado de P, el conjugado isotónico del conjugado isogonal de la plaza baricéntrica P ^ 2 de P están alineados. K, P ^ 2, el X (184) -isoconjugate de P están alineados. la línea PP * contiene el centroide del triángulo pedal de P. la línea PP * es paralela a la recta de Euler del triángulo pedal de P. Otras propiedades: Sea P un punto fijo. La línea de Euler del triángulo pedal de M contiene P si y sólo si M se encuentra en una circular-circum quartic Q (P) que pasa a través de X (15), X (16), X (2574), X (2575). Este quartic contiene P cuando P se encuentra en Q002 o en la línea en el infinito. En este último caso, se descompone en la línea en el infinito y un cúbico circular que es la transformada de la isogonal cúbico orthopivotal O (P) cuyo foco singular es el centroide G de ABC.

	El trilinear polar de O cumple BC en Oa. Una línea variable (L) que pasa a través de Oa cumple AB y AC en B 'y C'. C (B) es la cónica que pasa por B con tangente OB, B 'y los pies de las bisectrices del B en la línea lateral AC. C (C) se define del mismo modo. C (B) y C (C) se reúnen en cuatro puntos Q1, Q2, Q3, Q4 que se encuentran en Q002. El lápiz de las cónicas generados por C (B) yC (C) contiene un análogo cónica C (A) que pasa a través de A. También contiene una hipérbola rectangular H (P) que pasa por O, K, X (2574), X (2575).Véase más abajo para otro punto de vista relacionado con cúbicas del lápiz Euler. Ver también Una transformación racional notable Relacionado con Pivotal Cubics .
Esta construcción se puede generalizar para un determinado Q quartic análoga (P, Q), donde O = X (3) es reemplazar con P, los pies de los bissectors con los vértices del triángulo ceviano de Q y los rastros de la trilinear polar de Q. En este caso, si M * denota el isoconjugado de M bajo la isoconjugation con Q punto fijo (por lo tanto con el poste Q ^ 2), entonces Q (P, Q) es el locus de M tal que P, M, M * / M o M, M *, P * / M * son colineales. Con P = u: v: w y Q = p: q: r la ecuación de Q (P, Q) es: Σ arriba ^ 2 (r ^ 2 y ^ 2 - q ^ 2 z ^ 2) yz = 0. Por ejemplo Q002 = Q (X3, X1), Q033 = Q (X3, X2), Q043 = Q (X6, X1), Q045 = Q (X8, X2), Q083 = Q (X4, X1).

96 puntos en Q002 La siguiente tabla resume los puntos que se encuentran en esta notable cuarto grado (n es el número de puntos asociados).Ver una explicación a continuación.

n descripción notas 3 A, B, C puntos de inflexión con tangente pasa por el punto 2 puntos circulares en el infinito el enfoque singular de Q002 es X (23), no en la curva 1 O circuncentro la tangente en O contiene X (49) y X (3292) = a ^ 2 SA (b ^ 2 + c ^ 2-2a ^ 2):: 2 X (2574), X (2575) (en el infinito) Q002 tiene dos reales asíntotas paralelo a X (3292) a las de la hipérbola Jerabek 4 en / excentros las tangentes en estos puntos coinciden en O 4 X (1155) y extraversions estos puntos se encuentran en las líneas a través de S y una en / excéntrica 1 K simediano la tangente en K contiene X (373) y X (3292) 6 pies de las bisectrices 6 otros puntos de las simedianas También estos puntos se encuentran en los círculos centrados en los vértices del triángulo tangencial que pasan a través de los correspondientes dos vértices de ABC 2 puntos isodinámico X (15), X (16) las tangentes en estos puntos pasan a través de X (23) 3 puntos circumcircle intersecciones (distintos de A, B, C) ​​de la Thomson cúbico y la circunferencia circunscrita. Las tangentes en estos puntos coinciden en E (227), la intersección de la línea de Euler y la línea KX (373). 4 isogonal de puntos CPCC estos puntos en K004 y K172 , ver Tabla 11 . 4 puntos isogonal de Ix-anticevian estos puntos en K005 y K073 , ver Tabla 23 . 4 focos de la elipse K este es el inconic con el centro K 27 isogonal de perspectors Morley entre ellos X (358), X (1135), X (1137). Ver Tabla 9 . 3 otros puntos de la recta de Euler estos tres puntos se encuentran en K019 3 otros puntos de la circum-cónica que pasa por X (15), X (16) estos tres puntos se encuentran en K316 9 raíces cúbicas de X (184) esto es una consecuencia de la propiedad 11 8 puntos de las líneas a través de K y una entrada / excéntrica estos puntos se encuentran en las circum-cónicas con perspectors a (bc) (b + c-2a) SA:: y extraversions. Este punto es el producto baricéntrica X69 x X1635 o X63 x X900.

Q002 y los conjugados isogonales de los perspectors Morley Q002 contiene los conjugados isogonales de los 27 perspectors de ABC y los triángulos de Morley. Ver Tabla 9 . Estos son los puntos con coordenadas baricéntricas: a cos (A / 3 + k1 2pi / 3): cos b (B / 3 + k2 2pi / 3): cos c (C / 3 + 2pi k3 / 3) donde k1, k2, k3 son números enteros en {-1 ; 0; 1}. Estos 27 puntos se encuentran en tres grupos de 9 líneas que pasan por A, B, C. En particular, Q002 contiene: X (358) obtenido con k1 = k2 = k3 = 0, X (1135) obtenido con k1 = k2 = k3 = 1, X (1137) obtenido con k1 = k2 = k3 = -1.Tenga en cuenta que los puntos X (16), X (358), X (1135), X (1137) son colineales.

