geometría - aplicaciones

Proyectividad en la recta de Euler

Sean ABC un triángulo y P un punto. El triángulo circunceviano de P es perspectivo con el triángulo ceviano del conjugado isotómico del conjugado isogonal deP si y solo si P está en la recta de Euler. 
 El perspector P' también está en al recta de Euler y la correspondencia P ↦ P' es una proyectividad, con puntos dobles los de intersección de la recta de Euler con la circunferencia circunscrita.

Si P es un punto del plano del triángulo ABC con coordenadas baricentricas (u:v:w), las coordenadas de los vértices de su triángulo circunceviano DEF (puntos en los que las cevianas de P vuelven a cortar a la circunferencia circunscrita) son:

D(-a^2vw : v(c^2v+b^2w) : w(c^2v + b^2w)), E(u(c^2u+a^2w) : -b^2uw : w(c^2u+a^2w)), F(u(b^2u+a^2v) : v(b^2u+a^2v) : -c^2uv).

Y las coordenadas de los vértices del triángulo ceviano de tgP:

L(0 : c^2v : b^2w), M(c^2u : 0 : a^2w), N(b^2u : a^2v : 0).

Los triángulos DEF y LMN son perspectivos si y sólo si 
((-a^2b^2+b^4+a^2c^2-c^4)u - (a^4+a^2b^2-b^2c^2+c^4)v + (a^4-b^4-a^2c^2+b^2c^2)w) (c^2uv+b^2uw+a^2vw)=0. 
Es decir, si P está en la circunferencia circunscrita (DEF degenera en un punto) o en la recta de Euler. 

Si P(u:v:w) está en la recta de Euler el centro de prespectividad de DEF y LMN es:

P' (2b^2c^2S_Au^2 + a^2(b^2c^2+a^2(S_A-a^2))vw + b^2(b^2c^2+a^2(S_A-b^2))wu + c^2(b^2c^2+a^2(S_A-c^2))uv : ... : ...)

Pares de puntos homólogos (P↦P'), figurando ambos actualmemtes en ETC: 
(X₂↦X₂₂), (X₃↦X₂₀), (X₄↦X₃), (X₂₂↦X₁₃₇₀), (X₂₃↦X₈₅₈), (X₂₄↦X₄), (X₂₅↦X₂), (X₂₇↦X₄₁₈₄), (X₂₈↦X₂₁), (X₂₉↦X₄₂₂₅), (X₃₀↦X₂₀₇₁), (X₁₈₆↦X₃₀), (X₁₉₉↦X₃₁₅₁), (X₂₃₇↦X₄₀₁), (X₃₇₈↦X₃₇₆), (X₄₀₃↦X₁₈₆), (X₄₁₉↦X₂₃₇), (X₄₃₆↦X₄₁₈), (X₄₅₁↦X₂₉₁₅), (X₄₆₈↦X₂₃), (X₁₁₁₃↦X₁₁₁₃), (X₁₁₁₄↦X₁₁₁₄), (X₁₅₉₃↦X₃₅₂₂), (X₁₅₉₈↦X₃₅₂₃), (X₂₀₇₀↦X₃₁₅₃), (X₂₀₇₃↦X₅₁₉₆), (X₂₀₇₄↦X₁₃₂₅), (X₂₄₀₉↦X₄₂₃₀), (X₃₁₄₄↦X₃₁₄₅), (X₃₁₄₅↦X₃₁₅₂), (X₃₅₁₅↦X₃₁₄₆), (X₃₅₁₇↦X₃₀₉₁), (X₃₅₁₈↦X₅), (X₃₅₂₀↦X₅₅₀), (X₃₅₄₂↦X₂₄), (X₄₁₈₃↦X₁₈₁₇), (X₄₁₈₅↦X₄₁₈₉), (X₄₁₈₆↦X₄₁₈₈), (X₄₂₁₃↦X₁₉₉), (X₄₂₂₂↦X₄₀₄), (X₄₂₂₇↦X₄₂₂₁), (X₄₂₃₀↦X₄₂₂₆), (X₄₂₃₁↦X₄₂₂₀), (X₄₂₃₂↦X₁₉₉₅), (X₄₂₃₃↦X₄₂₂₈), (X₄₂₃₈↦X₄₂₃₆), (X₄₂₄₁↦X₄₂₄₃), (X₄₂₄₄↦X₄₂₃₈), (X₄₂₄₆↦X₃₆₅₈), (X₄₂₄₇↦X₄₂₃₄), (X₄₂₄₉↦X₄₂₃₇), (X₅₁₃₆↦X₄₂₁₆), (X₅₂₀₀↦X₁₅₉₉). 

Siendo los puntos dobles X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄, y los puntos límites X₁₈₆ y X₂₀₇₁. 

En términos de la referecia proyectiva sobre la recta de Euler {O,H;N} (de puntos base el circuncentro y el ortocentro y punto unidad el centro de la circunferencia de los nueve puntos), la correspondencia P↦P' se expresa por:
Los puntos dobles se obtienen para los valores de λ raíces del polinomio 8a^2b^2c^2S_AS_BS_CC - 2a^2b^2c^2λ + λ²=0.
λ₁,λ₂ = a^2b^2c^2(1 ± (a^2b^2c^2 - 8S_AS_BS_C)^½).
Obteniéndose los puntos de coordenadas homogéneas, en la referencia {O,H;N}, 
(-abc : abc ± (a^2b^2c^2 - 8S_AS_BS_C)^½).
Que corresponde a los puntos X₁₁₁₃ y X₁₁₁₄, de interseccción de la recta de Euler con la circunferencia circunscrita. 


Adicionalmente podemos notar que:

Cuando P varía en al recta de Euler, las rectas DL, EM, DN pasan por puntos fijos (sobre la circunferencia circunscrita) que son los vértices del triángulo circunceviano del punto de De Longchamps, respecto al triángulo A'B'C', antipodal de ABC.