geometría - aplicaciones

Caracterización de la cúbica de Darboux en términos de la circunferencia pedal

  Sean ABC un triángulo, P, P* dos puntos conjugados isogonales y A'B'C', A"B"C" los triángulos pedales de P, P*, respectivamente.
Se denota por A₁ el punto de intersección (distinto de A) de la recta AA' con la circunferencia pedal de P, y por A* el punto de intersección de la recta B"C" con la tangente a la circunferencia pedal de P en A₁.
De forma similar se define los puntos B* y C*.

El lugar geométrico de los puntos P tales que su circunferencia pedal está definida y los puntos A*, B* y C* están alineados es la cúbica de Darboux.

Si P=P*=I, incentro, la recta que contiene a los puntos A*, B*, C* es la tripolar de X₇, punto de Gergonne. 

(Art of Problem Solving, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=592844 ) Si P es el circuncentro (P* el ortocentro) , A*, B* y C* están en la recta de ecuación baricéntrica: 
(-a^2 + b^2 + c^2) (a^4 (b^2 + c^2) - b^2 c^2 (b^2 + c^2) + a^2 (b^4 - b^2 c^2 + c^4))x+... =0.

Hipérbolas de asíntotas paralelas a los lados de un triángulo

  Sean p, q, r tres recta fijas y D un punto fijo sobre p. Una recta variable δ a través de D interseca a q en Q y δ', la reflexión de δ en p, corta a r en R. Sea M el punto medio deQR. 
  El lugar geométrico de M, cuando δ gira alrededor de D, es una hipérbola de asíntotas paralelas a las rectas q y r, y que pasa por los puntos medios de B=p∩r y C=p∩q (cuando δ=p), de A=q∩r y q∩δ' (cuando δ pasa por A=q∩r) y de A=q∩r y r∩δ' (cuando δ pasa por A=q∩r).

  Si hacemos variar el punto D sobre la recta p, se genera un haz de hipérbolas, cuyos cuatro puntos base son los puntos del infinito de las rectas q y r, el punto medio M_a deB=p∩r y C=p∩q, y H'_a (conjugado armónico de la proyección ortogonal de A=q∩r sobre p). 
  Las hipérbolas degeneradas son los pares de rectas que se obtienen al unir dos a dos los puntos base del haz.

Aplicación a la geometría del triángulo: 

  Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF el triángulo PEDAL de P. Consideremos las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c, según la construcción anterior, procediando cíclicamente sobre los lados del triángulo ABC y tomando, sucesivamente, los puntos D, E y F en sus lados opuestos. 
Si P tiene coordenadas baricéntricas (u:v:w), la ecuación de ℵ_a es:

Los centros de las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c están alineados si y sólo si P está sobre la hipérbola de Kiepert.

  Sean ahora un triángulo ABC, un punto P y P_aP_bP_c el triángulo CEVIANO de P. Consideremos las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c, según la construcción anterior, procediando cíclicamente sobre los lados del triángulo ABC y tomando, sucesivamente, los puntos P_a, P_b y Pc en sus lados opuestos. 
Si P tiene coordenadas baricéntricas (u:v:w), la ecuación de ℵ_a es:

Los centros de las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c están alineados si y sólo si P está sobre la ortopivotal cúbica de ortopivote X₅, K060.

( Mostrar/Ocultar figura )    Para los centros en K060, P=X₄, X₃₀, X₈₀, X₂₆₅, la recta que contiene a los centros de las hipérbolas ℵ_a, ℵ_b y ℵ_c son las tripolares de X₂₅₃, X₆₉, X₇, X₂₆₄, respectivamente.