	Q002 y las curvas polares o f el circuncentro O La línea polar de O es la tangente en O pasa a través de X (49) y la intersección Z = X (3292) de las asíntotas reales. El cónica polar de O es la hipérbola de Jerabek. El polar cúbico de O es el Orthocubic . Las tangentes en A, B, C, O son comunes a ambas curvas.

	Q002 y los conjugados isogonales de los po CPCC ints Estos puntos se describen en el cuadro 11 . Ellos son los puntos de color verde oscuro en la figura. Se encuentran en los Darboux cúbicos , K172 = pK (X32, X3)y varias otras curvas. Tenga en cuenta que K172 cumple con la circunferencia circunscrita en los mismos puntos como Q002 y el Thomson cúbico . Estos son los vértices de la triángulo Thomson . Las tangentes a Q002 en estos puntos y en X (6) coinciden en E (227) = X (2) X (3) / \ X (6) X (373).

	Q002 y los conjugados isogonales del punto de Ix-anticevian s Estos puntos se describen en el cuadro 23 . Ellos son los puntos azules en la figura. Se encuentran en las Napoleón cúbicos , K073 = pK (X50, X3) y varias otras curvas. Recordemos que K073 es un paso cúbico circular a través de los puntos isodinámicos.

	Q002 y la elipse K Q002 contiene los focos de la elipse, es decir, la K-in cónica (K) con el centro de K. Es una elipse cuando el triángulo ABC es el ángulo agudo. Son los puntos rojos en la figura. Estos cuatro focos también se encuentran en el Pelletier estrofoide K040 y muchas otras curvas. Tenga en cuenta que Q002 y K040 se reúnen en 12 puntos conocidos desde ambas curvas son circulares y contienen X (1155) en la línea de IO. Los vértices del triángulo amarillo son los extraversions de X (1155) que se encuentran en Q002.

Q002 y las cúbicas del lápiz Euler El lápiz Euler está formado por los cúbicas pivotales isogonales con el pivote P en la línea de Euler. Ver Tabla 27 . La ocurrencia frecuente de estos cúbicas de la tabla anterior se puede explicar (y ampliado) por la siguiente descomposición de Q002. Sea K (P) sea el pK cúbico (X6, P) y H (P) ser la hipérbola rectangular que pasa a través de O, K, P, X (2574), X (2575), por tanto, tener sus asíntotas paralelas a las de la Jerabek e hipérbolas Stammler que son dos miembros del lápiz. K (P) y H (P) se reúnen en seis puntos a saber, O, P y otros cuatro puntos en Q002. De hecho, un cálculo sencillo muestra que: Q002 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) (x + y + z) K (P) + (a ^ 2 + b ^ yz 2 zx + c ^ 2 xy) H (P). Recordemos que Q002 y K (P) han 8 puntos comunes fijos A, B, C, X (1), X (3), las excéntricas, y luego más 4 en función de P, que deben estar en H (P). Casos especiales: • P = O: H (P) es la hipérbola Stammler (tangente en O a la línea de Euler) y K (P) es la cúbica McCay K003 . Los cuatro puntos son los de / excentros y las tangentes en estos puntos son comunes a Q002 y K003, que pasa por O. • P = H: H (P) es la hipérbola Jerabek y K (P) es la Orthocubic K006 . Los cuatro puntos son A, B, C, O y las tangentes en estos puntos son comunes a Q002 y K006, también pasa a través de O. • P = X (20): K (P) es la cúbica Darboux K004 y los cuatro puntos son los conjugados isogonales de los puntos de CPCC. • P = X (5): K (P) es la cúbica Napoleón K005 y los cuatro puntos son los conjugados isogonales de los puntos de Ix-anticevian. • P = G: K (P) es la cúbica Thomson K002 y los cuatro puntos son X (6) y los vértices del triángulo Thomson . • P = X (30): K (P) es la cúbica Neuberg K001 y los cuatro puntos son los puntos isodinámicos X (15), X (16) y los puntos circulares en el infinito. Esta propiedad se generaliza a continuación.

Q002 y las cúbicas pivotales circulares

Cualquier pK circular isogonal debe tener su pivote P en el infinito y su isopivot P * sobre el círculo circunscrito (O). Puesto que ya tiene 9 puntos comunes con Q002 (es decir, A, B, C, en / excentros, puntos circulares en el infinito), debe cumplir Q002 otra vez en otros tres puntos Q1, Q2, Q3 que se encuentran en una misma línea (L) pasa por el punto K. Lemoine Esta línea (L) es en realidad la trilineal polar de la Q antípoda de P * en (O). Por ejemplo, con P = X (30), el cúbico esK001 y (L) es el eje Brocard. Los tres puntos son X (3), X (15), X (16) como se dijo anteriormente. A la inversa, una línea (L) que pasa a través de K tiene su polo trilineal Q en (O) y cumple Q002 de nuevo en tres puntos que se encuentran en el pK circular isogonal cuya P de pivote es el conjugado isogonal de la antípoda de Q.